2022年高中数学第二章圆锥曲线与方程单元质量评估含解析新人教A版

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1、2022年高中数学第二章圆锥曲线与方程单元质量评估含解析新人教A版一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设P是椭圆+=1上一点,F1,F2是椭圆的焦点,若|PF1|等于4,则|PF2|等于()A.22B.21C.20D.13【解析】选A.由椭圆的定义知,|PF1|+|PF2|=26,因为|PF1|=4,所以|PF2|=22.2.(xx广东高考)已知双曲线C:-=1的离心率e=,且其右焦点F2(5,0),则双曲线C的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选B.因为所求双曲线的右焦点为F2且离心率为e=,所以

2、c=5,a=4,b2=c2-a2=9,所以所求双曲线方程为-=1.【补偿训练】与椭圆+=1有相同焦点,并且经过点(2,-)的双曲线的标准方程为_.【解析】由+=1知焦点F1(-,0),F2(,0).依题意,设双曲线方程为-=1(a0,b0).所以a2+b2=5,又点(2,-)在双曲线-=1上,所以-=1.联立得a2=2,b2=3,因此所求双曲线的方程为-=1.答案:-=13.已知离心率为e的双曲线和离心率为的椭圆有相同的焦点F1,F2,P是两曲线的一个公共点,若F1PF2=,则e等于()A.B.C.D.3【解题指南】在F1F2P中利用余弦定理列方程,然后利用定义和已知条件消元.【解析】选C.设

3、椭圆的长半轴长为a1,双曲线的实半轴长为a2,焦距为2c,|PF1|=m,|PF2|=n,且不妨设mn,由m+n=2a1,m-n=2a2得m=a1+a2,n=a1-a2.又F1PF2=,所以4c2=m2+n2-mn=+3,所以+=4,即+=4,解得e=.【补偿训练】(xx佛山高二检测)已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.【解析】选D.依题意,椭圆的焦距和短轴长相等,即b=c,所以a2-c2=c2,得e=.故选D.4.设F1,F2是双曲线x2-=1的两个焦点,P是双曲线上的一点,且3|PF1|=4|PF2|,则PF1F2的面积等于(

4、)A.4B.8C.24D.48【解析】选C.由3|PF1|=4|PF2|知|PF1|PF2|,由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2,所以|PF1|=8,|PF2|=6,又c2=a2+b2=1+24=25,所以c=5,所以|F1F2|=10,所以PF1F2为直角三角形,=|PF1|PF2|=24.【拓展延伸】圆锥曲线中的焦点三角形问题解法(1)PF1F2由两焦点和曲线上一点形成,我们把这种三角形叫焦点三角形.焦点三角形问题的主要类型有:周长、面积、角度等,通常会用到圆锥曲线的定义、正弦定理、余弦定理、面积公式等.(2)焦点三角形的面积主要有两种求法:=r1r2sinF1PF2和=2c|yP

5、|.(3)涉及焦点、顶点、曲线上点(顶点以外)等问题,抓住几个特征三角形,举一反三.这是一个考查重点,容易出现离心率的值(或范围)的运算.5.椭圆+=1上的点到直线x+2y-=0的最大距离是()A.3B.C.2D.【解析】选D.设直线方程为x+2y+b=0,得8y2+4by+b2-16=0,=16b2-48(b2-16)=0得b=4.d=.6.过双曲线C:-=1的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选A.设右焦点为F,由题意得|OF|=|AF|=4,

6、即a2+b2=16,又A(a,b),F(4,0)可得(a-4)2+b2=16,故a=2,b2=12,所以方程为-=1.7.(xx全国乙卷)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1, l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.10【解析】选A.设直线l1方程为y=k1(x-1),联立方程得x2-2x-4x+=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),所以x1+x2=-=,同理直线l2与抛物线的交点满足x3+x4=,由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x1+

7、x2+x3+x4+2p=+4=+82+8=16,当且仅当k1=-k2=1(或-1)时,取得等号.8.已知双曲线-=1(a0,b0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是()A.(1,2B.(1,2)C.2,+)D.(2,+)【解析】选C.如图所示,要使过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率小于等于渐近线的斜率,所以,离心率e2=4,所以e2.9.如果椭圆+=1的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是()A.x-2y=0B.x+2y-4=0C.2x+3y-12=0D.x+2y-8=0【解析】

8、选D.设这条弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),斜率为k,则两式相减再变形得+k=0,又弦中点为(4,2),故k=-,故这条弦所在的直线方程y-2=-(x-4),整理得x+2y-8=0.10.若抛物线y2=8x的焦点是F,准线是l,则经过点F,M(3,3)且与l相切的圆共有()A.0个B.1个C.2个D.4个【解析】选B.由题意得F(2,0), l:x=-2,线段MF的垂直平分线方程为y-=-(x-),即x+3y-7=0,设圆的圆心坐标为(a,b),则圆心在x+3y-7=0上,故a+3b-7=0,a=7-3b,由题意得|a-(-2)|=,即b2=8a=8(7-3b),即b2+24b

9、-56=0.又b0,故此方程只有一个根,于是满足题意的圆只有一个.【补偿训练】(xx兰州模拟)已知抛物线y2=2px(p0)上一点M(1,m)(m0)到其焦点的距离为5,双曲线-y2=1的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a=()A.B.C.D.【解析】选A.根据题意,抛物线y2=2px(p0)上一点M(1,m)到其焦点的距离为5,则1+=5,解得p=8;即抛物线的方程为y2=16x,把M(1,m)代入,可得m=4,即M的坐标为(1,4),双曲线-y2=1的左顶点为A,则a0,且A的坐标为,渐近线方程为y=x,因为双曲线的一条渐近线与直线AM平行,所以kAM=,解得a=.1

10、1.(xx珠海高二检测)已知F1,F2分别为双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点,P为双曲线右支上的任意一点,若的最小值为8a,则双曲线的离心率e的取值范围是()A.(1,+)B.(1,2C.(1,D.(1,3【解析】选D.=+|PF2|+4a4a+4a=8a,当且仅当=|PF2|,即|PF2|=2a时取等号.这时|PF1|=4a.由|PF1|+|PF2|F1F2|,得6a2c,即e=3,得e(1,3.12.若a0且ab0,则曲线ax-y+b=0和bx2+ay2=ab的形状可能是下图中的()【解析】选C.将bx2+ay2=ab化为+=1,若此方程表示双曲线,则ab0时,b0,表示焦点在x轴上

11、的双曲线;当a0,表示焦点在y轴上的双曲线.易判断选项C符合;当a0,b0时,方程表示椭圆,此时B,D都不符合.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.(xx南昌高二检测)在平面直角坐标系中,O是原点,=(1,0),P是平面内的动点,若|-|=|,则P点的轨迹方程是_.【解析】设P(x,y),则=(x,y),又因为|-|=|,所以(x-1)2+y2=x2,整理得y2=2x-1.答案:y2=2x-114.(xx兰州高二检测)直线y=x+3与曲线-=1的公共点的个数为_.【解析】当x0时,-=1化为-=1;当x0时,-=1化为+=1,所以曲线-=1是由半个

12、双曲线和半个椭圆组成的图形,结合图象可知(如图),直线y=x+3与曲线-=1的公共点的个数为3.答案:315.(xx江西高二检测)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足=0的点M总在椭圆内部,则椭圆的离心率的取值范围是_.【解析】因为=0,所以MF1MF2.假设椭圆在坐标轴正方向上的短轴端点B,则F1BF2即椭圆上点与椭圆焦点夹角的最大值,由M在椭圆内部,所以F1BF2c,所以b2=a2-c2c2,所以e2,即0eb0)的两焦点关于直线y=x的对称点均在椭圆内部,则椭圆的离心率e的取值范围为_.【解析】由已知得两焦点为(c,0),其关于直线y=x的对称点为(0,c)均在椭圆内部,则1,得1,1,

13、解得0e0),过焦点F且斜率为k(k0)的直线与C相交于A,B两点,若=3,则k=_.【解析】设直线l为抛物线的准线,过A,B分别作AA1,BB1垂直于l,A1,B1为垂足,过B作BE垂直于AA1于点E,则|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,由=3,所以cosBAE=,所以BAE=60,所以tanBAE=.即k=.答案:三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(xx郑州高二检测)已知点M在椭圆+=1上,MP垂直于椭圆焦点所在的直线,垂足为P,并且M为线段PP的中点,求P点的轨迹方程.【解析】设P点的坐标为(x,y),M点的

14、坐标为(x0,y0).因为点M在椭圆+=1上,所以+=1.因为M是线段PP的中点,所以把代入+=1,得+=1,即x2+y2=36.所以P点的轨迹方程为x2+y2=36.18.(12分)已知椭圆C的焦点F1(-2,0)和F2(2,0),长轴长6,设直线y=x+2交椭圆C于A,B两点,求线段AB的中点坐标.【解析】由已知条件得椭圆的焦点在x轴上,其中c=2,a=3,从而b=1,所以其标准方程是:+y2=1.联立方程组消去y得,10x2+36x+27=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0),则x1+x2=-,x0=-,所以y0=x0+2=,所以线段AB中点坐标为.

15、19.(12分)已知点F1,F2分别是椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点,A是椭圆C的上顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,F1AF2=60.(1)求椭圆C的离心率.(2)已知AF1B的面积为40,求a,b的值.【解析】(1)由题意知AF1F2为正三角形,a=2c,e=.(2)直线AB的方程为y=-(x-c),(3a2+b2)x2-6a2cx+3a2c2-a2b2=0.由a=2c,得a2=4c2,b2=a2-c2=3c2.代入中得5x2-8cx=0,x=0或x=,得A(0,c),B,得|AB|=.由AF1B的面积为40,得|AB|AF1|sin60=40,a=40,解得c=5,a=10

16、,b=5.20.(12分)过抛物线y2=4x的焦点F的直线与这条抛物线交于A,B两点,O为坐标原点.(1)求AOB的重心G的轨迹方程.(2)当直线l的倾斜角为45时,试求抛物线的准线上一点P的坐标,使APBP.【解析】(1)抛物线的焦点坐标为(1,0).当直线l不垂直于x轴时,设l:y=k(x-1),代入y2=4x得k2x2-2(k2+2)x+k2=0.因为l与抛物线相交于两点,所以k0.设A(x1,y1),B(x2,y2),根据根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=1.因为所以y1+y2=k(x1+x2-2)=,y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=-4.设AOB的重心G(x,y),则消

17、去k并整理得y2=x-.当l垂直于x轴时,A,B的坐标分别是(1,2)和(1,-2),AOB的重心G也适合y2=x-,因此所求轨迹方程为y2=x-.(2)当直线l的倾斜角为45时,k=1,所以x1+x2=6,y1+y2=4.设抛物线的准线上一点P(-1,y0).因为APBP,所以=-1,即=-1,=-1,解得y0=2,故所求点P的坐标为(-1,2).21.(12分)(xx全国卷)已知A是椭圆E:+=1的左顶点,斜率为k(k0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MANA.(1)当|AM|=|AN|时,求AMN的面积.(2)当2|AM|=|AN|时,证明:k0,由已知及椭圆的对称性知,直线AM的

18、倾斜角为,又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2,将x=y-2代入+=1,得7y2-12y=0.解得y=0或y=,所以y1=.因此AMN的面积为2=.(2)设直线AM的方程为y=k(x+2)(k0),代入+=1,得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,由x1(-2)=,得x1=-,故|AM|=|x1+2|=,由题意设直线AN的方程为y=-(x+2),故同理可得|AN|=,由2|AM|=|AN|,得=,即4k3-6k2+3k-8=0,设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点,f(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)20,所以f(t)在(0,+)上单

19、调递增,又f()=15-260,因此f(t)在(0,+)上有唯一的零点,且零点k在(,2)内,故kb0)的右焦点为F(2,0),M为椭圆的上顶点,O为坐标原点,且MOF是等腰直角三角形.(1)求椭圆的方程.(2)过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=8,证明:直线AB过定点.【解题指南】(1)根据几何性质求出a,b,然后代入椭圆的标准方程.(2)以参数k,m表示直线方程,代入椭圆方程,设出A,B的坐标,利用根与系数的关系和k1+k2=8求出m,k的关系式,建立直线AB的方程,证明直线过定点.【解析】(1)由MOF是等腰直角三角形,得c2=b

20、2=4,所以a2=8,故椭圆方程为+=1.(2)若直线AB的斜率存在,设AB方程为y=kx+m,依题意m2.设A(x1,y1),B(x2,y2),由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0.则x1+x2=-,x1x2=.由已知k1+k2=8,可得+=8,所以+=8,即2k+(m-2)=8.所以k-=4,整理得m=k-2.故直线AB的方程为y=kx+k-2,即y=k-2.所以直线AB过定点.若直线AB的斜率不存在,设AB方程为x=x0,设A(x0,y0),B(x0,-y0),由已知+=8,得x0=-.此时AB方程为x=-,显然过点.综上,直线AB过定点.【补偿训练】已知椭圆C的中心在坐标原

21、点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程.(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.【解析】(1)由题意设椭圆的标准方程为+=1(ab0),且a+c=3,a-c=1,所以a=2,c=1,所以b2=3,所以+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0,=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)0,3+4k2-m20.又x1+x2=-,x1x2=,所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=.因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),所以kADkBD=-1,即=-1,所以y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0,+4=0,7m2+16mk+4k2=0,解得m1=-2k,m2=-,且满足3+4k2-m20.当m=-2k时,l:y=k(x-2),直线过定点(2,0),与已知矛盾;当m=-时,l:y=k,直线过定点. 综上可知,直线l过定点,定点坐标为.