2017-2018版高中数学 第一章 三角函数 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 4.2 单位圆与周期性学案 北师大版必修4

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1、41单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义42单位圆与周期性学习目标1.理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义及其应用.2.掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系.3.理解周期函数的定义知识点一任意角的正弦函数和余弦函数使锐角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，PMx轴于M，设P(x，y)，|OP|r.思考1角的正弦、余弦分别等于什么？思考2对确定的锐角，sin ，cos 的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？思考3若取|OP|1时，sin ，cos 的值怎样表示？梳理(1)对于任意角，使角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u

2、，v)，那么点P的_定义为角的正弦函数，记作_；点P的_定义为角的余弦函数，记作_(2)对于给定的角，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数知识点二正弦、余弦函数的定义域思考对于任意角，sin ，cos 都有意义吗？梳理正弦函数、余弦函数的定义域函数名定义域正弦函数R余弦函数R知识点三正弦、余弦函数值在各象限的符号思考根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦函数的值在各象限的符号吗？梳理正弦、余弦函数在各象限的符号象限三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限sin cos 知识点四周期函数思考由sin(x2k)sin x(

3、kZ)可知函数值随着角的变化呈周期性变化，你能说一下函数的变化周期吗？梳理一般地，对于函数f(x)，如果存在_，对定义域内的_x值，都有_，我们就把f(x)称为周期函数，_称为这个函数的周期特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2k(kZ，k0)为正弦函数、余弦函数的周期，其中2是正弦函数、余弦函数正周期中_的一个，称为_，简称为周期类型一正弦函数、余弦函数定义的应用命题角度1已知角终边上一点坐标求三角函数值例1已知终边上一点P(x,3)(x0)，且cos x，求sin 的值反思与感悟(1)已知角终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函

4、数的定义求出相应的三角函数值在的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r0)，则sin ，cos .当已知的终边上一点求的三角函数值时，用该方法更方便(2)当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论跟踪训练1已知角的终边过点P(3a,4a)(a0)，求2sin cos 的值命题角度2已知角终边所在直线求三角函数值例2已知角的终边在直线y3x上，求10sin 的值反思与感悟在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sin ，cos .跟踪训

5、练2已知角的终边在直线yx上，求sin ，cos 的值类型二正弦、余弦函数值符号的判断例3(1)若是第二象限角，则点P(sin ，cos )在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限(2)判断下列各式的符号sin 145cos(210)；sin 3cos 4.反思与感悟准确确定正弦函数、余弦函数值中角所在象限是基础，准确记忆正弦函数、余弦函数值在各象限的符号是解决这类问题的关键跟踪训练3若三角形的两内角A，B，满足sin Acos B0，则此三角形必为()A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D以上三种情况都有可能类型三周期性例4(1)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x2)f(x)

6、，求证：函数f(x)是以4为周期的周期函数；(2)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x2)，求证：函数f(x)是以4为周期的周期函数反思与感悟(1)证明函数是周期函数，只需根据定义：存在非零常数T，对任意定义域内实数x，都有f(xT)f(x)(2)一般地，如果f(xa)f(x)，那么f(x)的周期为2a(a0)；如果f(xa)，那么f(x)的周期也为2a(a0)跟踪训练4若函数yf(x)(xR)满足f(x)f(xa)f(xa)(a0，u0，故sin 0，cos 0，同理可得在其他象限时三角函数值的符号知识点四思考2，4，6，2，等都是函数的周期梳理非零实数T任意一个f(xT)f(x)T最小

7、最小正周期题型探究例1解由题意知r|OP|，由三角函数定义得cos .又cos x，x.x0，x1.当x1时，P(1,3)，此时sin .当x1时，P(1,3)，此时sin .跟踪训练1解r5|a|.若a0，则r5a，角在第二象限，sin ，cos ，2sin cos 1.若a0时，rk，是第四象限角，sin ，10sin 103330.(2)当k0，则为第一象限角，r2a，所以sin ，cos .若a0，则为第三象限角，r2a，所以sin ，cos .例3(1)D(2)解145是第二象限角，sin 1450，210360150，210是第二象限角，cos (210)0，sin 145cos(210)0.3，4，52，sin 30，cos 40，sin 3cos 40，则rx，从而sin ，cos ，cos sin .若x0，则rx，从而sin ，cos ，cos sin .9