2019高考数学二轮复习 专题八 选考4系列选讲 第一讲 选考4-4 坐标系与参数方程学案 理

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1、第一讲坐标系与参数方程考点一极坐标方程及应用1直角坐标与极坐标的互化公式把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)，则2几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r：r.(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：2acos.(3)当圆心位于M，半径为a：2asin.3几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：0和0.(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：cosa.(3)直线过M且平行于极轴：sinb.解(1)设P的极坐标为(，)(0)，M的极坐标为(1，)(10)由题设知|OP

2、|，|OM|1.由|OM|OP|16得C2的极坐标方程4cos(0)因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点B的极坐标为(B，)(B0)由题设知|OA|2，B4cos，于是OAB面积S|OA|BsinAOB4cos22.当时，S取得最大值2.所以OAB面积的最大值为2.解决极坐标问题应关注的两点(1)用极坐标系解决问题时要注意已知的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题来解决(2)在极坐标与直角坐标互化的过程中，需要注意当条件涉及“角度”和“距离”时，利用极坐标将会给问题的解决带来很大的便利对点训练(2018福建福州四

3、校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，直线C2的方程为yx.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求.解(1)由曲线C1的参数方程为(为参数)，得曲线C1的普通方程为(x2)2(y2)21，则C1的极坐标方程为24cos4sin70，由于直线C2过原点，且倾斜角为，故其极坐标方程为(R)(2)由得2(22)70，设A，B对应的极径分别为1，2，则1222，127，.考点二参数方程及应用1圆的参数方程以O(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是其中是参数2椭圆的参数方程椭圆

4、1(ab0)的参数方程是其中是参数3直线的参数方程(1)经过点P0(x0，y0)，倾斜角为的直线的参数方程是其中t是参数(2)若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：t0；|PM|t0|；|AB|t2t1|；|PA|PB|t1t2|.角度1：参数方程与普通方程的互化解(1)曲线C的普通方程为y21.当a1时，直线l的普通方程为x4y30.由解得或从而C与l的交点坐标为(3,0)，.(2)直线l的普通方程为x4ya40，故C上的点(3cos，sin)到l的距离d.当a4时，d的最大值为.由题设得，所以a8；当a

5、4时，d的最大值为.由题设得，所以a16.综上，a8或a16.角度2：直线参数方程中参数几何意义的应用解(1)曲线C的普通方程为1.当cos0时，l的普通方程为ytanx2tan，当cos0时，l的普通方程为x1.(2)将l的参数方程代入C的普通方程，整理得关于t的方程(13cos2)t24(2cossin)t80.因为曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，所以有两个解，设为t1，t2，则t1t20.又由得t1t2，故2cossin0，于是直线l的斜率ktan2.解决参数方程问题的3个要点(1)把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法(2)把普通方程化为参数方程的

6、关键是选准参数，注意参数的几何意义及变化范围(3)直线参数方程为(为倾斜角，t为参数)，其中|t|PM|，P(x，y)为动点，M(x0，y0)为定点，在解决与点P有关的弦长和距离的乘积问题时广泛应用对点训练1角度1设直线l的参数方程为(t为参数，为倾斜角)，圆C的参数方程为(为参数)(1)若直线l经过圆C的圆心，求直线l的斜率；(2)若直线l与圆C交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围解(1)由已知得直线l经过的定点是P(3,4)，而圆C的圆心是C(1，1)，所以，当直线l经过圆C的圆心时，直线l的斜率为k.(2)解法一：由圆C的参数方程得圆C的圆心是C(1，1)，半径为2.由直线l的参数

7、方程(t为参数，为倾斜角)，得直线l的普通方程为y4k(x3)(斜率存在)，即kxy43k0.当直线l与圆C交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径，即.即直线l的斜率的取值范围为.解法二：将圆C的参数方程化成普通方程为(x1)2(y1)24，将直线l的参数方程代入式，得t22(2cos5sin)t250.当直线l与圆C交于两个不同的点时，方程有两个不相等的实根，即4(2cos5sin)21000，即20sincos21cos2，两边同除以20cos2，得tan，即直线l的斜率的取值范围为.2角度2(2018郑州一模)已知直线l：(t为参数)以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极

8、坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|MB|的值解(1)2cos，22cos，曲线C的直线坐标方程为x2y22x，即(x1)2y21.(2)将直线l：(t为参数)代入曲线C的直角坐标方程中，化简得t25t180，且0.t1t218.点M(5，)在直线l上，根据直线参数方程中参数t的几何意义，得|MA|MB|t1t2|18.考点三极坐标方程与参数方程的综合应用1对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰2对于一些运算比较复杂

9、的问题，用参数方程或极坐标方程计算会比较简捷解(1)由消去参数t，得(x5)2(y3)22，所以圆C的普通方程为(x5)2(y3)22.由cos，得cossin2.可得直线l的直角坐标方程为xy20.(2)直线l与x轴，y轴的交点分别为A(2,0)，B(0,2)，化为极坐标为A(2，)，B，设点P的坐标为(5cost,3sint)，则点P到直线l的距离为d，所以dmin2，又|AB|2，所以PAB面积的最小值224.解决极坐标与参数方程问题的关键(1)会转化：把直线与圆的参数方程转化为普通方程时，要关注参数的取值范围的限定，还需掌握极坐标与直角坐标的互化公式(2)懂技巧：合理选择直角坐标形式运

10、算、极坐标形式运算、参数坐标形式运算，利用参数及其几何意义，结合关系式寻找关于参数的方程或函数对点训练在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：(为参数，0r4)，曲线C2：(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线C1交于点N，与曲线C2交于O，P两点，且|PN|的最大值为2.(1)将曲线C1与曲线C2化成极坐标方程，并求r的值(2)射线与曲线C1交于点Q，与曲线C2交于O，M两点，求四边形MPNQ面积的最大值解(1)将曲线C1的参数方程化为普通方程为x2y2r2.所以曲线C1的极坐标方程为r.将曲线C2的参数方程化为普通方程为(x2)2(y2)28，即x2y24x

11、4y0.所以曲线C2的极坐标方程为4cos4sin0，即4sin.因为|PN|max|PN|maxmax2，所以r2，所以C1：2.(2)S四边形MPNQSOPMSONQOPOMsinONOQsin4sin4sin224sin42.所以当时，四边形MPNQ面积的最大值为42.1(2018全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为yk|x|2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为22cos30.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程解(1)由xcos，ysin得C2的直角坐标方程为(x1)2y24.(2)由(1)知C2

12、是圆心为A(1,0)，半径为2的圆由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以2，故k或k0，经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以2，故k0或k.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l2与

13、C2没有公共点综上，所求C1的方程为y|x|2.2(2018全国卷)在平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为(为参数)，过点(0，)且倾斜角为的直线l与O交于A，B两点(1)求的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程解(1)O的直角坐标方程为x2y21.当时，l与O交于两点当时，记tank，则l的方程为ykx.l与O交于两点当且仅当1，解得k1，即或.综上，的取值范围是.(2)l的参数方程为(t为参数，)设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP，且tA，tB满足t22tsin10.于是tAtB2sin，tPsin.又点P的坐标(x，y)满足所以点P的轨迹的参数方程是(为参数，

14、)1.坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用2全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用专题跟踪训练(三十二)1(2018湖南长沙联考)在直角坐标系xOy中，直线C1：x2，圆C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(1)求C1，C2的极坐标方程(2)若直线C3的极坐标方程为(R)，设C2与C3的交点分别为M，N，求C2MN的面积解(1)xcos，ysin，C1：x2的极坐标方程为cos2，C2：(x1)2(y

15、2)21的极坐标方程为(cos1)2(sin2)21，化简，得2(2cos4sin)40.(2)把直线C3的极坐标方程(R)代入圆C2：2(2cos4sin)40，得2340，解得12，2.|MN|12|.圆C2的半径为1，|C2M|2|C2N|2|MN|2，C2MC2N.C2MN的面积为|C2M|C2N|11.2(2018洛阳联考)在极坐标系中，曲线C的方程为2，已知点R.(1)以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小

16、值，及此时P点的直角坐标解(1)xcos，ysin，x2y22.曲线C的直角坐标方程为y21.点R的直角坐标为(2,2)(2)设点P(cos，sin)，根据题意得Q(2，sin)，即可得|PQ|2cos，|QR|2sin，|PQ|QR|42sin(60)当30时，|PQ|QR|取最小值2，矩形PQRS周长的最小值为4.此时点P的直角坐标为.3(2018安徽皖南八校联考)在平面直角坐标系xOy中，C1的参数方程为(t为参数)，在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，C2的极坐标方程为22cos30.(1)说明C2是哪种曲线，并将C2的方程化为直角坐标方程(2)C1与C2有两个公共点

17、A，B，定点P的极坐标，求线段AB的长及定点P到A，B两点的距离之积解(1)将代入C2的极坐标方程中得C2的直角坐标方程为(x1)2y24，所以C2是圆(2)将C1的参数方程(t为参数)，代入(x1)2y24中得224，化简，得t2t30.设两根分别为t1，t2，由根与系数的关系得所以|AB|t1t2|，定点P到A，B两点的距离之积|PA|PB|t1t2|3.4(2018河北衡水中学模拟)在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程是，在以极点为原点O，极轴为x轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为(为参数)(1)求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；(2)将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，若M、N分别是曲线C1和曲线C3上的动点，求|MN|的最小值解(1)C1的极坐标方程是，4cos3sin24，4x3y240，故C1的直角坐标方程为4x3y240.曲线C2的参数方程为x2y21，故C2的普通方程为x2y21.(2)将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，则曲线C3的参数方程为(为参数)设N(2cos，2sin)，则点N到曲线C1的距离d(其中满足tan)当sin()1时，d有最小值，所以|MN|的最小值为.12