二元函数极限PPT学习教案

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1、会计学1二元函数极限二元函数极限定义定义1 设设f为定义在为定义在2DR 上的二元函数上的二元函数,000(,)P xy为为D的聚点的聚点,A为一实数为一实数.若若00,使当使当00( , )(; )P x yUPD 时时,恒有恒有|( )| |( , )|,f PAf x yA 则称则称f在在D上当上当0PP时时,以以A为极限为极限,记作记作0lim( ),PPp Df PA0lim( ),PPf PA或00( , )(,)lim( , ).x yxyf x yA或1) 要求要求P0为为D的聚点的聚点,保证能让保证能让0;PP2) P属于属于P0的邻域与的邻域与D的交的交,保证保证P始终在始

2、终在f的定义域中的定义域中;3) 二重极限是相对一定的二重极限是相对一定的D而言的而言的(意即相对不同的意即相对不同的D其可能不同其可能不同);4) 极限定义的方邻域形式和圆邻域形式极限定义的方邻域形式和圆邻域形式(在具体证题时常用这两种形式在具体证题时常用这两种形式).定义定义1-100,使当使当0000|,|,( , ),( , )(,)xxyyx yDx yxy时时,恒有恒有|( , )|.f x yA 第1页/共27页4) 极限定义的方邻域形式和圆邻域形式极限定义的方邻域形式和圆邻域形式(在具体证题时常用这两种形式在具体证题时常用这两种形式).定义定义1-200,使当使当0000|,|

3、,( , ),( , )(,)xxyyx yDx yxy时时,恒有恒有|( , )|.f x yA 定义定义1-300,使当使当222000()()xxyy 或或22000()()xxyy 时时,恒有恒有|( , )|.f x yA 第2页/共27页2. 用定义证明极限用定义证明极限基本思路基本思路:根据根据 找找, 使当使当0000|-|,|-|,( , ),( , )(,),x xyyx yDx yxy或或222000()()xxyy 时时,有有|( , )|.f x yA 找找 的方法的方法:|( , )|f x yA 逐次放大出逐次放大出0|xx 与与0|yy 的线性组合的线性组合或含

4、因子或含因子2200()()xxyy的式子的式子例例1依定义证明：依定义证明：22( , )(2,1)lim()7.x yxxyy分析：分析：22|7|xxyy逐次放大出逐次放大出|x-2|与|y-1 的线性组合22|7|xxyy=22|(4)3|xxyy=22|(4)(1)2|xyxy=22|(4)(1)(2 )(22)|xyxyyy=|(2)(2)(1)(1)(2)2(1)|xxyyy xy第3页/共27页例例1依定义证明：依定义证明：22( , )(2,1)lim()7.x yxxyy22|7|xxyy=22|(4)3|xxyy=22|(4)(1)2|xyxy=22|(4)(1)(2 )

5、(22)|xyxyyy=|(2)(2)(1)(1)(2)2(1)|xxyyy xy|2|2|1|1|2| 2|1|xxyyyxy问题转化为：如何将问题转化为：如何将|2|,|1|,|xyy放大为常数？放大为常数？可以对可以对|x-2|与|y-1进行常数限制，从而可以把进行常数限制，从而可以把|2|,|1|,|xyy放大为常数放大为常数令|x-2| 113x35x+2|2| 5x| 1令|y-120y|1| 3,| 2yy所以，当所以，当|x-2| 1,| 1|y-1时，时，22|7|xxyy5|2| 3|1| 2|2| 2|1|xyxy7(|2|1|)xy只要只要,14|x-2|14|y-12

6、2|7|xxyymin1,|,( , )(2,14x y0,取,使当|x-2|0,取,使当0 x +y 时0,( ),f PM,0则称f在D上当PP时 存在非正常极限,记作0lim( ),PPp Df P 0lim( ),PPf P 或00( , )(,)lim( , ).x yxyf x y 或0(, ),P0U0(, ),PD0使当P(x,y) U时 恒有其它极限形式其它极限形式:00( , )(,)(1) lim( , )x yxyf x y 00( , )(,)lim( , )x yxyf x y 00( , )(,)lim( , ).x yxyf x y 0( , )(,)(2) l

7、im( , )x yxf x yA( , )(,)lim( , )x yf x yA 0( , )(,)lim( , )x yxf x yA0( , )(,)(3) lim( , )x yxf x y ( , )(,)lim( , )x yf x y 0( , )(,)lim( , )x yxf x y 第8页/共27页例例5设设221( , ),23f x yxy证明证明( , )(0,0)lim( , )x yf x y 证证:要证要证:M若0,( , )f x yM0(, ),P0U0(, ),PD0使当P(x,y) U时 恒有把把0(, ),P0U0(, )PD0使当P(x,y) U时

8、具体化具体化:0|,( , )(,x yx0000,使当|x-x |0,使当0(x-x ) +(y-y )0,则0,0(, ),PD0使当P(x,y) U时 恒有( , )0f x y （3） 极限存在的局部有界性。极限存在的局部有界性。00( , )(,)lim( , ).x yxyf x yA若,M则0,0(, ),PD0使当P(x,y) U时 恒有|( , )|f x yM（4） 极限的运算性质。极限的运算性质。0000( , )(,)( , )(,)lim( , ),lim( , ),x yxyx yxyf x yg x y若都存在 则00( , )(,)lim ( , )( , )x

9、 yxyf x yg x y0000( , )(,)( , )(,)lim( , )lim( , )x yxyx yxyf x yg x y00( , )(,)lim ( , )( , )x yxyf x yg x y0000( , )(,)( , )(,)lim( , )lim( , )x yxyx yxyf x yg x y00( , )(,)lim( , )0,x yxyg x y当时00( , )(,)( , )lim( , )x yxyf x yg x y0000( , )(,)( , )(,)lim( , )lim( , )x yxyx yxyf x yg x y第10页/共27页

10、（5） 两边夹法则两边夹法则若0,0(, ),PD0使当P(x,y) U时 恒有( , )( , )( , )g x yf x yh x y0000( , )(,)( , )(,)lim( , )lim( , )x yxyx yxyg x yh x yA00( , )(,)lim( , ).x yxyf x yA则第11页/共27页6. 二重极限的计算二重极限的计算(1) 利用极限定义证明极限利用极限定义证明极限例例1证明证明:22( , )(0,0)lim0|x yxyxy证明证明:因为因为222|),xyxy(所以所以22|xyxy故故对0,要使要使22220,|xyxyxy只要取只要取

11、= ,于是当于是当2220(0)(0)xy即即220(0)(0)xy 时便有便有220,|xyxy故故22( , )(0,0)lim0|x yxyxy第12页/共27页(2) 利用极限运算的运算法则利用极限运算的运算法则例例22( , )(1,0)ln()limyx yxexy计算解解:因为因为( , )(1,0)lim1,x yx( , )(1,0)lim0,x yy( , )(1,0)lim1,yx ye所以所以2( , )(1,0)lim()10,x yxy ( , )(1,0)lim()2,yx yxe故故2( , )(1,0)ln()limyx yxexy( , )(1,0)2( ,

12、 )(1,0)limln()lim()yx yx yxexyln2ln21(3) 利用极坐标变换求极限利用极坐标变换求极限例例33322( , )(0,0)limx yxyxy计算解解: 令令cos ,xsin ,y则则3322( , )(0,0)limx yxyxy33320(cossin)lim330lim(cossin)=0第13页/共27页(4) 利用二个重要极限利用二个重要极限0sinlim1,xxx1lim 1xxex求极限求极限.10(lim 1)xxxe例例4求极限求极限3322( , )(0,0)sin()(1) lim;x yxyxy2( , )(0,0)1(2) lim1

13、xx yx yx解解:(1)因为因为3322( , )(0,0)sin()limx yxyxy33333322( , )(0,0)sin()limx yxyxyxyxy而而3333( , )(0,0)sin()lim1x yxyxy3322( , )(,0)lim0 x yxyxy 所以所以3322( , )(0,0)sin()limx yxyxy33333322( , )(0,0)sin()limx yxyxyxyxy33333322( , )(0,0)( , )(0,0)sin()limlimx yx yxyxyxyxy=0第14页/共27页(4) 利用二个重要极限利用二个重要极限0sin

14、lim1,xxx1lim 1xxex求极限求极限.10(lim 1)xxxe例例4求极限求极限3322( , )(0,0)sin()(1) lim;x yxyxy2( , )(0,0)1(2) lim1xx yx yx2( , )(,0)1(2) lim1xx yx yx ( , )(,0)1lim1xxx yx yx 1ee(5) 利用两边夹法则利用两边夹法则例例5求极限求极限22( , )(0,0)limln()x yxyxy解解:220 |ln()|xyxy2222|ln()|2xyxy2222 ln()2xyxy(不妨设不妨设221)xy令令22xyr故故2222( , )(0,0)l

15、im ln()2x yxyxy0lim( ln )2rrr=0由两边夹法则由两边夹法则, 得得22( , )(0,0)limln()x yxyxy=0第15页/共27页二、累次极限二、累次极限问题问题:1. 00lim lim( , )yyxxf x yL 的定义中的定义中,xyEE是实数集还是平面点集是实数集还是平面点集?xyEE 为何意为何意?2. 00lim lim( , )yyxxf x yL 对对0 x与与0y有何要求有何要求?是否要求是否要求( , )f x y在在00(,)xy有定义有定义?3. 00lim lim( , )yyxxf x y的定义中的定义中,0lim( , )x

16、xf x y中的中的y是否可取是否可取0?y4. 能否用累次极限求二重极限能否用累次极限求二重极限?5. 两个累次极限存在且相等两个累次极限存在且相等,是否二重极限就一定存在是否二重极限就一定存在?6. 二重极限存在二重极限存在,是否累次极限就一定存在是否累次极限就一定存在?7. 两个累次极限存在且不等两个累次极限存在且不等,是否二重极限不存在是否二重极限不存在?8. 一个累次极限存在另一个累次极限不存在一个累次极限存在另一个累次极限不存在,是否二重极限不存在是否二重极限不存在?第16页/共27页二、累次极限二、累次极限称称00( , )(,)lim( , )x yxyf x y为函数为函数(

17、 , )f x y在在00(,)xy的二重极限的二重极限.1. 累次极限累次极限定义定义3设设0,xyEER x 是是xE的聚点的聚点,0y是是yE的聚点的聚点,( , )f x y在在xyDEE上有定义上有定义.若对每个若对每个0,yyEyy极限极限0lim( , )xxxx Ef x y 存在存在,设设0( )lim( , )xxxx Eyf x y 若极限若极限0lim ( ),yyyy EyL 则称则称L为为( , )f x y先对先对x后对后对y的累次极限的累次极限,记作记作00lim lim( , )yxyyxxy Ex Ef x yL 或或00lim lim( , )yyxxf

18、x yL 类似可定义类似可定义00lim lim( , ).xxyyf x y第17页/共27页例例 求下次函数在求下次函数在(0,0)的累次极限的累次极限:221 ( )( , );xyf x yxy 222( )( , ).xyxyf x yxy 解解(1)22200000000limlimlimlim,xyxxxyxxyx 22200000000limlimlimlim.yxyyxyyxyy (两个累次极限存在且相等）两个累次极限存在且相等）二重极限二重极限220 0( , )( , )limx yxyxy 存在吗存在吗?(2)220000011limlim( , )limlimlim(

19、)yxyxyxyxyf x yyxy 220000011limlim( , )limlimlim()xyxyxxyxyf x yxxy 两个累次极限存在但不相等两个累次极限存在但不相等二重极限二重极限220 0( , )( , )limx yxyxyxy 存在吗存在吗?第18页/共27页2. 累次极限与重极限没有必然的联系累次极限与重极限没有必然的联系例例622200000000limlimlimlim,xyxxxyxxyx 22200000000limlimlimlim.yxyyxyyxyy (两个累次极限存在且相等）两个累次极限存在且相等）但二重极限但二重极限220 0( , )( , )

20、limx yxyxy 不存在不存在!例例7220000011limlim( , )limlimlim()yxyxyxyxyf x yyxy 220000011limlim( , )limlimlim()xyxyxxyxyf x yxxy 两个累次极限存在但不相等两个累次极限存在但不相等同时二重极限同时二重极限220 0( , )( , )limx yxyxyxy 不存在不存在!第19页/共27页例例7220000011limlim( , )limlimlim()yxyxyxyxyf x yyxy 220000011limlim( , )limlimlim()xyxyxxyxyf x yxxy

21、两个累次极限存在但不相等两个累次极限存在但不相等同时二重极限同时二重极限220 0( , )( , )limx yxyxyxy 不存在不存在!事实上事实上,沿着直线沿着直线 y=kx的极限的极限220 00 0( , )( , )( , )( , )lim( , )limx yx yy kxy kxxyxyf x yxy 201111limxkxk xkkk 所以所以220 0( , )( , )limx yxyxyxy 不存在不存在.第20页/共27页例例8设设11( , )sinsin.f x yxyyx(1)000011limlim( , )limlim( sinsin)yxyxf x

22、yxyyx是否存在是否存在?(2)000011limlim( , )limlim( sinsin)xyxyf x yxyyx是否存在是否存在?(3)0 00 011( , )( , )( , )( , )lim( , )lim( sinsin)x yx yf x yxyyx是否存在是否存在?解解(1) 不存在不存在.(2) 不存在不存在.(3)0 00 0110( , )( , )( , )( , )lim( , )lim( sinsin).x yx yf x yxyyx第21页/共27页3. 当二重极限与累次极限都存在时当二重极限与累次极限都存在时定理定理16.6若若( , )f x y在点

23、在点00(,)xy二重极限与累次极限二重极限与累次极限00( , )(,)lim( , ),x yxyf x y00lim lim( , )xxyyf x y都存在都存在, 则则00( , )(,)lim( , )x yxyf x y00lim lim( , )xxyyf x y 若二重极限和累次极限都存在若二重极限和累次极限都存在, , 则它们必相等则它们必相等. .证证:设设00( , )(,)lim( , ),x yxyf x yA 则则0, 0, 0( , )(; ),P x yP 0U有有|( , )|f x yA (2)由题设由题设, 可假设对任一满足不等式可假设对任一满足不等式0

24、0 |xx(3)的的x, 有有0lim( , )( )yyf x yx(4)对对(2)式式, 令令0,yy得得| ( )|xA结合结合(3)式式, 得得0lim ( ),xxxA即即00( , )(,)lim( , )x yxyf x y00lim lim( , )xxyyf x y=A第22页/共27页推论推论1若若( , )f x y在点在点00(,)xy二重极限与累次极限二重极限与累次极限00( , )(,)lim( , ),x yxyf x y00lim lim( , ),xxyyf x y都存在都存在, 则三者相等则三者相等.00lim lim( , ),yyxxf x y推论推论2

25、若累次极限若累次极限00lim lim( , ),xxyyf x y00lim lim( , )yyxxf x y存在但不相等存在但不相等,则二重极限则二重极限00( , )(,)lim( , )x yxyf x y不存在不存在.(常用来证明极限不存在常用来证明极限不存在)第23页/共27页例例9 讨论下列函数在点讨论下列函数在点(0,0)的二重极限与累次极限的二重极限与累次极限.2sin()(1) ( , );xyf x yxy0, 0(2) ( , );1, 0 xf x yx当时当时2222, (3) ( , );(), xyxf x yxyx当 为有理数时当 为无理数时2222, ,

26、)(4) ( , );(), , )xyx yf x yxyx y当(为有理点时当(为无理点时解解:(1)20000sin()limlim ( , )limlimyxyxxyf x yxy0sinlim1,yyy20000sin()limlim ( , )limlimxyxyxyf x yxy20sinlimxxx220sinlim1 00 xxxx 0000limlim ( , )limlim ( , )yxxyf x yf x y所以所以( , )(0,0)lim( , )x yf x y不存在不存在.第24页/共27页(2)00limlim ( , )yxf x y1,00limlim

27、( , )xyf x y1,但但(x,y)沿沿x=0趋于趋于(0,0)时时, f(x,y)的极限为的极限为0, 故故f(x,y)在在(0,0)的二重极限不存在的二重极限不存在.例例9 讨论下列函数在点讨论下列函数在点(0,0)的二重极限与累次极限的二重极限与累次极限.2sin()(1) ( , );xyf x yxy0, 0(2) ( , );1, 0 xf x yx当时当时2222, (3) ( , );(), xyxf x yxyx当 为有理数时当 为无理数时2222, , )(4) ( , );(), , )xyx yf x yxyx y当(为有理点时当(为无理点时第25页/共27页22

28、22, (3) ( , );(), xyxf x yxyx当 为有理数时当 为无理数时2222, , )(4) ( , );(), , )xyx yf x yxyx y当(为有理点时当(为无理点时解解:(3)( , )(0,0)lim( , )x yf x y=0,00limlim ( , )xyf x y=0;但但0lim ( , )xf x y不存在不存在所以所以00limlim ( , )yxf x y不存在不存在.(4)( , )(0,0)lim( , )x yf x y=0,但但00limlim ( , )xyf x y与与00limlim ( , )yxf x y都不存在都不存在.第26页/共27页