2022年高中数学 三角函数的最值问题复习讲义 苏教版必修1

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1、2022年高中数学 三角函数的最值问题复习讲义 苏教版必修1类型一、 可化为、型：例1、函数，当y取得最大值时x的集合 。点拨：此类问题为类型的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为型，再用辅助角公式化为求解。解: 例2、已知函数，求函数f(x)的最小正周期和最大值。解：f(x)的最小正周期为，最大值为。类型二、换元后化为普通函数：例3、函数的最小值为 .分析，因含有cosx的二次式，可换元，令cosx=t，则 配方，得, 当t=1时,即cosx=1时，.例4、函数y=5sinx+cos2x的值域为 .点拨：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使

2、三角函数的名和角达到统一。例5、函数的值域为 .解：原函数变形为，可直接得到：或例6、已知，则函数的最小值为 .分析设，在（0，1）上为减函数，当t=1时，。例7、函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值为 .点拨： 对于表达式中同时含有sinx+cosx与sinxcosx的函数，运用关系式 一般都可采用换元法转化为t的函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围。解：令sinx+cosx=t，则，其中当例8、函数y=的值域为 .类型三、直接求导型：例9、函数的最小值为 .点拨：该题可利用导数来求解或者利用其几何意义求解。例10、函数， 的最小值为 .分析 . 令，得或，又，故

3、. 故当时，此时实数取最大值. 练习：1、函数f(x)=cosx+sinx在区间上的最小值是 .2、函数的值域为 .解：设则于是故当时，即时，当t=1时，即时，aaa3、如图所示的等腰梯形是一个简易水槽的横断面，已知水槽的最大流量与横断面的面积成正比，比例系数为().（）试将水槽的最大流量表示成关于函数；（）求当多大时，水槽的最大流量最大.解：（1）由题意其中。（2）令 又因为，而在上递减，当=60时水槽的流量最大。4、已知函数.()若曲线在点处与直线相切,求与的值.()若曲线与直线 有两个不同的交点,求的取值范围.解:由,得. (I)因为曲线在点处与直线相切,所以 ,解得,. (II)令,得

4、.所以函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,是的最小值. 当时,曲线与直线最多只有一个交点; 综上, 的取值范围是. 5、某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B，及CD的中点P处，已知km, ,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A，B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm。（I）按下列要求写出函数关系式： 设，将表示成的函数关系式； 设，将表示成的函数关系式。（II）请你选用（I）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短。解析：（I）由条件可知PQ垂直平分AB，则 故，又，所以。，则，所以，所以所求的函数关系式为。（I） 选择函数模型：。令得，又，所以。当时，是的减函数；时，是的增函数。所以当时。当P位于线段AB的中垂线上且距离AB边处。