武汉市高三四月调考理数

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1、武汉市2012届高三四月调研测试数 学（理）注意事项：1 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。2 选择题的作答：每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。3 非选择题的作答用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效4 选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。考生应根据自己选做的题目准确填涂题号,不得多选。答题答在答题卡上对应的答题区域内，答

2、在试题卷、草稿纸上无效。5 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1如图，在正方形ABCD中，点E为CD的中点，点F为BC上靠近点B的一个三等分点，则（A） （B）（C） （D）2“复数（aR，i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限”是“a1”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件3天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0

3、到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（A）0.35 （B）0.25 （C）0.20 （D）0.154一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示， 则该三棱柱的侧视图的面积为（A）6（B）8（C）8（D）12 5已知(3)n的展开式中各项系数之和为256，则展开式中第7

4、项的系数是（A）24 （B）24 （C）252 （D）2526执行如图所示的程序框图，若输出的结果是9，则判断框内m的取值范围是（A）(42，56（B）(56，72（C）(72，90（D）(42，90)7如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y（x0）图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为（A）（B）（C）（D）8已知直线l：AxByC0（A，B不全为0），两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），若(Ax1By1C)( Ax2By2C)0，且|Ax1By1C|Ax2By2C|，则直线l（A）与直线P1P2不相交 （B）与线段P2P1的

5、延长线相交（C）与线段P1P2的延长线相交 （D）与线段P1P2相交9抛物线y22px（p0）的焦点为F，点A、B在此抛物线上，且AFB90，弦AB的中点M在其准线上的射影为M，则的最大值为（A） （B） （C）1 （D）10已知函数f(x)则下列关于函数yf(f(x)1的零点个数的判断正确的是（A）当a0时，有4个零点；当a0时，有1个零点（B）当a0时，有3个零点；当a0时，有2个零点（C）无论a为何值，均有2个零点（D）无论a为何值，均有4个零点二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分（一）

6、必考题（1114题）11某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据（单位：百万元）x24568y304060t70根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为6.5x17.5，则表中t的值为 12已知，点A在角的终边上，且|OA|4cos，则点A的纵坐标y的取值范围是 13已知球的直径SC4，A，B是该球球面上的两点，AB2，ASCBSC45，则棱锥S-ABC的体积为 14在平面直角坐标系xOy中，已知三点A（a，b），B（b，c），C（c，a），且直线AB的倾斜角与AC的倾斜角互补，则直线AB的斜率为 （结果中不含字母a，b，c）（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作

7、答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑如果全选，则按第15题作答结果计分）15（选修4-1：几何证明选讲）如图，P为圆O外一点，由P引圆O的切线PA与圆O切于A点，引圆O的割线PB与圆O交于C点已知ABAC，PA2，PC1，则圆的面积为 16（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系下，已知直线l的方程为cos()，则点M（1，）到直线l的距离为 三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B60（）若cos(BC)，求cosC的值；（）若a5，5，求ABC的面积

8、18（本小题满分12分）在等差数列an中，满足3a55a8，Sn是数列an的前n项和（）若a10，当Sn取得最大值时，求n的值；（）若a146，记bn，求bn的最小值19（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，ADB90，AB2AD（）证明：PABD；（）若PDAD，求二面角A-PB-C的余弦值20（本小题满分12分）为增强市民节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如下表所示（）频率分布表中的、位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直

9、方图估计这500名志愿者中年龄在30，35)岁的人数；（）在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望分组（单位：岁）频数频率20，25)50.0525，30)0.2030，35)3535，40)300.3040，45100.10合计1001.0021（本小题满分13分）如图，已知椭圆：1（ab0）的左、右焦点分别是F1（c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的一个动点，满足|2a点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点M在线段F2Q上，且满足0，|0（）求

10、点M的轨迹C的方程；（）设不过原点O的直线l与轨迹C交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，求OAB面积的取值范围；（）由（）求解的结果，试对椭圆写出类似的命题（只需写出类似的命题，不必说明理由）22（本小题满分14分）已知函数f(x)ln(1x)ax在x处的切线的斜率为1（）求a的值及f(x)的最大值；（）证明：1ln(n1)（nN*）；（）设g(x)b(exx)，若f(x)g(x)恒成立，求实数b的取值范围武汉市2012届高三四月调研测试数学（理）试题参考答案及评分标准一、选择题：每小题5分，满分50分1D 2B 3B 4A 5D6B 7C 8B 9A 10A二、填空题

11、：每小题5分，满分25分1150 121，2 13 14 15 16三、解答题：本大题共6小题，共75分17（本小题满分12分） 解：（）在ABC中，由cos(BC)，得sin(BC)，cosCcos(BC)Bcos(BC) cosBsin(BC) sinB（6分）（）由5，得|cos(180C)5，即abcosC5，又a5，bcosC1， 由正弦定理，得，即bcosCbsinC5， 将代入，得bsinC6，故ABC的面积为SabsinC5615（12分）18（本小题满分12分）解：（）设an的公差为d，则由3a55a8，得3(a14d)5(a17d)，da1Snna1(a1)a1n2a1na

12、1(n12)2a1a10，当n12时，Sn取得最大值（6分）（）由（）及a146，得d(46)4，an46(n1)44n50，Sn46n42n248nbn2n5225232，当且仅当2n，即n5时，等号成立故bn的最小值为32（12分）19（本小题满分12分）解：（）由ADB90，可得BDAD因为PD底面ABCD，所以PDBD又PDADD，所以BD平面PAD，因为PA平面PAD，所以BDPA（4分）（）建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，设ADa，则A（a，0，0），B（0，a，0），C（a，a，0），P（0，0，a），（a，a，0），（a，0，0），（a，0，a），（a，a，a）设平面P

13、AB的法向量为n（x，y，z），所以可得设y，则xz3，可得n（3，3）同理，可求得平面PBC的一个法向量为m（0，1，）所以cosm，n由图形知，二面角A-PB-C为钝角，因此二面角A-PB-C的余弦值是（12分）20（本小题满分12分）解：（）处填20，处填0.35；补全频率分布直方图如图所示根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在30，35)的人数为5000.35175（4分）（）用分层抽样的方法，从中选取20人，则其中“年龄低于30岁”的有5人，“年龄不低于30岁”的有15人由题意知，X的可能取值为0，1，2，且P(X0)，P(X1)，P(X2)X的分布列为：X012PE(X)0

14、12（12分）21（本小题满分13分）解：（）设M（x，y）为轨迹C上的任意一点当|0时，点（a，0）和点（a，0）在轨迹C上当|0且|0时，由0，得又|（如图），所以M为线段F2Q的中点在QF1F2中，|a，所以有x2y2a2综上所述，点M的轨迹C的方程是x2y2a2（4分）（）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为ykxm（m0），A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y并整理，得(1k2)x22kmxm2a20，则4k2m24(1k2)(m2a2)4(k2a2a2m2)0，且x1x2，x1x2y1 y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2直线O

15、A，AB，OB的斜率依次成等比数列，k2，即m20，又m0，k21，即k1设点O到直线l的距离为d，则d，SOAB|AB|d|x1x2 |x1x2 |m|由直线OA，OB的斜率存在，且0，得0m22a2且m2a2，0a2故OAB面积的取值范围为（0，a2）（10分）（）对椭圆而言，有如下类似的命题：“设不过原点O的直线l与椭圆交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，则OAB面积的取值范围为（0，ab）”（13分）22（本小题满分14分）解：（）函数f(x)的定义域为（1，）求导数，得f (x)a由已知，得f ()1，即a1，a1此时f(x)ln(1x)x，f (x)1，当1

16、x0时，f (x)0；当x0时，f (x)0当x0时，f(x)取得极大值，该极大值即为最大值，f(x)maxf(0)0（4分）（）法（一）：由（），得ln(1x)x0，即ln(1x)x，当且仅当x0时，等号成立令x（kN*），则ln(1)，即ln，ln(k1)lnk（k1，2，n）将上述n个不等式依次相加，得1(ln2ln1)(ln3ln2)ln(n1)lnn，1ln(n1)（nN*）（10分）法（二）：用数学归纳法证明（1）当n1时，左边1lne，右边ln2，左边右边，不等式成立（2）假设当nk时，不等式成立，即1ln(k1)那么1ln(k1)，由（），知xln(1x)（x1，且x0）令x，则ln(1)ln，ln(k1)ln(k1)lnln(k2)，1ln(k2)即当nk1时，不等式也成立（10分）根据（1）（2），可知不等式对任意nN*都成立（）f(0)0，g(0)b，若f(x)g(x)恒成立，则b0由（），知f(x)maxf(0)0（1）当b0时，g(x)0，此时f(x)g(x)恒成立；（2）当b0时，g(x)b(ex1)，当x（1，0）时，g(x)0，g(x)单调递减；当x（0，）时，g(x)0，g(x)单调递增g(x)在x0处取得极小值，即为最小值，g(x)ming(0)b0f(x)，即f(x)g(x)恒成立综合（1）（2）可知，实数b的取值范围为0，）（14分）