2019-2020学年高中数学 第2章 变化率与导数 1 变化的快慢与变化率学案 北师大版选修2-2

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1、1变化的快慢与变化率学 习 目 标核 心 素 养1了解函数的平均变化率和瞬时变化率的定义，会求简单函数的平均变化率(重点)2知道用平均变化率“逼近”瞬时变化率，知道变化率是描述函数变化快慢的量(重点、难点)1通过变化率是描述函数变化快慢的量的学习，培养了学生直观想象和数学抽象的核心素养.2借助求简单函数的平均变化率的学习，养成了学生的数学运算的核心素养.1函数的平均变化率(1)定义：对一般的函数yf(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为.通常我们把自变量的变化x2x1称作自变量的改变量，记作x，函数值的变化f(x2)f(x1)称作函数值的改变

2、量，记作y.这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即.(2)作用：平均变化率用来刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢思考：函数的平均变化率是固定不变的吗？提示不一定当x0取定值，x取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；当x取定值，x0取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定2函数的瞬时变化率(1)定义：对于一般的函数yf(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设xx1x0，yf(x1)f(x0), 则函数的平均变化率是.当x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率(2)作用：瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢1如图，函数yf(x)在1

3、,3上的平均变化率为()A1B1C2 D2B12一质点运动规律是st23(s的单位为m，t的单位为s)，则在t1 s时的瞬时速度估计是_m/s.2ss(1t)s(1)(1t)23(123)2t(t)2，2t，当t趋于0时，趋于23一次函数f(x)axb(a0)从x1到x2的平均变化率为_a一次函数的图像为一条直线，图像上任意两点连线的斜率固定不变，故一次函数在定义域内的任意两个自变量取值之间的平均变化率都等于常数a.求函数的平均变化率【例1】(1)已知函数yf(x)x21，则在x2，x0.1时，y的值为()A0.40B0.41C0.43 D0.44(2)已知函数f(x)x，分别计算f(x)在自

4、变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快思路探究：(1)由yf(xx)f(x)f(20.1)f(2)可得(2)B(1)yf(2x)f(2)f(21)f(2)212220.41(2)解自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为；自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为.因为s2(t0t)，故.所以在相同时间内乙的速度比甲的速度快，因此，在如题图所示的整个运动过程中乙的速度比甲的速度快平均变化率的意义1本题中比较两人的速度，其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化率，通过比较平均变化率的大小关系得出结论2平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变

5、化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢2某手机配件生产流水线共有甲、乙两条，产量s(单位：个)与时间t(单位：天)的关系如图所示，则接近t0天时，下列结论中正确的是()A甲的日生产量大于乙的日生产量B甲的日生产量小于乙的日生产量C甲的日生产量等于乙的日生产量D无法判定甲的日生产量与乙的日生产量的大小B由平均变化率的几何意义可知，当接近于t0时，曲线乙割线的斜率大于曲线甲割线的斜率，故乙的日产量大于甲的日产量瞬时变化率探究问题1高台跳水运动员相对于水面的高度h与起跳时间t的函数关系h(t)4.9t26.5t10，求运动员在时间内的

6、平均速度为多少？提示易知hh(0)，0.2物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？提示不能如高台跳水运动员从起跳高度到最高点后回到起跳高度的过程中，平均速度为0，而运动员一直处于运动状态3如何描述物体在某一时刻的运动状态？提示可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态要求物体在t0时刻的瞬时速度，设运动方程为ss(t)，可先求物体在(t0，t0t)内的平均速度，然后t趋于0，得到物体在t0时刻的瞬时速度【例3】一辆汽车按规律s3t21做直线运动，估计汽车在t3 s时的瞬时速度(时间单位：s；位移单位：m)思路探究：先求时间从3到3t时的平均速度，再由t趋于0求得瞬时速度解当时间从3变到

7、3t时，3t18，当t趋于0时，趋于常数18.这辆汽车在t3 s时的瞬时速度为18 m/s.求函数f(x)在点xx0处的瞬时变化率的步骤1求yf(x0x)f(x0)；2计算，并化简，直到当x0时有意义为止；3将x0代入化简后的即得瞬时变化率3求函数yf(x)3x2x在点x1处的瞬时变化率解yf(1x)f(1)3(1x)2(1x)(31)7x3(x)273x.当x趋于0时，73x趋于7307.函数y3x2x在点x1处的瞬时变化率为7.1平均变化率与瞬时变化率之间的联系平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”，利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，但

8、效果是“粗糙不精确的”，当平均变化率中x0时，平均变化率变为瞬时变化率2瞬时速度与平均速度的区别和联系(1)区别：瞬时速度刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关(2)联系：瞬时速度是平均速度的极限值1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)由xx2x1，知x可以为0.()(2)yf(x2)f(x1)是xx2x1相应的改变量，y的值可正，可负，也可为零，因此平均变化率可正，可负，可为零()(3)对山坡的上、下两点A，B中，可以近似刻画弯曲山路的陡峭程度()答案(1)(2)(3)2一质点运动的方程为s53t2，则在一段时间1,1t内相应的平均速度为()A3t6B3t6C3t6 D3t6D63t.3设某产品的总成本函数为C(x)1 100，其中x为产量数，生产900个单位到1 000个单位时总成本的平均变化率为_.4在F1赛车中，赛车位移s与比赛时间t存在函数关系s10t5t2(s的单位为m，t的单位为s)，求：(1)t20，t0.1时s与；(2)t20时的瞬时速度解(1)ss(20t)s(20)10(200.1)5(200.1)21020520212050.012105(m)，210.5(m/s)(2)5t210，当t趋于0时，趋于210，所以在t20时的瞬时速度为210 m/s.- 7 -