八年级数学随堂测试：18.2 勾股定理的逆定理

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1、八年级数学随堂测试：18.2 勾股定理的逆定理1.如图所示,ABC中,若A=75,C=45,AB=2,则AC的长等于( ) A.2 B.2 C. D. 知识点：转化的数学思想、勾股定理知识点的描述：在解决有关求线段长度问题时，常通过添加辅助线，把一般三角形的问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理解决问题。勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。答案：C详细解答：作BC边上的高AD, ABC中,BAC=75,C=45，那么B=60，从而BAD=30在RtABD中，BAD=30，AB=2,所以BD=1，AD=在RtACD中，C=45，AD=,所以CD=AD=， 利用勾股定理可得

2、AC=。1已知：在RtABC中，C=90，CDAB于D，A=60，CD=，线段AB长为（ ）。A.2 B.3 C.4 D.3 答案：C分析：欲求AB，可由AB=BD+AD，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD和AD。或欲求AB，可由，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC和BC。详细解答：在RtACD中，A=60，那么ACD=30，又已知CD=,所以利用勾股定理或特殊三角形的三边的比求出AD=1。在RtACB中，A=60，那么B=30。在RtBCD中，B=30，又已知CD=,所以BC=2，利用勾股定理或特殊三角形的三边的比求出BD=3。因此AB=BD+CD=3+1=4，小

3、结：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30或45特殊角的特殊性质等。2已知a，b，c为ABC三边，且满足a2c2b2c2=a4b4，则它的形状为A直角三角形B等腰三角形 C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形知识点：综合代数变形和勾股定理的逆定理判断三角形的形状知识点的描述：这类问题常常用到代数中的配方、因式分解，再结合几何中的有关定理不难作出判断。答案：D详细解答： a2c2b2c2=a4b4，

4、左右两边因式分解得 或，即或，所以三角形的形状为等腰三角形或直角三角形。2若ABC的三边a，b，c满足(c-b)2+a2-b2-c2=0，则ABC是（ ）（A）等腰三角形 （B）直角三角形（C）等腰直角三角形 （D）等腰三角形或直角三角形答案：C详细解答：(c-b)2+a2-b2-c2=0，c-b =0且a2-b2-c2=0 即且，所以三角形的形状为等腰直角三角形。3五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ） 知识点：勾股定理的逆定理知识点的描述：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，最大的边就是斜边

5、。满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数最好能记住常见的几组勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17等。答案：C详细解答：A图和B图中右边的三角形三边不存在某两边的平方和等于第三边的平方，不是直角三角形。D图中两个的三角形三边都不存在某两边的平方和等于第三边的平方，都不是直角三角形。只有C图中的两个三角形都是直角三角形。3在下列说法中是错误的（ ） A在ABC中，（为正整数，且），则ABC为直角三角形. B在ABC中，若A：B：C3：4：5，则ABC为直角三角形. C在ABC中，若，则ABC为直角三角形. D在AB

6、C中，若a：b：c5：12：13，则ABC为直角三角形.答案：B详细解答： 在ABC中，若A：B：C3：4：5，那么最大角C不是直角三角形。ABC三条边的比为a:b:c5:12:13，则可设a5k，b12k，c13k，a2b225k2144k2169k2，c2(13k)2169k2，所以，a2b2c2，ABC是直角三角形4. 下列各命题的逆命题不成立的是( )A.两直线平行,同旁内角互补； B.若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等C.对顶角相等 D.如果a2=b2,那么a=b知识点：互逆命题知识点的描述：如果一个命题的题设是另一个命题的结论，而结论又是另一个命题的题设，那么这样的两个命题是互

7、逆命题。一个命题和它的逆命题的真假没有什么联系。答案：C详细解答：“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然这是一个假命题。4下列命题的逆命题成立的是（ ）（A）若a=b，则 （B）全等三角形的周长相等（C）同角（或等角）的余角相等 （D）若a=0，则ab=0答案：C详细解答：（A）的逆命题是：若，则a=b。不一定成立，也可能a=-b（B）的逆命题是：周长相等的三角形全等。不一定成立，两个三角形周长相等，形状不一定就相同。（D）的逆命题是：若ab=0，则a=0。不一定成立，也可能是b=0，而a0。5如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度

8、同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距（） A.25海里 B.30海里C.35海里 D.40海里知识点：勾股定理的实际应用题知识点的描述：求距离或某个长度是很常见的实际应用题，这种问题一般转化为几何中的求线段长度问题，通常是在现有的直角三角形或构建的直角三角形中，利用勾股定理求出线段的长度，从而解决实际问题。答案：D详细解答：画出答题图，由题意知，三角形ABC是直角三角形，AC=32海里，AB=24海里，根据勾股定理得BC2=AC2+AB2=322+242=1600，所以BC=40（海里）5有一长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细

9、、形变忽略不计）要求木条不能露出木箱请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（ ）A B C D答案：C详细解答：画出如图所示的木箱图，图中AD的长度就是能放入的细木条的最大长度，由题意知CB=5cm、CA=4cm、BD=3cm在RtACB中，AC和BC 是直角边，AB是斜边，AB2=AC2+CB2=41,在RtADB中，AB和BD 是直角边，AD是斜边，AD2=AB2+BD2=41+9=50,所以AD=6如图，正方形网格中的ABC，若小方格边长为1，则ABC是（ ）A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D以上答案都不对知识点：网格问题，勾股定理和逆定理知识点的描述：网格问题是常见的问题，解

10、决这种问题要充分的利用正方形网格。勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形答案：A详细解答：把ABC的各边分别放在不同的直角三角形中，给出必须的点的名称，画出图形。在RtBCD中， CD=1，DB=8，那么CB2=CD2+BD2=65，在RtACE中， AE=2，CE=3，那么AC2=AE2+CE2=13，在RtABF中， AF=6，BF=4，那么AB2=AF2+BF2=52，所以，在ABC中， AC2+AB2=13+52=65，又CB2=65，所以，AC2+AB2= CB2，根据勾股

11、定理的逆定理可知三角形ABC是直角三角形6如图，图中的小方格都是边长为1的正方形网格，则图中四边形的面积是 ( ) A.25 B.12.5 C. 9 D.8.5答案：B详细解答：S四边形EFGH =SABCD -SDEF -SCFG -SBGH -SAEH=55-12-33-23-24=12.57.如图，已知四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求得四边形ABCD的面积.（ ）A. 36 B. 25 C. 24 D. 30知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应用知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理的逆定理：在三角

12、形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。答案：A分析：根据题目所给数据特征，联想勾股数，连接AC，可实现四边形向三角形转化，并运用勾股定理的逆定理可判定ACD是直角三角形.详细解答：连接AC，在RtABC中，AC2=AB2BC2=3242=25， AC=5.在ACD中， AC2CD2=25122=169，又 AD2=132=169， AC2CD2=AD2， ACD=90故S四边形ABCD=SABCSACD=ABBCACCD=34512=630=36.7在四边形ABCD中，AB2，BC，CD5，DA4，B90，那么四边形ABCD的面积是( )。A. 10 B. C.

13、 D. 答案：B详细解答：连接AC，在RtABC中，AB2，BC 所以9所以AC3又因为，所以所以CAD90所以2348.已知：如图，四边形ABCD，ADBC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。那么四边形ABCD的面积是( )。 A. 24 B. 36C. 18 D. 20知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应用知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。答案：C详细解答：如图，作DEAB，连结BD，可以证明ABDEDB（ASA）；所以DE=AB=4，BE=AD=3

14、，EC=BC-EB=6-3=3；在DEC中，EC=3；DE=4，CD=5，3、4、5勾股数，所以DEC为直角三角形，DEBC；利用梯形面积公式可得：四边形ABCD的面积是（3+6）4=188已知，ABC中，AB中，AB17cm，BC16cm，BC边上的中线AD15cm，求AC得( )。A. 15 B. 16 C. 17 D. 18答案：C详细解答：如图，AD是BC边上的中线，BC16cmBD8cm 在ABD中：AB17cm，AD15cm，BD8cm 则有：ADB90ADBC，即ADC90在RtADC中，ADC90，AD15cm，CD8cm根据勾股定理得：AC17 （cm）9.已知：如图，在AB

15、C中，CD是AB边上的高，且CD2=ADBD，ABC是( )。A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 不等边三角形 D. 等边三角形知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应用知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。答案：A详细解答：AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2又CD2=ADBDAC2+BC2=AD2+2ADBD+BD2=（AD+BD）2=AB2 所以ABC是直角三角形。9如图，在ABC中，ACB=90，AC=B

16、C，P是ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求得BPC的度数（ ）AAC 东南BACCPBA. 115 B. 125 C. 135 D. 120答案：C详细解答：如答图，将APC绕点C旋转，使CA与CB重合，即APCBEC,PCE为等腰Rt，CPE=45，PE2=PC2+CE2=8. 又PB2=1，BE2=9，PE2+ PB2= BE2,则BPE=90，BPC=135.10已知：如图正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在DC上且DFDC，判断BEF为（ ）。A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 不等边三角形 D. 等边三角形知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应用知识点的描

17、述：勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。答案：A详细解答： 设DFa，则DEAE2a，CF3a，ABBC4a。在RtABE中，BE2AB2AE2（4a）2(2a)220a2在RtDEF中，EF2DE2DF2（2a）2a25a2在RtBCF中，BF2BC2CF2（4a）2(3a)225a2所以BE2EF2BF2所以BEF90所以BEF为直角三角形。 10如图，ABC中，D是AB的中点，AC12，BC5，CD。ABC为（ ）A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形答案：A详细解答：延长CD到点E，使得DECD，连接AECD，DECDCE13在ADE和BDC中ADEBDCAEBC5在AEC中：AE5，AC12，CE13即，EAC90EABCBACABCBACABEAB90ACB90ACB为直角三角形