2022年高一上学期12月月考数学试卷含解析

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1、2022年高一上学期12月月考数学试卷含解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1设P=y|y=x2+1,xR,Q=y|y=2x,xR,则()APQBQPCRPQDQRP2下列说法正确的是()A如果一条直线与一个平面内的无数条直线平行,则这条直线与这个平面平行B两个平面相交于唯一的公共点C如果一条直线与一个平面有两个不同的公共点,则它们必有无数个公共点D平面外的一条直线必与该平面内无数条直线平行3下列函数中,既是奇函数又在(0,+)上单调递增的是()Ay=log2xBy=x1Cy=x3Dy=2x4过点M(2,m)、N(m,4)

2、的直线的斜率等于1,则m的值为()A1B4C1或3D1或45若f(x)=2x,则下列等式不成立的是()Af(x+1)=2f(x)Bf(2x)=f(x)2Cf(x+y)=f(x)f(y)Df(xy)=f(x)f(y)6函数f(x)=x3+x3的实数解所在的区间是()A0,1B1,2C2,3D3,47一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A3B4C2+4D3+48三个数a=0.2,b=0.2,c=log0.2的大小关系是()AabcBbacCcabDcba9已知m,n是两条不同直线,是三个不同平面,下列命题中正确的是()A若m,n,则mnB若,则C若m,m,则D若m,n,则mn10在

3、梯形ABCD中,ABC=,ADBC,BC=2AD=2AB=2,将梯形ABCD绕BC所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()ABCD211若点P(a,b)与Q(b1,a+1)关于直线l对称,则l的倾斜角为()A135B45C30D6012已知点A(2,3),B(3,2)直线l过点P(1,1),且与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围是()ABCD二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把正确答案填在答题纸给定的横线上.13定义在R上的奇函数f(x)满足:当x0时,f(x)=log2x,则f(f()=14将一个气球的体积变以原来的2倍,它的表面积变为原来的倍15幂函数

4、f(x)的图象经过点(,2),点(2,)在幂函数g(x)的图象上,当f(x)g(x)时,x的取值范围为16已知函数f(x)=,则函数y=ff(x)1的图象与x轴有个交点三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程17已知函数f(x)=的定义域为M,N=x|a+1x2a1,(1)当a=4时,求(RM)N;(2)若NM,求实数a的取值范围18(1)已知A(1,2),B(1,0),C(3,a)三点共线,求a的值(2)已知A(1,1),B(2,2),C(3,0)三点,求点D的坐标,使直线CDAB,且BCAD19如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,侧棱PD底面ABCD,

5、E,F,M分别是PC,PB,CD的中点(1)证明:PBAC;(2)证明:平面PAD平面MEF20已知函数(1)判断并证明f(x)的奇偶性;(2)求证:;(3)已知a,b(1,1),且,求f(a),f(b)的值21如图,在四棱锥PABCD中,平面PAD平面ABCD,ABDC,PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8,AB=2DC=4(1)设M是PC上任意一点,证明:平面MBD平面PAD;(2)求四棱锥PABCD的体积(3)在线段PC上是否存在一点M,使得PA平面BDM,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由22设函数f(x)=a,xR,a为常数;已知f(x)为奇函数(1)求a的值;(2)求证:f

6、(x)是R上的增函数;(3)若对任意t1,2有f(m2t2)+f(2t)0,求m的取值范围参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1设P=y|y=x2+1,xR,Q=y|y=2x,xR,则()APQBQPCRPQDQRP【考点】集合的包含关系判断及应用【分析】根据集合的定义分别求出集合P和Q,再根据子集的定义和补集的定义对A、B、C、D四个选项进行一一验证;【解答】解:P=y|y=x2+1,xR,Q=y|y=2x,xR,P=y|y1,Q=yy0,P与Q不存在子集的关系,A、B错误;CRP=y|y1,Q=yy0,C

7、RPQ故选C2下列说法正确的是()A如果一条直线与一个平面内的无数条直线平行,则这条直线与这个平面平行B两个平面相交于唯一的公共点C如果一条直线与一个平面有两个不同的公共点,则它们必有无数个公共点D平面外的一条直线必与该平面内无数条直线平行【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】在A中,这条直线与这个平面平行或这条直线在这个平面内;在B中,两个平面相交于一条直线;在C中,这条直线在平面内;在D中,当平面外的一条直线与平面相交时,平面外的这条直线必与该平面内的直线不平行【解答】解:在A中,如果一条直线与一个平面内的无数条直线平行,则这条直线与这个平面平行或这条直线在这个平面内,故A错误;在

8、B中,两个平面相交于一条直线,故B错误;在C中,如果一条直线与一个平面有两个不同的公共点,则这条直线在平面内,它们必有无数个公共点,故C正确;在D中,当平面外的一条直线与平面相交时,则平面外的这条直线必与该平面内的直线不平行,故D错误故选:C3下列函数中,既是奇函数又在(0,+)上单调递增的是()Ay=log2xBy=x1Cy=x3Dy=2x【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断【分析】利用函数的奇偶性、单调性即可判断得出结论【解答】解:由于函数:y=log2x与y=2x是非奇非偶函数,y=x1在在(0,+)上单调递减,y=x3是奇函数又在(0,+)上单调递增故选:C4过点M(2,m

9、)、N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为()A1B4C1或3D1或4【考点】直线的斜率【分析】根据斜率k=,直接求出m 的值【解答】解:过点M(2,m)、N(m,4)的直线的斜率等于1,所以k=1解得m=1故选A5若f(x)=2x,则下列等式不成立的是()Af(x+1)=2f(x)Bf(2x)=f(x)2Cf(x+y)=f(x)f(y)Df(xy)=f(x)f(y)【考点】指数函数的图象与性质;有理数指数幂的化简求值【分析】根据指数幂的运算性质即可判断答案【解答】解:对于A:f(x+1)=2x+1=22x=2f(x),故正确;对于B:f(2x)=22x=(2x)2=f(x)2,故正确;对

10、于C:f(x+y)=2x+y=2x2y=f(x)f(y),故正确,对于D:则不正确,故选:D6函数f(x)=x3+x3的实数解所在的区间是()A0,1B1,2C2,3D3,4【考点】函数的零点与方程根的关系;函数零点的判定定理【分析】先确定函数f(x)=x3+x3在R上是单调增函数,再用零点存在定理,判断函数f(x)=x3+x3的实数解所在的区间【解答】解:f(x)=3x2+10函数f(x)=x3+x3在R上是单调增函数f(1)=1+13=10,f(2)=8+23=70函数f(x)=x3+x3的实数解所在的区间是(1,2)故选B7一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A3B4C2

11、+4D3+4【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体是圆柱体的一部分,利用图中数据求出它的表面积【解答】解:根据几何体的三视图,得;该几何体是圆柱体的一半,该几何体的表面积为S几何体=12+12+22=3+4故选:D8三个数a=0.2,b=0.2,c=log0.2的大小关系是()AabcBbacCcabDcba【考点】不等式比较大小【分析】利用指数函数的性质得到a1,0b1,利用对数函数的性质得到c0,则可得到正确答案【解答】解:a=0.20=1,b=0.20.20=1,且b0,c=log0.2log0.21=0cba故选D9已知m,n是两条不同直线,是三个不同平面

12、,下列命题中正确的是()A若m,n,则mnB若,则C若m,m,则D若m,n,则mn【考点】平面与平面平行的判定【分析】通过举反例可得A、B、C不正确,根据垂直于同一个平面的两条直线平行,可得D正确,从而得出结论【解答】解:A、m,n平行于同一个平面,故m,n可能相交,可能平行,也可能是异面直线,故A错误;B、, 垂直于同一个平面,故, 可能相交,可能平行,故B错误;C、,平行与同一条直线m,故, 可能相交,可能平行,故C错误;D、垂直于同一个平面的两条直线平行,故D正确故选 D10在梯形ABCD中,ABC=,ADBC,BC=2AD=2AB=2,将梯形ABCD绕BC所在的直线旋转一周而形成的曲面

13、所围成的几何体的体积为()ABCD2【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台)【分析】由题意可知几何体是一个底面半径为1,高为1的圆柱,加上一个相同底面高为1的圆锥的组合体,利用体积公式,求解几何体的体积即可【解答】解:由题意可知几何体是一个底面半径为1,高为1的圆柱,加上一个相同底面高为1的圆锥的组合体,几何体的体积V=故选:B11若点P(a,b)与Q(b1,a+1)关于直线l对称,则l的倾斜角为()A135B45C30D60【考点】直线的倾斜角【分析】设l的倾斜角为,根据点P(a,b)与Q(b1,a+1)关于直线l对称,可得kPQtan=1,即可得出【解答】解:设l的倾斜角为,kPQ=1,点P(a

14、,b)与Q(b1,a+1)关于直线l对称,1tan=1,tan=1,=45,故选:B12已知点A(2,3),B(3,2)直线l过点P(1,1),且与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围是()ABCD【考点】直线的斜率【分析】画出图形,由题意得所求直线l的斜率k满足 kkPB 或 kkPA,用直线的斜率公式求出kPB 和kPA 的值,求出直线l的斜率k的取值范围【解答】解:如图所示:由题意得,所求直线l的斜率k满足 kkPB 或 kkPA,即 k=,或 k=4,k,或k4,即直线的斜率的取值范围是k或k4故选:A二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把正确答案填在答题纸给定的横线

15、上.13定义在R上的奇函数f(x)满足:当x0时,f(x)=log2x,则f(f()=1【考点】函数奇偶性的性质【分析】利用奇函数的性质,结合函数的解析式,即可得出结论【解答】解:当x0时,f(x)=log2x,f()=2,函数f(x)是奇函数,f(f()=f(2)=f(2)=1故答案为114将一个气球的体积变以原来的2倍,它的表面积变为原来的倍【考点】球的体积和表面积【分析】利用球的体积、表面积公式,即可得出结论【解答】解:一个气球的体积变为原来的2倍,则半径变为原来的倍,表面积变为原来的倍,故答案为:15幂函数f(x)的图象经过点(,2),点(2,)在幂函数g(x)的图象上,当f(x)g(

16、x)时,x的取值范围为x1或x1【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【分析】利用幂函数经过的点,求出幂函数的解析式,利用不等式求解即可【解答】解:幂函数f(x)的图象经过点(,2),可得幂函数f(x)=x2点(2,)在幂函数g(x)的图象上,可得幂函数为:g(x)=x2,当f(x)g(x)时,可得x2x2,解得x1或x1故答案为:x1或x116已知函数f(x)=,则函数y=ff(x)1的图象与x轴有2个交点【考点】函数的图象【分析】根据分段函数,函数值的求法,分类讨论,分别代入得到相应的方程的,解得即可【解答】解:当x0时,f(x)=x+1,当x0时,f(x)=x+1,当1x0时,f(x

17、)=x+10y=ff(x)1=log2(x+1)1=0,即log2(x+1)=1,解得x=1(舍去)当x1时,f(x)=x+10,y=ff(x)+1=f(x)+11=x+1=0,x=1当x0时,f(x)=log2x,y=ff(x)1=log2f(x)1,当0x1时,f(x)=log2x0,y=ff(x)1=log2f(x)1=log2(log2x+1)1=0,log2x1=0,x=2(舍去)当x1时,f(x)=log2x0,y=ff(x)1=log2(log2x)1=0,log2x=2,x=4综上所述,y=ff(x)1的零点是x=1,或x=4,则函数y=ff(x)1的图象与x轴有2个交点,故答

18、为:2三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程17已知函数f(x)=的定义域为M,N=x|a+1x2a1,(1)当a=4时,求(RM)N;(2)若NM,求实数a的取值范围【考点】集合的包含关系判断及应用;交、并、补集的混合运算【分析】(1)先求出M,N,再求(RM)N;(2)若NM,分类讨论,建立不等式,即可求实数a的取值范围【解答】解:(1)函数f(x)=中x满足的条件,3x5,f(x)的定义域M=(3,5)当a=4时,RM=(,35,+),N=(5,7),(RM)N=(5,7)(2)当N=时,即a+12a1,有a2; 当N,则,解得2a3,综合得a的取值范围为a3

19、18(1)已知A(1,2),B(1,0),C(3,a)三点共线,求a的值(2)已知A(1,1),B(2,2),C(3,0)三点,求点D的坐标,使直线CDAB,且BCAD【考点】三点共线【分析】(1)A,B,C三点共线,可得kAB=kAC,即可得出(2)由直线CDAB,且BCAD可得kABkCD=1,kBC=kAD【解答】解:(1)kAB=1,kAC=A,B,C三点共线,kAB=kAC,=1,解得a=4(2)设D(x,y),kAB=3,kCD=,kBC=2,kAD=直线CDAB,且BCADkABkCD=3=1,kBC=kAD,即=2联立解得,即D(0,1)19如图,在四棱锥PABCD中,底面AB

20、CD是菱形,侧棱PD底面ABCD,E,F,M分别是PC,PB,CD的中点(1)证明:PBAC;(2)证明:平面PAD平面MEF【考点】平面与平面平行的判定;空间中直线与直线之间的位置关系【分析】(1)证明:AC平面PBD,即可证明PBAC;(2)证明EF平面PAD;EM平面PAD,利用平面与平面平行的判定定理,即可证明平面PAD平面MEF【解答】证明:(1)由PD底面ABCD,得PDAC底面ABCD是菱形,BDAC,又因为PDBD=D,AC平面PBD,而PB平面PBD,ACPB (2)因为E,F为PC,PB中点,所以EFBC所以EFAD,又因为AD面PAD,EF面PAD8分所以EF平面PAD;

21、同理可证:EM平面PAD又因为EF,EM面EFM,EFEM=E所以面EFM面PAD20已知函数(1)判断并证明f(x)的奇偶性;(2)求证:;(3)已知a,b(1,1),且,求f(a),f(b)的值【考点】对数函数图象与性质的综合应用【分析】(1)由可得函数的定义域(1,1),关于原点对称,再由=可判断函数奇偶性(2)分别计算 f(a)+f(b)与可证(3)由(2)可得f(a)+f(b)=1,f(a)+f(b)=2结合奇函数的性质可得f(b)=f(b),从而可求【解答】解:(1)由可得函数的定义域(1,1),关于原点对称=故函数f(x)为奇函数(2)f(a)+f(b)=(3)=1f(a)+f(

22、b)=1 =2f(a)+f(b)=2f(b)=f(b),f(a)f(b)=2,解得:21如图,在四棱锥PABCD中,平面PAD平面ABCD,ABDC,PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8,AB=2DC=4(1)设M是PC上任意一点,证明:平面MBD平面PAD;(2)求四棱锥PABCD的体积(3)在线段PC上是否存在一点M,使得PA平面BDM,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定【分析】(1)在ABD中,由已知可得AD2+BD2=AB2,得到ADBD再由平面与平面垂直的性质可得BD平面PAD,进一步得到平面MBD平面PAD;(2)过P作P

23、OAD交AD于O,由于平面PAD平面ABCD,得到PO为四棱锥PABCD的高,求出四边形ABCD的面积,代入棱锥体积公式求得四棱锥PABCD的体积;(3)存在M点满足条件,此时连接AC交BD于G点,由ABCD,得当PA平面BDM时,得GMPA从而得到【解答】(1)证明:在ABD中,由于AD=4,BD=8,AB=,AD2+BD2=AB2故ADBD又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,BD平面ABCD,BD平面PAD,又BD平面MBD,故平面MBD平面PAD;(2)解:过P作POAD交AD于O,由于平面PAD平面ABCD,PO平面ABCD因此PO为四棱锥PABCD的高,又PAD是

24、边长为4的等边三角形因此PO=在底面四边形ABCD中,ABCD,AB=2DC,四边形ABCD是梯形,在RtADB中,斜边AB边上的高为,此即为梯形ABCD的高,四边形ABCD的面积为故;(3)存在M点满足条件,此时证明如下:连接AC交BD于G点,由ABCD,得ABGCDG,故当PA平面BDM时,PA平面PAC,面PAC平面BDM=GM,GMPA22设函数f(x)=a,xR,a为常数;已知f(x)为奇函数(1)求a的值;(2)求证:f(x)是R上的增函数;(3)若对任意t1,2有f(m2t2)+f(2t)0,求m的取值范围【考点】函数奇偶性的性质;函数单调性的判断与证明;奇偶性与单调性的综合【分

25、析】(1)根据函数的奇偶性求出a的值,检验即可;(2)根据函数单调性的定义证明即可;(3)根据函数的单调性以及函数的奇偶性得到m1,t1,2,从而求出m的范围即可【解答】解:(1)由f(0)=0得:a=1,当a=1时,f(x)=,于是f(x)=f(x),故f(x)是奇函数;证明:(2)对任意x1,x2R且x1x2,f(x1)f(x2)=+=,x1x2,0,10,f(x1)f(x2),由定义知:f(x)是R上的增函数;解:(3)f(m2t2)+f(2t)0,f(m2t2)f(2t)=f(2t),由(2),f(x)是增函数,m2t22t,即m1,t1,2,m0,所以实数m的取值范围是0,+)xx11月12日

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