2015年高考数学热点难点试题考纲解读专题专题17坐标系与参数方程

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1、【2015年高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有：来源:学优高考网gkstk(1)直线、曲线的极坐标方程；(2)直线、曲线的参数方程；(3)参数方程与普通方程的互化；(4)极坐标与直角坐标的互化 ，本内容的考查要求为B级.来源:学优高考网【重点、难点剖析】1直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)，则2直线的极坐标方程若直线过点M(0，0)，且极轴到此直线的角为，则它的方程为：sin()0sin(0)几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：；(2)直线过点M

2、(a,0)(a0)且垂直于极轴：cos a；(3)直线过M且平行于极轴：sin b.3圆的极坐标方程若圆心为M(0，0)，半径为r的圆方程为：220cos(0)0r20.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r：r；(2)当圆心位于M(r,0)，半径为r：2rcos ；来源:学优高考网gkstk(3)当圆心位于M，半径为r：2rsin .(4)圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(为参数，02)圆心在点A(0，0)，半径为r的圆的方程为r22020cos(0)来源:学优高考网gkstk4直线的参数方程经过点P0(x0，y0)，倾斜角为的直线的参数方程为(t为参数

3、)设P是直线上的任一点，则t表示有向线段的数量5圆的参数方程圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(为参数，02)6圆锥曲线的参数方程(1)椭圆1的参数方程为(为参数)(2)双曲线1的参数方程为(为参数)(3)抛物线y22px(p0)的参数方程为(t为参数).【高频考点】热点一极坐标方程和参数方程【例1】(2014辽宁)将圆x2y21上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2xy20与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程【命题意图】本题主要考

4、查参数方程与普通方程、极坐标方程与普通方程间的转化结合方程的转化和应用考查考生的应用意识和转化思想【思路方法】(1)先列方程，再进一步转化为参数方程(2)解出交点，再求得直线方程，最后转化为极坐标方程【解析】(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得由xy1，得x221，即曲线C的方程为x21.故C的参数方程为(t为参数)(2)由解得或不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k，于是所求直线方程为y1，化为极坐标方程并整理，得2cos 4sin 3，即.【感悟提升】若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x

5、轴正半轴重合，两坐标系的长度单位相同，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化求解与极坐标方程有关的问题时，可以转化为熟悉的直角坐标方程求解若最终结果要求用极坐标表示，则需将直角坐标转化为极坐标【变式探究】 (2013新课标全国)已知动点P、Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t与t2(02)，M为PQ的中点(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点【解析】(1)依题意有P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2，2sin 2)，因此M(cos cos 2，sin sin 2)M的轨迹的参数方程为(为参数，02)(2)M点到坐标原点

6、的距离d(02)当，d0，故M的轨迹过坐标原点【规律方法】要熟悉常见曲线的参数方程、极坐标方程，如：圆、椭圆、双曲线、抛物线以及过一点的直线，在研究直线与它们的位置关系时常用的技巧是转化为普通方程解答【变式探究】 在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线sin与极轴的交点，求圆C的极坐标方程热点二极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的互化【例2】 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，M是C1上的动点，P点满足2，点P的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求

7、AB.【解析】(1)设P(x，y)，则由条件知M，由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为(为参数)(2)曲线C1的极坐标方程为4sin ，曲线C2的极坐标方程为8sin .射线与C1的交点A的极径为14sin，射线与C2的交点B的极径为28sin.所以AB|21|2.【规律方法】解决这类问题一般有两种思路，一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标要注意题目所给的限制条件及隐含条件【变式探究】已知曲线C1的极坐标方程为6cos ，曲线C2的极坐标方程为(R)，曲线C1，C2相交于A，B两点(1)把曲线C1，C

8、2的极坐标方程转化为直角坐标方程；(2)求弦AB的长度【解析】(1)由6cos 得；26cos ，x2y26x，由(R)得：yx，(2)圆的x2y26x圆心(3,0)，半径3，圆心到直线AB的距离，AB2 3.热点三参数方程及其应用【例3】 (2014福建)已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(为参数)(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围【命题意图】本小题主要考查直线与圆的参数方程等基础知识，意在考查考生的运算求解能力及化归与转化思想【解题思路】(1)消去参数，即可求出直线l与圆C的普通方程(2)求出圆心的坐标，利用圆心到直线l的距离

9、不大于半径，得到关于参数a的不等式，即可求出参数a的取值范围【解析】(1)直线l的普通方程为2xy2a0，圆C的普通方程为x2y216.(2)因为直线l与圆C有公共点，来源:学优高考网故圆C的圆心到直线l的距离d4，解得2a2.【感悟提升】1将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件2在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解【变式探究】已知直线l：(t为参数)，曲线C1：(

10、为参数)(1)设l与C1相交于A，B两点，求|AB|的值；(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值【解析】(1)l的普通方程为y(x1)，C1的普通方程为x2y21.联立方程解得l与C1的交点为A(1,0)，B，则|AB|1.(2)C2的参数方程为(为参数)故点P的坐标是学优高考网.从而点P到直线l的距离d，当sin1时，d取得最小值，且最小值为(1).【能力突破】来源:学优高考网难点一、极坐标方程与参数方程的综合应用例1、(2014新课标全国卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为

11、极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos ，.(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：yx2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标【命题意图】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，圆的参数方程及其应用，直线与圆的位置关系，意在考查考生的分析转化能力与运算求解能力【解题思路】(1)先由曲线的极坐标方程写出其直角坐标方程，再判明曲线为半圆后写出对应的参数方程(2)由相切性质可知，CD所在直线斜率与已知直线斜率相同，结合圆中参数t的意义知t，代入参数方程即得D点的坐标【解析】(1)C的普通方程为(x1)2y21(0y1)可得C的参数方程为(t为参数，0

12、t)(2)设D(1cos t，sin t)由(1)知C是以C(1,0)为圆心，1为半径的上半圆因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线CD与l的斜率相同，tan t，t.故D的直角坐标为，即.【感悟提升】方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是化归与转化思想的应用在涉及圆、椭圆的有关最值问题时，若能将动点的坐标用参数表示出来，借助相应的参数方程，可以有效地简化运算，从而提高解题的速度常见题型及解题方法(1)求相关动点的轨迹方程时，用参数方程较为方便(2)求两点间距离时，用极坐标比较

13、方便，这两点与原点共线时，距离为|12|，这两点与原点不共线时，用余弦定理求解无论哪种情形，用数形结合的方法，易得解题思路【举一反三】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin4.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标 (2)由(1)知，椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上的点P(cos ，sin )到直线xy80的距离d，所以当sin1时，d的最小值为3，此时点P的坐标为.【变式探究】已知曲线C1的参数方程是(为参数

14、)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是2.正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2的取值范围【解析】(1)由已知可得：A，B，C，D，即A(1，)，B(，1)，C(1，)，D(，1)(2)设P(2cos ，3sin )，令S|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2，则S16cos236sin2163220sin2.因为0sin21，所以S的取值范围是32,52【规律方法】本题的技巧在于根据圆内接正方形的各顶点的

15、极角相差，而极径不变，先得到各点的直角坐标，如果先把圆的方程转化为普通方程，再求各点的坐标就相对比较麻烦【变式探究】已知曲线C的极坐标方程为acos (a0)以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t参数)若直线l与曲线C相切，求a的值【解析】曲线C化为直角坐标方程为x2y2ax0，即2y22，直线l的参数方程化为普通方程为xy10.由题设条件，有：，a，来源:学优高考网gkstk1a(舍去)或1a，a2(1).【高考预测】 1已知圆的极坐标方程为：24cos60.(1)将极坐标方程化为普通方程；(2)若点P(x，y)在该圆上，求xy的最大值和

16、最小值【解析】(1)原方程变形为：24cos 4sin 60.x2y24x4y60.(2)圆的参数方程为(为参数)，所以xy42sin.所以xy的最大值为6，最小值为2.2在直角坐标系xOy中，直线l的方程为xy40，曲线C的参数方程为(为参数)(1)已知在极坐标(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值【解析】(1)把极坐标系下的点P化为直角坐标，得P(0,4)因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程xy40，所以点P在直线l上(2)因为点Q在曲线C

17、上，学优高考网故可设点Q的坐标为(cos ，sin )，从而点Q到直线l的距离为dcos2，由此得，当cos 1时，d取得最小值，且最小值为.3在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系圆C1，直线C2的极坐标方程分别为4sin ，cos2.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点已知直线PQ的参数方程为(tR为参数)，求a，b的值【解析】(1)圆C1的直角坐标方程为x2(y2)24，直线C2的直角坐标方程为xy40，解得所以C1与C2交点的极坐标为，.(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)(1,3)，故直线PQ

18、的直角坐标方程为xy20，由参数方程可得yx1.所以解得所以a1，b2.4已知曲线C的参数方程为0,2)，曲线D的极坐标方程为sin .(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；(2)曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由【解析】(1)由0,2)得x2y1，x1,1来源:来源:学优高考网gkstk(2)由sin得曲线D的普通方程为xy20.得x2x30.解得x1,1，故曲线C与曲线D无公共点5已知动点P、Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t与t2(02)，M为PQ的中点(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点来源:【解析】(1)依题

19、意有P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2，2sin 2)，因此M(cos cos 2，sin sin 2)M的轨迹的参数方程为(为参数，02)(2)M点到坐标原点的距离d (02)来源:学优高考网gkstk当时，d0，故M的轨迹过坐标原点6在直角坐标系xOy中，圆C1：x2y24，圆C2：(x2)2y24.(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程【解析】(1)圆C1的极坐标方程为2，圆C2的极坐标方程为4cos .解得2，故圆C1与圆C2交点的坐标为，.注：学优高考网极坐标系下点的表示不唯一(2)解法一由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1，)，(1，)故圆C1与C2的公共弦的参数方程为t.(或参数方程写成 y )解法二将x1代入得cos 1，从而 .于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为 .