2017-2018学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.1 利用导数判断函数的单调性教学案 新人教B版选修1-1

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1、33.1利用导数判断函数的单调性学习目标1.掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)知识链接以前，我们用定义来判断函数的单调性在假设x1x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小，在函数yf(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易如何利用导数来判断函数的单调性？答：根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减预习导引

2、1函数的单调性与导数的关系(1)在区间(a，b)内由函数的导数求单调性有如下关系：导数函数的单调性f(x)0单调递增f(x)0单调递减f(x)0常数函数(2)在区间(a，b)内由函数的单调性求导数有如下关系：函数的单调性导数单调递增f(x) 0，且f(x)在(a，b)的任何子区间上都不恒为零单调递减f(x)0，且f(x)在(a，b)的任何子区间上都不恒为零常数函数f(x)02.一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大，说明函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”；反之，函数的图象就比较“平缓”.要点一利用导数判断函数的单调性例1证明：函数f(x)在区间上单调递减证明f

3、(x)，又x，则cosx0，xcosxsinx0，f(x)(或)0，则f(x)单调递增(或递减)；但要特别注意，f(x)单调递增(或递减)，则f(x)(或)0.跟踪演练1证明：函数f(x)在区间(0，e)上是增函数证明f(x)，f(x).又0xe，lnx0，故f(x)在区间(0，e)上是增函数要点二利用导数求函数的单调区间例2求下列函数的单调区间：(1)f(x)2x33x236x1；(2)f(x)sinxx(0x0得6x26x360，解得x2；由f(x)0解得3x2故f(x)的增区间是(，3)，(2，)；减区间是(3,2)(2)f(x)cosx1.因为0x，所以cosx10，即20，解得x.又

4、x0，x.令f(x)0，即20，解得x或0x0，0x0，得3x23t0，即x2t，当t0时，f(x)0恒成立，且f(x)在R的任何子区间上都不恒为零，函数的增区间是(，)；当t0时，令f(x)0得，x或x，令f(x)0得x0和f(x)0的区间为增区间，定义域内满足f(x)0且x0，得x，所以函数f(x)的单调递增区间为；由f(x)0得0x0得x1；由f(x)0，2x3a0，a2x3在x2，)上恒成立a(2x3)min.y2x3在2，)上是单调递增的，(2x3)min16，a16.当a16时，f(x)0(x2，)有且只有f(2)0，a的取值范围是(，16规律方法已知函数的单调性，求函数解析式中参

5、数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题，一般地，函数f(x)在区间I上单调递增(或减)，转化为不等式f(x)0(f(x)0)在区间I上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围跟踪演练3已知函数yx3bx2(2b3)x2b在R上不是减函数，则b的取值范围是_答案(，1)(3，)解析yx22bx(2b3)，要使原函数在R上单调递减，应有y0恒成立，4b24(2b3)4(b22b3)0，1b3，故使该函数在R上不是减函数的b的取值范围是b3.1函数f(x)xlnx在(0,6)上是()A增函数B减函数C在上是减函数，在上是增函数D在上是增函数，在上是减函数答案A解析x(0，)，f(x)10，函数在(0,6)上单调递增2f(x)是函数yf(x)的导函数，若yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是()答案D解析由导函数的图象可知，当x0，即函数f(x)为增函数；当0x2时，f(x)2时，f(x)0，即函数f(x)为增函数观察选项易知D正确3若函数f(x)x3ax2x6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是( )A1，) Ba1C(，1 D(0,1)答案A解析f(x)3x22ax1，又f(x)在(0,1)内单调递减，不等式3x22ax10，得x2；令y0，得x0和f(x)0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间6