反常扩散模型在风险管理中的应用开题报告卢策

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1、 宁波理工学院 毕业论文（设计）开题报告 （含文献综述、外文翻译） 题 目 反常扩散模型在风险管理中的运用姓 名 卢 策 学 号 3090411021 专业班级 09信计1班 指导教师 吕龙进 学 院 信息科学与工程分院 开题日期 2012年01月14日 第一章 文献综述反常扩散模型在风险管理中的应用随着金融全球化的发展，金融市场、金融交易规模日趋扩大，金融资产价格的波动随之变大，对金融市场风险的分析研究变得尤其重要。VaR方法是目前对市场风险进行预测和管理的一种重要工具和主流方法。本文总结了国内外将VaR方法用于风险管理的不同计算方法和发展历程，另一方面，考虑到分数阶反常扩散模型的特有特征“

2、尖峰厚尾”，本文还总结了该模型与金融市场的关系。1.1反常扩散模型分数阶导数的理论可以追溯到1695年9月30日莱布尼兹对一篇文章的评注里，在这评注里莱布尼兹讨论半阶导数的意义。然而在过去的三个世纪里分数阶导数处于缓慢发展阶段，且主要被数学家作为一种纯数学理论来发展。在近十年里，由于分数阶导数在物理，工程,金融等领域及环境问题的研究方面得到广泛的运用，引起了国内外学者的关注。例如，对于物质的记忆性和遗传性的描述，分数阶导数提供了一个良好的工具。对许多物质结构和导电性的模拟，采用分数阶导数比整数阶导数具有更强的优势, 分数阶导数对半自动的动力系统过程模拟和渗透结构的模拟同样重要。分数 阶 导数的

3、 定 义已被很多数学家给出，有 Riesz-Feller 型的分数阶导数， Grunwald型的分数阶导数，Riemann-Liouville 型的分数阶导数，Caputo 型分数阶导数等等，它们都是整数阶导数和积分拓展和推广到任意阶导数的结果。在分形介质中分子扩散现象不能用标准的扩散方程来描述，称之为反常扩散。由于自然界中反常扩散现象的广泛性，近年来，Fokker-Planck方程，Langevin 方程，master方程，非线性扩散方程，分数阶扩散方程和含非线性项、分数阶导数的扩散方程常常被引入用以描述这种现象1-6。如应用分数阶微积分理论将经典的整数阶扩散与波的偏微分方程推广到时间和空间

4、的分数阶7，进而再扩展到各类非线性方程并给出其初边值问题的解，是近几年来应用的另一个主要领域这些问题有重要的应用背景，如在分形和多孔介质中的弥散、半导体物理、湍流及凝聚态物理等8-10。历史上，扩散方程就是从两个不同的角度建立和发展的，其一是从Fick第一、第二定律建立通量与流的本构关系而来研究扩散方程的，这可以称为确定型观点;其二是随机游走的观点建立的早期的Einstein-Kolmogorov扩散方程就是典型的例子。在建立了分数阶本构关系和分数阶随机游走的广义概念之后，从这两个方向又同时给出分数阶扩散方程的一致形式11,12。一般用时间的平均平方位移，尺度来刻画一个分数阶扩散特性。当时，为

5、整数阶扩散；而和入分别代表反常次扩散和反常超扩散。1.2 国内外研究与应用现状早在1983年，Mandelbrot 就提出分形学说, 将Riemann-Liouville分数阶微积分用以分析和研究分形媒介中的布朗运动. 1998年Chaves在讨论Levy统计时, 提出了一种分数阶扩散方程描述Levy flight 过程. 2000年Benson等在讨论Levy运动时分别提出了分数阶Fokker-Planck方程和空间分数阶对流一扩散方程, 并且通过与实验数据的对比证实了用分数阶方程模拟Levy运动确实有很好的近似. 同年, Metzler和Klafter利用了一种连续时间随机游走（CTRW）

6、的方法,在假定等待时间分布与跳跃长度分布独立, 且等待时间服从幂律分布（Power-Law distribution）（）、跳跃长度服从高斯分布的情况下, 导出了时间分数阶扩散方程, 首次建立了连续时间随机游走与分数阶反常扩散方程间的关系. 但是，由于幂律分布的方差不存在，2001年 Meerschaert推广了中心极限定理, 证明了无穷个独立同分布、服从幂律分布的随机变量累加收敛于一个平稳从属过程, 也就是增长的平稳 Levy 过程. 在2002年Meerschaert等人证明了当等待时间是平稳从属过程的首达时时, 同样可以得到时间分数阶扩散方程.这些文献也保证了本项目的可行性。 2006年

7、，任福尧等人证明了标准的时间分数阶反常扩散方程的解与标准正态分布相比，具有尖峰厚尾的性质，这为我们将分数阶微积分应用到金融市场中提供了理论基础。历史数据表明，由于市场的不稳定性，突发事件的存在，如金融危机、公司倒闭等，导致了金融资产的发生巨大亏损的概率大于对应的正态分布，即厚尾现象。2008年，Magdziarz等人首次证明了一个分数阶Fokker-Planck方程，可以由两个随机过程逼近，其主过程是由布朗运动驱动的带外力项的随机过程，这里的外力项只依赖于空间，而次过程是平稳从属过程的首达时，建立了随机过程与分数阶微分方程间的关系。介于分数布朗运动在金融市场中的广泛应用，2010年，吕龙进等人

8、研究了分数阶微积分与分数布朗运动之间的关系，用分数阶微积分来描述分数布朗运动，可以很好地给出其数学表达式，这些结果为本文的研究工作提供了思路的来源。现代投资组合理论研究的是各种相互关联的、确定的及不确定的条件下，理性投资者应该怎样做出最佳的投资选择，即如何把一定数量的资金按照合适的比例，分散投资于各种不同的证券商，以实现效用最大化的目标。在这一领域内，国内学术界先后提出了投资组合理论、资本资产定价模型和期权定价模型，建立了对于各种风险的计量和分析的重要思想方法。随着金融全球化的发展，金融市场、金融交易规模日益膨胀，金融资产价格的波动性相应变大，对金融市场风险的分析研究变得尤其重要。VaR方法即

9、是对市场风险进行测度的一种重要工具。 VaR（ValueatRisk）字面解释为“在险价值”，其含义为在一定概率水平下，某一金融资产或证券组合价值在未来特定时期内的最大可能损失。用公式表示为： 其中Prob：资产价值损失小于可能损失上限的概率；：某一金融资产在一定持有期的价值损失额；VaR：置信水平下的风险价值可能的损失上限；：给定的概率置信水平。1.2.1VaR方法的优点VaR方法可以将不同市场因子、不同资产组合的风险集成加总，充分考虑各种风险来源的相互作用，较好地反映金融市场风险复杂结构间的动态影响，得到 较为准确的风险暴露估计。因此基于VaR方法的市场风险测量理论和技术，为测 量市场风险

10、提供了统一的框架和指标，成为市场风险管理的主流方法。Var的优点在于它是一种用规范的统计技术来全面综合地衡量风险的方法,较其它主观性、艺术性较强的传统风险管理方法能够更加准确地反映金融机构面临的风险状况,大大增加了风险管理系统的科学性。其优点主要包括:1.VaR把对预期的未来损失的大小和该损失发生的可能性结合起来,不仅让投资者知道发生损失的规模,而且知道其发生的可能性。通过调节置信水平,可以得到不同置信水平上的VaR值,这不仅使管理者能更清楚地了解到金融机构在不同可能程度上的风险状况,也方便了不同的管理需要。2.VaR适用于综合衡量包括利率风险、汇率风险、股票风险以及商品价格风险和衍生金融工具

11、风险在内的各种市场风险。因此,这使得金融机构可以用一个具体的指标数值(VaR)就可以概括地反映整个金融机构或投资组合的风险状况,大大方便了金融机构各业务部门对有关风险信息的交流,也方便了机构最高管理层随时掌握机构的整体风险状况,因而非常有利于金融机构对风险的统一管理。同时,监管部门也得以对该金融机构的市场风险资本充足率提出统一要求。3.可以事前计算风险,不像以往风险管理的方法都是在事后衡量风险大小;不仅能计算单个金融工具的风险,还能计算由多个金融工具组成的投资组合风险,这是传统金融风险管理所不能做到的。1.2.2确定VaR值的几种方法 20世纪90年代初，国外学术界开始强调风险的量化和统一的度

12、量尺度。1993年7月，国际性民间研究机构G-30在衍生产品的实践和规则报告中最早提出利用VaR方法对风险进行监管。VaR法的核心在于如何确定资产组合收益的统计分布和概率密度函数。国外对基于VaR方法的风险管理的研究已经相当成熟，主 要集中在如何确定VaR值的问题上。主要有以下三种方法：1. 历史模拟法（HS，Historical Simulationmethod）没有对复杂的市场结构做出假设，而是假定采样周期中收益率不变，借助过去一段时间内的资产组合风险收益的频率，通过找到历史上一段时间内的平均收益以及置信水平下的最低收益水平，来推算VaR的值。其隐含的假定是历史数据在未来可以重现。HS方法

13、简单，易于操作，但弊端在于用过去的数据来预测将来的发展误差较大。Boudoukh、Richardson和Whitelaw(1998)改进了历史模拟法，提出了具有指数权重的历史模拟。Hull和White（1998）认为可以通过历史数据计算每一个市场因子当前日期和每一天的日变动估计，然后用当前波动率与历史波动率作比值来对历史收益进行调整，用调整后的收益率替代实际的收益率来为投资组合定价，进而形成经验分布以估计VaR的值。这种方法的好处是通过重新调整收益能够反映目前的市场变动。Bulter和Schachter(1996)则提出利用高斯核估计和高斯Legendre积分相结合，来求得VaR的值和对应的置

14、信区间。2. 蒙特卡罗模拟法（MC，MonteCarlo）的基本思想是用市场因子的历史数据生成该市场因子未来的可能波动情景，并通过模拟来确定真实分布，从而确定VaR的值。由于MC方法可以较好地处理非线性、非正态问题，可以用来分析各类风险，所以优越性很明显。在此基础上形成的Delta-Gamma-thetaMonteCarlo、网格MonteCarlo和情景MonteCarlo等模拟更简化了计算。3. 方差协方差估计法的核心是对资产回报的方差协方差矩阵进行估计从而确定VaR的值和置信区间。Engle（1982）引入了自回归条件异方差ARCH模型，Bollerslev(1986)提出了广义自回归条

15、件异方差GARCH模型，是这一方法能够解决残差异方差的问题。1.3 存在的问题与不足这些方法都有赖于资产组合的概率分布满足正态分布这一前提。对不满足正态性的资产组合，VaR方法得到的值通常被低估，所以近年来国外学者又提出半参数法（厚尾方法）。该方法着重于对收益率分布尾部的估计，使之能够解决金融时间序列的“厚尾”现象。尤其是基于ARCH模型VaR分析在描述资产收益波动性方面有不可比拟的功能。任福尧等人于2006年已经证明了分数阶扩散方程 （6）的解具体形式基本上依赖于潜在几何的形状, 但是, 有趣的是, 我们可以知道 的渐进行为, 有 , 其中, ,这种形式的解称为伸长的Gaussion分布,

16、与标准正态分布相比, 具有尖峰厚性。因此将分数阶反常扩散模型引入到风险管理中求出Var，不仅考虑了资产组合收益率的尖峰厚尾性，又给出了风险的一个数量化标准，这也正是本学位论文想要研究的主要内容。1.4 总结与展望现在国内外对于金融市场风险的管理方法已经十分成熟，但是一些实际上存在于现实生活中的因素总是影响着金融市场未来走向的方方面面。在本文中我引入的反常扩散模型将会更加符合现实情况下的金融市场风险走向。所以，在不久的将来，国内外将涌现出更多更加先进的研究方法，让我们在这个领域内得到更加耀眼的明珠。参考文献1郑文通。金融风险管理的VaR方法及应用。国际金融研究1997，（9）2牛 昂。银行风险管

17、理的新方法,1997，（4）3范 英。度量融风险的VaR方法，及其在我国股市金融风险分析中的应用。2001.4包 峰，于金平，李胜红。CVaR对VaR和CVaR的研究综述。黑龙江对外贸易，2008（2）。5王冰，投资组合分线管理VaR方法的应用与挑战J。黑龙江对外贸易，2008（3）6 Chaves A.S., A fractional diffusion equation to describe Levy flightsJ, Physics Letters A, 1998,239: 13-16.7 Benson D.A., Wheatcraft S.W. and Meerschaert M.

18、M., Application of a Factional Advection-Dispersion第2章 开题报告 反常扩散模型在风险管理中的运用2.1设计意义及目的随着金融全球化的发展，金融市场、金融交易规模日趋扩大，金融资产价格的波动随之变大，对金融市场风险的分析研究变得尤其重要。VaR方法是目前对市场风险进行预测和管理的一种重要工具和主流方法。VaR作为一种动态风险管理方法，20世纪90年代中期兴起，并应用于一些大型金融企业，对金融工具市场风险进行测评，中国也应用在证券投资和银行监管中，表现出其较准确的风险预测性。但是目前已有的方法基本上是基于资产组合的概率分布满足正态分布这一前提假

19、设下建立的，而在真实市场上，由于由于经常会有突发性事件影响整个金融走势, 导致了收益率分布与正态分布相比具有尖峰厚尾性。本论文引入反常扩散模型，结合反常扩散模型的特性，将很好地解决这个问题。本文将VaR引入金融市场投资风险管理中，以有效提高资金运用的稳健性，并保障收益性和可持续性。采用实证和规范分析相结合的研究方法，筛选一段时期的历史数据，选择适合中国风险环境的VaR模型，对风险管理运用进行实证分析，并提出相关政策建议。2.2可行性分析考虑到本文研究内容的实际情况，该研究主要存在着数据来源和数学模型这两方面的问题。因此从这两方面对该研究的可行性进行分析。首先是数据来源方面的可行性分析。当前，网

20、络的发达程度已经是人们难以想象的了，关于金融市场的各方面数据信息都能找到。因此，无需担心数据获取方面的问题。故从数据来源可行性上来说，该研究是可行的。最后是数学模型可行性分析。国内外对反常扩散模型、风险管理以及Var等课题都已经具有翔实的资料，我所需要做的就是站在巨人的肩膀上，远眺该领域内的风采。所以，在数学模型上，该研究也是可行的。2.3基本框架第一章，文献综述。主要介绍本文研究课题的背景、意义、以及国内外的研究发展动态。第二章，开题报告。根据文献综述撰写论文开题报告。介绍论文思路和数学模型的建立。第三章，VAR模型建立与分析。以及反常扩散模型在风险管理中的具体应用。第四章，根据本文的研究结

21、论给出相关的风险管理建议。2.4研究的重点和难点本文研究的重点在于：研究风险管理与反常扩散模型的关系，以及VaR在风险管理领域的应用。难点：影响风险管理效果的外部宏观因素有很多，如何才能把风险管理与VaR模型之间的关系成为了本文研究的难点。2.5进度安排起始年月进度目标要求2012.12.252012.01.5查阅文献，撰写报告和文献综述的初稿2012.01.062012.01.08对开题报告和文献综述初稿进行修改，外文翻译2012.01.092012.01.10准备PPT，开题报告答辩2012.03.162012.04.15完成论文分析设计和模型设计2012.04.162012.05.15研

22、究论文涉及的原理及其具体应用2012.05.162012.06.10论文的撰写与整理，提交毕业论文，答辩参考文献1 M. Magdziarz, A. Weron, Fractional Fokker-Planck dynamics: Stochastic representation and computer simulationJ, Physical Review E 75, 016708(2007)5 Mandelbrot B.B., The Fractal Geometry of NatureM, 1983.6 Chaves A.S., A fractional diffusion eq

23、uation to describe Levy flightsJ, Physics Letters A, 1998,239: 13-16.7 Benson D.A., Wheatcraft S.W. and Meerschaert M.M., Application of a Factional Advection-DispersionEquationJ, Water Resour. Res., 2000, 36: 1403-1412.8 Schumer R., Benson D., Meerschaert M., et al., Eulerian derivation of the frac

24、tionaladvection-dispersion equationJ, J.Contam.Hydrol, 2001, 48(1-2):69-88.9 Elli B., CTRW pathways to the fractional diffusion equationJ, Chemical Physics, 2002, 284:13-27.10陈忠阳.VaR模型与金融机构风险管理J.金融论坛,2001,(5).11刘玲、赵娇.风险测度和管理的VaR方法及其优缺点J.北方经贸，2003.12卢文莹.金融风险管理M.复旦大学出版社，2006.13谷秀娟.金融风险管理理论、技术与应用M.立信会计

25、出版社，2006.14郑文通.金融风险管理的VaR方法及其应用J.国际金融研究，1997,(9).15牛昂.银行管理的新方法J.国际金融研究，1997,(7).16姚刚.风险值测定法浅析J.经济科学，1998，(1).17刘宇飞.VaR模型及其在金融监管中的应用J.经济科学，1999，(l)18张尧庭.金融市场的统计方法M.广西师范大学出版社，1998.9詹原瑞.市场风险的度量:VaR的计算与应用J.系统工程理论与实践，1999，(12).20赵睿,赵陵.VaR方法与资产组合分析.数量经济技术经济研究.2002年(l1):44-47.21景乃权，陈姝.VAR模型及其在投资组合中的应用.财贸经济

26、.2003年(2):68-71.22姚小义，滕宏伟，陈超.证券公司资产管理业务的规模风险控制.数量经济技术经济.2002年(5):65-67.23英定文.指数期货与证券机构定量风险管理体系.数量经济技术经济研究.2002年(10):71-74.24杜海涛.VaR模型在证券风险管理中的应用.证券市场导报.2000年(8):57-61.25Jorion P.Value at Risk:The New Benchmark for Controlling Market RiskM.McGraw-Hill,New York,1997.第三章 外文翻译分数阶Fokker-Planck 动力系统:随机表示和

27、计算机模Marcin Magdziarz 和Aleksander Weron乌戈斯坦豪斯中心，中国科学院数学与计算机科学学院，弗罗茨瓦夫理工大学Wyb. Wyspianskiego 27, 50-370 Wroclaw, PolandKarina Weron摘要本文提出了一个反常扩散过程样本路径的可视化模拟算法。这是基于分数Fooker-Planck 方程的随机表示，其中方程是用来描述一个非常数外力下的反常扩散现象.对上面提出的算法引入了蒙特卡罗方法，这将会为我们研究分数阶Fooker-Planck 动力系统的很多相关统计特征提供有力工具。1引言许多物理运输问题的发生都是因为受到了一个外磁场的

28、作用。因此，依据福克-普朗克分数方程（也就是FFPE）发展出了一系列处理受外磁场作用的问题。它为复杂的动态运输说明提供了一个有效的方法，并且它是由反常扩散和非指数松弛模式执行的。FFPE可以由广义主方程的严格推导连续时间随机游走CTRW模型所示。在倾斜的周期势的FFPE的框架内，通过底层的CTRW的反常输运的数值模拟。概率密度函数中的FFPE的几种解决方法中所述。然而，这种方法的局限性是，它不允许一个构造和分析样本路径的底层的随机过程。在这里，我们介绍一个简单而有效的方法，计算机模拟的反常扩散过程的FFPE样品路径。这让我们考虑正在调查的物理系统的数学统计特性，如分量线和相应的概率密度函数随时

29、间的演化。建议的仿真方法是一个随机表示反常扩散过程（YT）方面的PDF函数w（X，T）：即，（YT）= X（St）的，其中X是由FFPE描述的后果一定ITA的随机微分方程和（St）的解决方法是反时限的一个稳定关系。在此上下文中所产生的一个基本特征是该系统的时间随机变化。它反映了一个基础的事实，CTRW场景中的粒子连续跳跃之间的等待时间的分布是重复的。此外，描述了标准布朗运动的朗之万型动态揭示了一些光的分数动态。总结，FFPE随机表示的反常扩散过程提供了另一种到微观动力学的基础链接，在Langevin描述。在Lvy飞行的共振激活的背景下一个相关的问题是，通过相应的Langevin方程的分数阶的F

30、okker-Planck动力学数值模拟研究解释6；参照7.本文的结构如下所示。以秒为单位。第二，我们是一个随机过程，的PDF遵守的分数Fokker-Planck方程的动态，可以认定为从属关系的两个基本过程：该解决方案有一定的ITA的随机微分方程和反时限稳定的从属连词。利用所得到的表示，在第三部分，我们找到一个有效的方法模拟样品的反常扩散模型的路径。我们引进的算法和蒙特卡罗方法使我们能够检测和研究许多相关的分数福克-普朗克动力学的统计特性，如分量线，进化中的PDF格式的，渐近平稳，自相似性，等等。2随机表示的FFPE著名的FFPE ，描述反常扩散在外部可能的存在下，由下式给出下面的公式：在1 中

31、明确它派生，对其解决的方法进行了介绍和计算某些特殊情况下的精确解。在这里，操作是Riemann- Liouville型的分数阶导数8。它是已知的介绍了一种卷积积分与缓慢衰减的幂律内核,这是典型的复杂系统中的记忆效应的9。在，通过 表示PDF的主要立场的衍生工具有关的空间坐标的力量和潜力。常数K表示异常的扩散系数，而为广义分歧常数，对于成为或普通的Fokker-Planck方程。FFPE介绍了图1. （有颜色的线）（a）中PDF的时间变化的反常扩散与参数和和（b）标准扩散（布朗运动）。尖形状的PDF在反常扩散的情况下，确认的模拟算法的正确性（cf.1）.（a）中的显示了蒙特卡洛方法所得出的算法。

32、按照平均平方位移得出无用区间，它遵循一些通用的涨落耗散定理。另外，一个推广的爱因斯坦 - 斯托克斯维Smoluchowski关系连接广义分歧系数和扩散系数。1.本节的主要目的是要表明该解决方案FFPE（1）中的是和PDF(见图1)次级过程相同，通过以下方式获得的时间随机变化，其中过程是随机微分方程的解决方法由标准布朗运动驱动。的从属，叫做反时限从属，10,11的定义是在列维变换上标准递增的地方14-i.e.，的拉普拉斯变换过程 此外，过程和被认为是独立的。观察和这两个过程在时刻的内部就被索引。这个时间并不是准确的物理时间。为了找到可以观察粒子的时间t，我们就来介绍反时限的从属有关的内部时刻和观

33、察到的时间t。的物理性质已经在最近发表的论文中详细论述10,11。值得一提的是可以以自然的方式明确出现并在考虑CTRW情况下，等待时间重合分布连续跳跃的颗粒之间的导出。 表1 主要流程和表现方法随机代表性的优点（2）相对于其他流行的从属方法，在PDF积分变换中显示出来。12.13下面从的反常扩散模型的计算机模拟中研究。现在，让我们结束上一届中的主要问题。让潜在的一个任意的非恒定功能。首先，我们在中的和中的建立联系。（该符号的使用见于表1）。严格遵循的列维变换，它是的自相拟 15；i.e.，它的PDF满足了可扩展的关系。 现在，我们已知，我们计算了拉普拉斯变换：使用总概率公式并且独立于和，我们得

34、到的是由下式给 其中和是PDF的和分别给出的。因此，在拉普拉斯空间里，上述式和（7）式产生 因为过程是由随机差分方程（3）给出的，它是服从普通福克普朗克方程1因此，在拉普拉斯空间中和（1）式中的解决方法之间的关系遵循12,16:现在，我们使用（8）式终于获得最后一个公式为我们提供了关系因此，我们展示FFPE（1）中这个解决方法描述在（2）式中PDF的次级动态过程。这一结果提供了物理的更换操作的时间12的过程通过以下方式获得的反常扩散现象的解释，在标准扩散中，由从属 的反时限。这种变化的系统的运行时间有关的事实，即连续跳跃的粒子在底层的CTRW场景之间的等待时间的分布是重合的。在特殊情况下的恒定

35、可能=常数，的傅里叶变换是，就的米格塔-莱夫勒函数来看，是由下式得出10,11所示，同样的公式适用于中的PDF，这证实了10的一般结果是符合物理规律的。可以发现在的H- FOX功能的封闭形式的解决方案的FFPE1。不幸的是，这些功能都可以在数值上只在一些特殊情况下评估。在接下来的章节中，我们使用随机的FFPE建设的基础反常扩散过程的模拟样本路径的方法表示2 。3. 样本路径的数值逼近下面，我们将展示如何得到数值近似样品的反常扩散模型的路径。在最近的文献5中，作者提出了一种方法，通过底层的CTRW的模拟样品的反常扩散的路径。在他们的方法中，它是必要的粒子，这是米塔格 - 莱弗勒distribut

36、ed.Since的计算机生成的米塔格 - 莱弗勒分布式的随机变量是麻烦产生连续的停留时间，者是作者认为所有人都无法取代的米塔格 - 莱弗勒分布帕累托一个重要原因。不过，这两个分尽管有其明显的相似性，即渐近行为，但是有一些独特的的差异，特别是当该参数接近1时。我们的方法源于不同的概念；它明显的用（2）式表示。它不需要产生米塔格 - 莱弗勒分布的随机变量，在我们的算法中，每一个轨迹作为一个从属进程的两个轨迹保守地得到和i.e.，随机微分方程3的解决方法中的定义和从其中一个是严格的增加列维变换。该算法的近似过程在集合中，和之间是时间跨度，有两个步骤组成。（1） 我们的第一个目标是中近似的值。因此，我

37、们开始实现严格的增加逼近列维变换在使用标准方法，求和的过程中的增量我们得出 由17-19: 中他的随机变量V是均匀分布在区间上的. 图2.（有颜色的线）用可视化的方法发现的值，该算法在第一个步骤中使用。如果那么。现在，对于的每一个元素，我们都能找到元素属于，并且最后，从（4）中自定义，我们得到这样一个例子（见图2）值得强调的是，是一个严格的增加功能，找到值的上述步骤，可以有效实现。 （2）在第二步骤中，我们的目的是在的次级过程中找到近似值。从该算法的第一步骤中，我们已经有我们所掌握的近似值。我们从经典的欧拉方程中采用解决方案在中的随机微分方程（3）。在这里， L是等于第一整数。 图3.（有颜色

38、的线）在第二步骤中的算法线性插值的可视化用什么方法来找到的值。在这种情况下，。 图4.（有颜色的线）样品实现（a）异常扩散（b）正常扩散和（c）的反时限，存在一个恒定的可能。参数是和它的时间间隔是保持不变，表明底层CTRW重合停留时间。和以及和 之间的恒定的间隔之间的相似性在剩余的域内是不同的。超过规定值。从欧拉公式14我们可以得出：因为这里是i.i.d随机变量，呈标准正态分布，现在，的自实现是连续函数，因为从迭代计划（12）我们得到我们所掌握的值，我们使用标准的线性插值，以获得的近似值因此，对于每一个我从矩阵中可以得出。图5.（有颜色的线）实现的异常样本扩散（b）正常扩散和（c）中的反时限扩

39、散。图6.（有颜色的线）估计分量线和两个样品反常扩散的轨迹在不断的与潜在的参数图7.（有颜色的线）4.结论我们引进了电脑的有效方法样品的路径的subdiffusive过程模拟的描述的FFPE 。这使得调查的分数阶福克 - 普朗克动力学的复杂系统的蒙特卡罗方法。我们已经表明，在solutionw的FFPE等于PDF。其中x是由方程描述的标准的扩散。是所谓的逆时间稳定的从属处理从底层重尾的停留时间是一个新的操作时间的系统和原稿坐标CTRW 。将得到的随机表示是至关重要的构建的模拟样本路径的算法反常扩散X（s），其中，反过来，使我们能够检测和研究许多相关的系统属性考虑。该算法可以应用于对一个任意可能V（x）和的任何参数值。所提出的方法，因为这是一个很大的优势只能根据已知的精确解的FFPE ，福克斯功能，此功能可以在数值上只有在一些特殊的情况下进行评估。另外，由于算法使用2随机的表示，我们避免所有的困难模拟米塔格 - 莱弗勒分布，这似乎在提出的方法在5。我们预计，在这里提出的统计工具会导致UTE更好地了解次扩散运输和动态基础。 参考文献25