2022年高中数学第二章推理与证明2.1.2演绎推理教学案新人教A版选修1-2

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1、2022年高中数学第二章推理与证明2.1.2演绎推理教学案新人教A版选修1-2预习课本P3033，思考并完成下列问题(1)什么是演绎推理？它有什么特点？(2)什么是三段论？一般模式是什么？(3)合情推理与演绎推理有什么区别与联系？新知初探1演绎推理(1)概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理(2)特点：演绎推理是从一般到特殊的推理(3)模式：三段论2三段论“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：“三段论”的结论大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断“三段论”的表示大前提：M是P；小前提：S是M；结论：S是P点睛

2、用集合的观点理解三段论若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P.小试身手1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)“三段论”就是演绎推理()(2)演绎推理的结论是一定正确的()(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理()答案：(1)(2)(3)2平行于同一直线的两直线平行，因为ab，bc，所以ac，这个推理称为()A合情推理B归纳推理C类比推理D演绎推理答案：D3正弦函数是奇函数，f(x)sin(x21)是正弦函数，因此f(x)sin(x21)是奇函数，以上推理中“三段论”中的_是错误的答案：小前提把演绎推理写成三段论的形式典例将下列推理写成“三段论”

3、的形式：(1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向；(2)0.33是有理数；(3)ysin x(xR)是周期函数解(1)大前提：向量是既有大小又有方向的量小前提：零向量是向量结论：零向量也有大小和方向(2)大前提：所有的循环小数都是有理数小前提：0.33是循环小数结论：0.33是有理数(3)大前提：三角函数是周期函数小前提：ysin x(xR)是三角函数结论：ysin x(xR)是周期函数用三段论写推理过程的技巧(1)关键：用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前提提供了一个一般原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系(

4、2)何时省略：有时可省略小前提，有时甚至也可将大前提、小前提都省略(3)如何寻找：在寻找大前提时可找一个使结论成立的充分条件作大前提活学活用下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是()A大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无理数；结论：是无限不循环小数B大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无限不循环小数；结论：是无理数C大前提：是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：是无理数D大前提：是无限不循环小数；小前提：是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析：选B对于A，小前提与大前提间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；对于B，符合演绎推理三段论形式且推理正

5、确；对于C，大小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于D，大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式.演绎推理在几何中的应用典例如图所示，D，E，F分别是BC，CA，AB边上的点，BFD=A，DEBA，求证：DE=AF.写出“三段论”形式的演绎推理解(1)同位角相等，两直线平行，(大前提)BFD和A是同位角，且BFD=A，(小前提)所以DFAE.(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)DEBA且DFEA，(小前提)所以四边形AFDE为平行四边形(结论)(3)平行四边形的对边相等，(大前提)DE和AF为平行四边形的对边，(小前提)所以ED=AF.(结论)几何证明中应用演

6、绎推理的两个关注点(1)大前提的正确性：几何证明往往采用演绎推理，它往往不是经过一次推理就能完成的，常需要几次使用演绎推理，每一个推理都暗含着大、小前提，前一个推理的结论往往是下一个推理的前提，在使用时不仅要推理的形式正确，还要前提正确，才能得到正确的结论(2)大前提可省略：在几何证明问题中，每一步都包含着一般原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般原理应用于特殊情况，就能得出相应结论提醒：在应用“三段论”进行推理的过程中，大前提、小前提或推理形式之一错误，都可能导致结论错误 活学活用如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求证：EF平面BCD.证明：三角形的中位线平行于底

7、边，大前提点E，F分别是AB，AD的中点，小前提所以EFBD.结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则这条直线与此平面平行，大前提EF平面BCD，BD平面BCD，EFBD，小前提所以EF平面BCD.结论演绎推理在代数中的应用典例已知函数f(x)ax(a1)，求证：函数f(x)在(1，)上为增函数证明对于任意x1，x2(1，)，且x1x2，若f(x1)f(x2)，则yf(x)在(1，)上是增函数(大前提)设x1，x2(1，)，且x1x2，则f(x1)f(x2)ax1ax2ax1ax2ax1ax2，a1，且x1x2，ax1ax2，x1x20.又x11，x21，(x11)(x21)0.f(x1)

8、f(x2)0，即f(x1)f(x2)(小前提)函数f(x)在(1，)上为增函数(结论)应用演绎推理解决的代数问题(1)函数类问题：比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等(2)导数的应用：利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和最值，证明与函数有关的不等式等(3)三角函数的图象与性质(4)数列的通项公式、递推公式以及求和，数列的性质(5)不等式的证明 活学活用已知函数f(x)x2aln x在区间1,2内是增函数，g(x)xa在区间(0,1内是减函数，则a_.解析：f(x)2x，依题意f(x)0，x1,2，即a2x2，x1,2因为上式恒成立，所以a2.又g(x)1，依题意g(x)0，x(0,

9、1，即a2，x(0,1因为上式恒成立，所以a2.由得a2.答案：2层级一学业水平达标1下面说法：演绎推理是由一般到特殊的推理；演绎推理得到的结论一定是正确的；演绎推理的一般模式是“三段论”的形式；演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有关；运用三段论推理时，大前提和小前提都不可以省略其中正确的有()A1个B2个C3个 D4个解析：选C都正确2若三角形两边相等，则该两边所对的内角相等，在ABC中，ABAC，所以在ABC中，BC，以上推理运用的规则是()A三段论推理 B假言推理C关系推理 D完全归纳推理解析：选A三角形两边相等，则该两边所对的内角相等(大前提)，在ABC中，ABAC，

10、(小前提)，在ABC中，BC(结论)，符合三段论推理规则，故选A.3推理过程“大前提：_，小前提：四边形ABCD是矩形结论：四边形ABCD的对角线相等”应补充的大前提是()A正方形的对角线相等B矩形的对角线相等C等腰梯形的对角线相等D矩形的对边平行且相等解析：选B由三段论的一般模式知应选B.4若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：aR，结论是：a20，那么这个演绎推理出错在()A大前提 B小前提C推理过程 D没有出错解析：选A要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提、小前提和结论及推理形式是否都正确，若这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确因为任何实数的平方都大于0，又因为

11、a是实数，所以a20，其中大前提是：任何实数的平方都大于0，它是不正确的5在证明f(x)2x1为增函数的过程中，有下列四个命题：增函数的定义是大前提；增函数的定义是小前提；函数f(x)2x1满足增函数的定义是大前提；函数f(x)2x1满足增函数的定义是小前提其中正确的命题是()A BC D解析：选A根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)2x1满足增函数的定义；结论是f(x)2x1为增函数，故正确6求函数y 的定义域时，第一步推理中大前提是有意义时，a0，小前提是 有意义，结论是_解析：由三段论方法知应为log2x20.答案：log2x207某一三段论推理，其前提之一为

12、肯定判断，结论为否定判断，由此可以推断，该三段论的另一前提必为_判断解析：根据三段论的特点，三段论的另一前提必为否定判断答案：否定8函数y2x5的图象是一条直线，用三段论表示为：大前提：_.小前提：_.结论：_.解析：本题忽略了大前提和小前提大前提为：一次函数的图象是一条直线小前提为：函数y2x5为一次函数结论为：函数y2x5的图象是一条直线答案：一次函数的图象是一条直线y2x5是一次函数函数y2x5的图象是一条直线9将下列演绎推理写成三段论的形式(1)菱形的对角线互相平分(2)奇数不能被2整除，75是奇数，所以75不能被2整除解：(1)平行四边形的对角线互相平分(大前提)；菱形是平行四边形(

13、小前提)；菱形的对角线互相平分(结论)(2)一切奇数都不能被2整除(大前提)；75是奇数(小前提)；75不能被2整除(结论)10下面给出判断函数f(x)的奇偶性的解题过程：解：由于xR，且1.f(x)f(x)，故函数f(x)为奇函数试用三段论加以分析解：判断奇偶性的大前提“若xR，且f(x)f(x)，则函数f(x)是奇函数；若xR，且f(x)f(x)，则函数f(x)是偶函数”在解题过程中往往不用写出来，上述证明过程就省略了大前提解答过程就是验证小前提成立，即所给的具体函数f(x)满足f(x)f(x)层级二应试能力达标1论语学路篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼

14、乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足”上述推理用的是()A类比推理B归纳推理C演绎推理 D一次三段论解析：选C这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式2有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，这是因为()A大前提错误 B小前提错误C推理形式错误 D非以上错误解析：选C用小前提“S是M”，判断得到结论“S是P”时，大前提“M是P”必须是所有的M，而不是部分，因此此推理不符合演绎推理规则3如图，设平面EF，AB，CD，垂足分别是点B，D，如果增加一个条件，就能推出

15、BDEF，这个条件不可能是下面四个选项中的()AACBACEFCAC与BD在内的射影在同一条直线上DAC与，所成的角相等解析：选D只要能推出EFAC即可说明BDEF.当AC与，所成的角相等时，推不出EFAC，故选D.4f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0.对任意正数a，b，若ab，则必有()Abf(a)af(b) Baf(b)bf(a)Caf(a)f(b) Dbf(b)f(a)解析：选B构造函数F(x)xf(x)，则F(x)xf(x)f(x)由题设条件知F(x)xf(x)在(0，)上单调递减若ab，则F(a)F(b)，即af(a)bf(b)又f(x)是定义在(0

16、，)上的非负可导函数，所以bf(a)af(a)bf(b)af(b)故选B.5已知函数f(x)a，若f(x)为奇函数，则a_.解析：因为奇函数f(x)在x0处有定义且f(0)0(大前提)，而奇函数f(x)a的定义域为R(小前提)，所以f(0)a0(结论)解得a.答案：6已知f(1,1)1，f(m，n)N*(m，nN*)，且对任意m，nN*都有：f(m，n1)f(m，n)2；f(m1,1)2f(m,1)给出以下三个结论：(1)f(1,5)9；(2)f(5,1)16；(3)f(5,6)26.其中正确结论为_解析：由条件可知，因为f(m，n1)f(m，n)2，且f(1,1)1，所以f(1,5)f(1,

17、4)2f(1,3)4f(1,2)6f(1,1)89.又因为f(m1,1)2f(m,1)，所以f(5,1)2f(4,1)22f(3,1)23f(2,1)24f(1,1)16，所以f(5,6)f(5,1)1024f(1,1)1026.故(1)(2)(3)均正确答案：(1)(2)(3)7已知yf(x)在(0，)上有意义、单调递增且满足f(2)1，f(xy)f(x)f(y)(1)求证：f(x2)2f(x)；(2)求f(1)的值；(3)若f(x)f(x3)2，求x的取值范围解：(1)证明：f(xy)f(x)f(y)，(大前提)f(x2)f(xx)f(x)f(x)2f(x)(结论)(2)f(1)f(12)2f(1)，(小前提)f(1)0.(结论)(3)f(x)f(x3)f(x(x3)22f(2)f(4)，(小前提)函数f(x)在(0，)上单调递增，(大前提)解得0x1.(结论)8已知a，b，m均为正实数，ba，用三段论形式证明.证明：因为不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)ba，m0，(小前提)所以mbma.(结论)因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向，(大前提)mbma，(小前提)所以mbabmaab，即b(am)a(bm)(结论)因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)b(am)a(bm)，a(am)0，(小前提)所以，即.(结论)