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1、09级数模试题1.把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象o(15分)解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。因此对这个问题我们假设：(1) 地面为连续曲面(2) 长方形桌的四条腿长度相同(3) 相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的(4) 方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A、
2、B、C、D处，A、B,C、D的初始位置在与x轴平行，再假设有一条在x轴上的线ab,则ab也与A、B，C、D平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线ab与x轴的夹角记为o容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令f()为A、B离地距离之和，g()为C、D离地距离之和，它们的值由唯一确定。由假设(1)，f(),g()均为的连续函数。又由假设(3)，三条腿总能同时着地，故f()g()=0必成立(V)o不妨设f()，0,g()0g(若g()也为0,贝慚始时刻已四条腿着地，不必再旋转)，于是问题归结为：已知f(),g()均为的连续函数，f(),g()且对任意有/()g(
3、)=，求证存在某一，使f()g()=。证明：当0=n时，AB与CD互换位置，故f()，g(),。作h(),f()-g()，显然，h()也是的连续函数，h(),f()-g()，由连续函数的取零值定理,存在，使得h()=，即/()=g()o又由于/()g()=，故必有/()=g()=，证毕。002学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。(15分)解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A宿舍的委员数为x人，B宿舍的委员数为y人，C宿舍的委员数为z人。计算出人数小数点后面的小数部
4、分最大的整数进1,其余取整数部分。则x+y+z=10；x/10=235/1000；y/10=333/1000；z/10=432/1000；0x100y10,x,y,z为正整数；0z10解得：x=3y=3z=43. 一饲养场每天投入5元资金用于饲料、设备、人力，估计可使一头80公斤重的生猪每天增加2公斤。目前生猪出售的市场价格为每公斤8元，但是预测每天会降低0.1元，问该场应该什么时候出售这样的生猪可以获得最大利润。(15分)解：设在第t天出售这样的生猪(初始重80公斤的猪)可以获得的利润为z元。每头猪投入：5t元产出：(8-0.lt)(80+2t)元利润：Z=5t+(8-0.lt)(80+2t
5、)=-0.22+13t+640=-0.2(t2-65t+4225/4)+3405/4当t=32或t=33时，Zmax=851.25(元)因此，应该在第32天过后卖出这样的生猪，可以获得最大利润。4. 一奶制品加工厂用牛奶生产Al,A2两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1,或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2。根据市场需求，生产的Al,A2全部能售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤A1，设备乙的加工能力没有限制。(1)试为该厂制订一个生产计划，使每天
6、获利最大。(2)33元可买到1桶牛奶，买吗？(3)若买，每天最多买多少？(4)可聘用临时(1)工人，付出的工资最多是每小时几元？(5)A1的获利增加到30元/公斤，应否改变生产计划？(15分)解：设：每天生产将x桶牛奶加工成A1，y桶牛奶加工成A2，所获得的收益为Z元。产品A1A2所需时间12小时8小时产量3公斤4公斤获利/公斤24元16元加工每桶牛奶的信息表:x+y=5012x8y48003x100y0Z=24*3x+16*4y=72x+64y瑁max72x+6ystx+u5012x+8y883x1B8end解得，当x=20,y=30时，Zmax=3360元则此时，生产生产计划为20桶牛奶生
7、产A1,30桶牛奶生产A2。(2) 设：纯利润为W元。W=Z-33*(x+y)=39x+31y=3360-33*50=1710(元)0贝y,牛奶33元/桶可以买。(3) 若不限定牛奶的供应量，则其优化条件变为:12x8y48003x100W=39x+31ymax39x+31jjst12x+Sij48iiend解得，当x=0，y=60时，Wmax=1860元则最多购买60桶牛奶。（4）若将全部的利润用来支付工人工资，设工资最高为n元。n=Wmax/480=3.875（元）（5）若A1的获利为30元，则其优化条件不变。Zl=90x+64y矚untitledmax占即yst12x8y483xn，则最
8、终收益为(a-b)n(1) r(b-c)/(a-c)(2)2、由(2)式容易得出不赚钱不赔钱。r/n=(b-c)/(a-c)(3)3 、赔钱。模型的求解首先由(1)式可以看出n与最终的收益呈正相关。收益越多，n的取值越大。但同时订购量n又由需求量r约束，不可能无限的增大。所以求n问题就转化成研究r与n的之间的约束关系。然后分析(3)、(4)两式。因为(3)、(4)分别代表不赚钱不赔钱及赔钱两种情况，而我们确定n值是为了获得最大收益，所以可以预见由(3)、(4)两式确立出的n值不是我们需要的结果，所以在这里可以排除，不予以讨论。最后重点分析(2)式。显然式中r表需求量，n表订购量，(b-c)表示
9、退回一份儿报纸赔的钱。因为(a-c)无法表示一个显而易见的意义，所以现在把它放入不等式中做研究。由abc，可得a-ca-b，而(a-b)恰好是卖一份报纸赚得的钱。然后采用放缩法，把(2)式中的(a-c)换成(a-b),得到r/n(b-c)/(a-b)(5)不等式依然成立。由(5)式再结合(1)式可知收益与n正相关，所以要想使订购数n的份数越多，报童每份报纸赔钱(b-c)与赚钱(a-b)的比值就应越小。当报社与报童签订的合同使报童每份报纸赔钱与赚钱之比越小，订购数就应越多。7. 谈谈你对数学建模的认识，你认为数学建模过程中哪些步骤是关键的。(10分)简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述
10、。具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程(见数学建模过程流程图)。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段。数学建模的几个过程1 模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。2 模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。3 模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。(尽量用简单的数学工具)4 模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算(估计)。5 模型分析：对所得的结果进行数学上的分析。6 模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，再次重复建模过程。
数学建模题目及答案数学建模100题
