2018年高考数学二轮复习 专题08 平面向量教学案 理

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1、专题08 平面向量高考侧重考查正、余弦定理与其他知识(如三角函数、平面向量等)的综合应用，试题一般为中档题，各种题型均有可能出现预测2018年高考仍将以正、余弦定理的综合应用为主要考点，重点考查计算能力及应用数学知识分析、解决问题的能力1向量的基本概念(1)既有大小又有方向的量叫做向量(2)零向量的模为0，方向是任意的，记作0.(3)长度等于1的向量叫单位向量(4)长度相等且方向相同的向量叫相等向量(5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量零向量和任一向量平行2共线向量定理向量a(a0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数，使ba.3平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不

2、共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使a1e12e2.4两向量的夹角已知两个非零向量a和b，在平面上任取一点O，作a，b，则AOB(0180)叫作a与b的夹角5向量的坐标表示及运算(1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)6平面向量共线的坐标表示已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，当且仅当x1y2x2y10时，向量a与b共线7平面向量的数量积设为a与b的夹角(1)定义：ab|a|b|cos.(2)投影：|a|cos叫做向量a在b方向上的投影8数量

3、积的性质(1)abab0；(2)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|；特别地，aa|a|2；(3)|ab|a|b|；(4)cos.9数量积的坐标表示、模、夹角已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)(1)abx1x2y1y2；(2)|a|；(3)abx1x2y1y20；(4)cos.【误区警示】1两向量夹角的范围是0，ab0与a，b为锐角不等价；ab0与a，b为钝角不等价2点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别3a在b方向上的投影为，而不是.4若a与b都是非零向量，则ab0a与b共线，若a与b不共线，则ab00.考点一平面向量的概念及运算例1 【2

4、017课标1，理13】已知向量a，b的夹角为60，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .【答案】所以. 【变式探究】(2016高考全国甲卷)已知向量a(m,4)，b(3，2)，且ab，则m_.解析：基本法：ab，ab即(m,4)(3，2)(3，2)故m6.速解法：根据向量平行的坐标运算求解：a(m,4)，b(3，2)，abm(2)4302m120，m6.答案：6【变式探究】(1)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，则向量()A(7，4)B(7,4)C(1,4) D(1,4)答案：A【举一反三】向量的三角形法则要保证各向量“首尾相接”；平行四边形法则要保证两向量“共起

5、点”，结合几何法、代数法(坐标)求解(2)设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则()A. B.C. D.解析：基本法一：设a，b，则ba，ab，从而(ab)，故选A.基本法二：如图，()2.答案：A考点二平面向量数量积的计算与应用例2【2017天津，理13】在中，.若，且，则的值为_.【答案】 【变式探究】(2016高考全国丙卷)已知向量，则ABC()A30 B45C60 D120解析：基本法：根据向量的夹角公式求解，|1，|1，cosABCcos，.0，180，ABC，30.速解法：如图，B为原点，则AABx60，CCBx30，ABC30.答案：A【变式探究】(1)向量a(

6、1，1)，b(1,2)，则(2ab)a()A1 B0C1 D2答案：C【举一反三】当向量以几何图形的形式(有向线段)出现时，其数量积的计算可利用定义法；当向量以坐标形式出现时，其数量积的计算用坐标法；如果建立坐标系，表示向量的有向线段可用坐标表示，计算向量较简单(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则_.解析：基本法：以、为基底表示和后直接计算数量积，()|2|222222.速解法：(坐标法)先建立平面直角坐标系，结合向量数量积的坐标运算求解如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2

7、)，(1,2)，(2,2)，1(2)222.答案：2考点三 平面向量的综合应用例3、【2017课标3，理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若= +，则+的最大值为A3B2CD2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系【举一反三】【2017江苏，16】 已知向量（1）若ab,求x的值；（2）记,求的最大值和最小值以及对应的的值.【答案】（1）（2）时，取得最大值，为3； 时，取得最小值，为.（2）.因为，所以，从而.于是，当，即时， 取到最大值3；当，即时， 取到最小值.1.【2017课标3，理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动

8、点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若= +，则+的最大值为A3B2CD2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系设 根据等面积公式可得圆的半径是，即圆的方程是 ，若满足即 ， ，所以，设 ，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即 ，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A。2.【2017北京，理6】设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】A3.【2017课标II，理12】已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解

9、析】如图，以为轴， 的垂直平分线为轴， 为坐标原点建立平面直角坐标系，则， ， ，设，所以， ， ，所以， ，当时，所求的最小值为，故选B4.【2017课标1，理13】已知向量a，b的夹角为60，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .【答案】5.【2017天津，理13】在中，.若，且，则的值为_.【答案】 【解析】 ,则.6.【2017山东，理12】已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 .【答案】7【2017浙江，15】已知向量a，b满足则的最小值是_，最大值是_【答案】4，【解析】设向量的夹角为，由余弦定理有： ，则：，令，则，据此可得： ，即的最小值是4，最大

10、值是8.【2017浙江，10】如图，已知平面四边形ABCD，ABBC，ABBCAD2，CD3，AC与BD交于点O，记，则A B C D【答案】C【解析】因为， ， ，所以，故选C。9.【2017江苏，12】如图,在同一个平面内，向量,的模分别为1,1,与的夹角为,且tan=7,与的夹角为45.若, 则 . A C BO(第12题) 【答案】3 10.【2017江苏，16】 已知向量（1）若ab,求x的值；（2）记,求的最大值和最小值以及对应的的值.【答案】（1）（2）时，取得最大值，为3； 时，取得最小值，为.（2）.因为，所以，从而.于是，当，即时， 取到最大值3；当，即时， 取到最小值.1

11、.【2016高考新课标2理数】已知向量，且，则（ ）（A）8 （B）6 （C）6 （D）8【答案】D【解析】向量，由得，解得，故选D.2.【2016高考江苏卷】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点， ，则 的值是 . 【答案】3.【2016年高考四川理数】在平面内，定点A，B，C，D满足 =,=-2，动点P，M满足 =1，=，则的最大值是( )（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】甴已知易得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则设由已知，得，又，它表示圆上的点与点的距离的平方的，故选B.4.【2016高考江苏卷】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点， ，则 的值

12、是 . 【答案】【2015高考福建，理9】已知 ，若 点是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于（ ）A13 B 15 C19 D21【答案】A【解析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，即，所以，因此，因为，所以 的最大值等于，当，即时取等号【2015高考湖北，理11】已知向量，则 .【答案】9【2015高考山东，理4】已知菱形的边长为 ， ,则（ ）（A） （B） （C） （D） 【答案】D【解析】因为 故选D.【2015高考陕西，理7】对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（ ）A BC D【答案】B【解析】因为，所以选项A正确；当与方向相反时，不成立，所以选项B错误；向量的

13、平方等于向量的模的平方，所以选项C正确；，所以选项D正确故选B【2015高考四川，理7】设四边形ABCD为平行四边形，.若点M，N满足，则（ ）（A）20 （B）15 （C）9 （D）6【答案】C【2015高考安徽，理8】是边长为的等边三角形，已知向量，满足，则下列结论正确的是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】如图， 由题意，则，故错误；，所以，又，所以，故错误；设中点为，则，且，而，所以，故选D.【2015高考福建，理9】已知 ，若 点是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于（ ）A13 B 15 C19 D21【答案】A【2015高考天津，理14】在等腰梯形 中,已知

14、 ,动点 和 分别在线段 和 上,且, 则的最小值为 .【答案】【解析】因为，当且仅当即时的最小值为.1. 【2014高考福建卷第8题】在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（ ）A. B . C. D. 【答案】B【解析】由于平面向量的基本定理可得,不共线的向量都可与作为基底.只有成立.故选B.【考点定位】平面向量的基本定理.2. 【2014高考广东卷理第5题】已知向量，则下列向量中与成的是（ ） A. B. C. D.【答案】B【考点定位】空间向量数量积与空间向量的坐标运算3. 【2014高考湖南卷第16题】在平面直角坐标系中,为原点,动点满足=1，则的最大值是_.【答案】【考点定位】参数

15、方程、三角函数4. 【2014高考江苏卷第12题】如图在平行四边形中，已知，则的值是 . ADCBP【答案】22【解析】由题意，所以，即，解得【考点定位】向量的线性运算与数量积5. 【2014陕西高考理第13题】设，向量，若，则_.【答案】【考点定位】共线定理；三角恒等变换.6. 【2014高考安徽卷理第10题】在平面直角坐标系中，已知向量点满足.曲线，区域.若为两段分离的曲线，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】设，则，区域表示的是平面上的点到点的距离从到之间，如下图中的阴影部分圆环，要使为两段分离的曲线，则，故选A. 【考点定位】平面向量的应用、线性规划.7. 【2014高考北

16、京卷理第10题】已知向量、满足，且（），则 .【答案】【解析】当，则，于是，因为，所以，又因为，所以.【考点定位】平面向量的模8. 【2014高考湖北卷理第11题】设向量，若，则实数 .【答案】【解析】因为，因为，所以，解得.【考点定位】平面向量的坐标运算、数量积10. 【2014江西高考理第15题】已知单位向量与的夹角为，且，向量与的夹角为，则= .【答案】【考点定位】向量数量积及夹角11. 【2014辽宁高考理第5题】设是非零向量，已知命题P：若，则；命题q：若，则，则下列命题中真命题是（ ）A B C D【答案】A【解析】由题意可知，命题P是假命题；命题q是真命题，故为真命题.【考点定位

17、】命题的真假12. 【2014全国1高考理第15题】已知为圆上的三点，若，则与的夹角为_【答案】【解析】由，故三点共线，且是线段中点，故是圆的直径，从而，因此与的夹角为【考点定位】平面向量基本定理13. 【2014全国2高考理第3题】设向量a,b满足|a+b|=，|a-b|=，则ab = ( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 5【答案】A【考点定位】本小题主要考查平面向量的模、平面向量的数量积等平面向量14. 【2014高考安徽卷理第15题】已知两个不相等的非零向量两组向量和均由2个和3个排列而成.记，表示所有可能取值中的最小值.则下列命题的是_（写出所有正确命题的编号）.有5个不同的值.

18、若则与无关.若则与无关.若，则.若，则与的夹角为，故错误.所以正确的编号为 【考点定位】平面向量的运算、平面向量的数量积.15. 【2014四川高考理第7题】平面向量，（），且与的夹角等于与的夹角，则（ ）A B C D【答案】 D.【解析】 由题意得：，选D.法二、由于OA，OB关于直线对称，故点C必在直线上，由此可得【考点定位】向量的夹角及向量的坐标运算. 16. 【2014浙江高考理第8题】记，设为平面向量，则（ ） A. B. C. D.【答案】【考点定位】向量运算的几何意义.17. 【2014重庆高考理第4题】已知向量，且，则实数=（ ） D.【答案】C【解析】因为所以又因为，所以，

19、所以，解得：故选C.【考点定位】平面向量的坐标运算、平面向量的数量积.19. 【2014大纲高考理第4题】若向量满足：则 （ ） A2 B C1 D【答案】B【解析】把代入得故选B【考点定位】1.向量垂直的充要条件；2. 平面向量的数量积运算20. 【2014高考陕西第18题】在直角坐标系中，已知点，点在三边围成的 区域（含边界）上 （1）若，求； （2）设，用表示，并求的最大值.【答案】（1）；（2），1.【考点定位】平面向量的线性运算、线性规划. 21.【2014高考上海理科第16题】如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（ ）（A）1 (B)2 (C)4 (D)8【答案】A【解析】如图，与上底面垂直，因此，【考点定位】数量积的定义与几何意义22.【2014高考上海理科第14题】已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .【答案】【考点定位】向量的坐标运算27