初一讲义2二元一次方程组及实际应用

《初一讲义2二元一次方程组及实际应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初一讲义2二元一次方程组及实际应用（15页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、一对一辅导讲义 年 级：初一 辅导科目：数学 课时数：3 学生_ 教师_翟利利 上课时间：2014-课 题二元一次方程组的解法与实际应用教学目的1、 了解本节所要学习的主要知识内容,对学习的知识做到心中有数.2、针对学生以往学习的优势和不足,能够有针对性地进行预习、复习教学内容复习二元一次方程组的解法：一二元一次方程组的解法通常有两种方法,分别是：和二解下列方程组：1解方程组23若等式中的x、y满足方程组,求mn的值.知识点一：列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题是把转化为的重要方法,它的关键是把已知量和未知量联系起来,找出题目中的关系. 一般来说,有几个未知数就列出几个方程,所列方程必

2、须满足： 1方程两边表示的是；2同类量的单位要统一；3方程两边的数值要相等.知识点二：列方程解应用题中常用的基本等量关系一行程问题：1追与问题:追与问题是行程问题中很重要的一种,它的特点是而行.这类问题比较直观,画线段图便于理解、分析.其等量关系式是：两者的行程的开始时两者相距的路程；路程时间；速度；时间.2相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种,它的特点是而行.这类问题也比较直观,因而也画线段图帮助理解、分析.这类问题的等量关系是：双方所走的路程之总路程.3航行问题:船在静水中的速度船的顺水速度；船在静水中的速度水速；顺水速度逆水速度水速.注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行

3、,解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似.二工程问题：工作时间=工作量.三商品销售利润问题：利润成本；利润成本进价；标价成本；实际售价标价打折率；注意：商品利润售价成本中的右边为正时,是盈利；为负时,就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售.例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十四储蓄问题：1基本概念本金：顾客存入银行的钱叫做本金.利息：银行付给顾客的酬金叫做利息.本息和：本金与的和叫做本息和.期数：存入银行的时间叫做期数.利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率.利息税：利息的税款叫做利息税.2基本关系式利息本金利率期数本息和本金+利息本金+本金利率期数本金1利率期

4、数利息税利息利息税率本金利率期数利息税率.税后利息利息1利息税率 年利率月利率月利率.注意：免税利息=利息 五产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例六增长率问题：解这类问题的基本等量关系式是：原量增长后的量； 原量减少后的量.七和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系是：较大量多余量,总量倍数倍量.八数字问题：解决这类问题,首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征与其表示.如当n为整数时,奇数可表示为 ,偶数可表示为2n等,有关两位数的基本等量关系式为：两位数=十位数字+个位数字九浓度问题：溶液质量浓度= .十几何问题：解决这类问题的基本关

5、系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式.十一年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等的,两人的是永远不会变的.十二优化方案问题：在解决问题时,常常需合理安排.需要从几种方案中,选择最佳方案,如网络的使用、到不同旅行社购票等,一般都要运用方程解答,得出最佳方案.注意：方案选择题的题目较长,有时方案不止一种,阅读时应抓住重点；比较几种方案得出最佳方案.知识点三：列二元一次方程组解应用题的一般步骤利用二元一次方程组探究实际问题时,一般可分为以下六个步骤：1审题:弄清题意与题目中的数量关系；2设未知数:可直接设元,也可间接设元；3找出题目中的关系；4列出方程组:根据题目中能表示全

6、部含义的等量关系列出方程,并组成方程组；5解所列的方程组,并检验解的正确性；6写出答案.要点诠释：1解实际应用问题必须写答,而且在写答案前要根据应用题的实际意义,检查求得的结果是否合理,不符合题意的解应该舍去；2设、答两步,都要写清单位名称；3一般来说,设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.解答步骤简记为：问题方程组解答4列方程组解应用题应注意的问题弄清各种题型中基本量之间的关系；审题时,注意从文字,图表中获得有关信息；注意用方程组解应用题的过程中单位的书写,设未知数和写答案都要带单位,列方程组与解方程组时,不要带单位；正确书写速度单位,避免与路程单位混淆；在寻找等量关系时,应注意挖掘隐

7、含的条件；列方程组解应用题一定要注意检验.经典例题类型一：列二元一次方程组解决行程问题例1甲、乙两地相距160千米,一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行,1小时20分相遇. 相遇后,拖拉机继续前进,汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回,在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时,汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？思路点拨：画直线型示意图理解题意：这里有两个未知数：汽车的行程；拖拉机的行程. 有两个等量关系：相向而行：汽车行驶小时的路程拖拉机行驶小时的路程千米；同向而行：汽车行驶小时的路程拖拉机行驶小时的路程.举一反三：变式1甲、乙两人相距36千米,相向而行,如果甲比乙先走2小时,那么

8、他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时,那么他们在甲出发3小时后相遇,甲、乙两人每小时各走多少千米？变式2两地相距280千米,一艘船在其间航行,顺流用14小时,逆流用20小时,求船在静水中的速度和水流速度.类型二：列二元一次方程组解决工程问题例2一家商店要进行装修,若请甲、乙两个装修组同时施工,8天可以完成,需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天,再请乙组单独做12天可完成,需付两组费用共3480元,问：甲、乙两组工作一天,商店应各付多少元？已知甲组单独做需12天完成,乙组单独做需24天完成,单独请哪组,商店所付费用最少？思路点拨：本题有两层含义,各自隐含两个等式,第一层含

9、义：若请甲、乙两个装修组同时施工,8天可以完成,需付两组费用共3520元；第二层含义：若先请甲组单独做6天,再请乙组单独做12天可完成,需付两组费用共3480元.设甲组单独做一天商店应付x元,乙组单独做一天商店应付y元,由第一层含义可得方程8x+y=3520,由第二层含义可得方程6x+12y=3480.举一反三：变式小明家准备装修一套新住房,若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后,剩下的由乙公司来做,还需9周完成,需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成,从节约开支的角度考虑,小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由. 类型三：列二元一次方程组解决商品销售利润问

10、题例3有甲、乙两件商品,甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元.价格调整后,甲商品的利润率为4%,乙商品的利润率为5%,共可获利44元,则两件商品的进价分别是多少元？思路点拨：做此题的关键要知道：利润进价利润率举一反三：变式12011湖南衡阳李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜,共获利18000元,其中甲种蔬菜每亩获利2000元,乙种蔬菜每亩获利1500元,李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？变式2某商场用36万元购进A、B两种商品,销售完后共获利6万元,其进价和售价如下表：AB进价元/件12001000售价元/件13801200注：获利 = 售价进价求该商场购进

11、A、B两种商品各多少件？类型四：列二元一次方程组解决银行储蓄问题例4小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用,现在以两种方式在银行共存了2000元钱,一种是年利率为2.25的教育储蓄,另一种是年利率为2.25的一年定期存款,一年后可取出2042.75元,问这两种储蓄各存了多少钱？利息所得税利息金额20%,教育储蓄没有利息所得税思路点拨：设教育储蓄存了x元,一年定期存了y元,我们可以根据题意可列出表格：教育储蓄一年定期合计现在xy一年后举一反三：变式1李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元,一年后全部取出,扣除利息所得税可得利息43.92元.已知两种储蓄年利率的和为3.24%,问这两种储

12、蓄的年利率各是百分之几？注：公民应缴利息所得税=利息金额20%思路点拔：扣税的情况：本金年利率年数=利息利息所得税=利息金额20%.不扣税时：利息=本金年利率年数.变式2小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用,在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种,一年期整存整取,共反复存了3次,每次存款数都相同,这种存款银行利率为年息2.25%；第二种,三年期整存整取,这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元,问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？类型五：列二元一次方程组解决生产中的配套问题例5某服装厂生产一批某种款式的秋装,已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只.

13、现计划用132米这种布料生产这批秋装,应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？思路点拨：本题的第一个相等关系比较容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为132米；第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的,即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍.举一反三：变式1现有190张铁皮做盒子,每张铁皮做8个盒身或22个盒底,一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子,问用多少张铁皮制盒身,多少张铁皮制盒底,可以正好制成一批完整的盒子？ 思路点拨：两个未知数是制盒身、盒底的铁皮张数,两个相等关系是：制盒身铁皮张数+制盒底铁皮张数=190；制盒身个数的2倍=制盒底个数. 变式2某工厂有工人60人,生产某种由一个

14、螺栓套两个螺母的配套产品,每人每天生产螺栓14个或螺母20个,应分配多少人生产螺栓,多少人生产螺母,才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套.变式3一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成,如果1立方米木料可以做桌面50个,或做桌腿300条.现有5立方米的木料,那么用多少立方米木料做桌面,用多少立方米木料做桌腿,做出的桌面和桌腿,恰好配成方桌？能配多少张方桌？类型六：列二元一次方程组解决增长率问题例6某工厂去年的利润总产值总支出为200万元,今年总产值比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元,去年的总产值、总支出各是多少万元？思路点拨：设去年的总产值为x万元,总支出为y万元,则有总

15、产值/万元总支出/万元利润/万元去年xy200今年根据题意知道去年的利润和今年的利润,由利润=总产值总支出和表格里的已知量和未知量,可以列出两个等式.举一反三：变式若条件不变,求今年的总产值、总支出各是多少万元？思考：本问题还有没有其它的设法？变式2某城市现有人口42万,估计一年后城镇人口增加0.8%,农村人口增加1.1%,这样全市人口增加1%,求这个城市的城镇人口与农村人口.思路点拨：由题意得两个等式关系,两个相等关系为：1城镇人口+农村人口=42万2城镇人口+农村人口1+1.1%=421+1%类型七： 列二元一次方程组解决和差倍分问题例72011年丰台区中考一摸试题爱心帐篷厂和温暖帐篷厂原

16、计划每周生产帐篷共9千顶,现某地震灾区急需帐篷14千顶,两厂决定在一周内赶制出这批帐篷为此,全体职工加班加点,爱心帐篷厂和温暖帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍,恰好按时完成了这项任务求在赶制帐篷的一周内,爱心帐篷厂和温暖帐篷厂各生产帐篷多少千顶？思路点拨：找出已知量和未知量,根据题意知未知量有两个,所以列两个方程,根据计划前后倍数关系由已知量和未知量列出两个等式,即是两个方程组成的方程组.举一反三：变式1 地球一小时是世界自然基金会在2007年提出的一项倡议号召个人、社区、企业和政府在每年3月最后一个星期六20时30分21时30分熄灯一小时,旨在通过一个人人可为的活动

17、,让全球民众共同携手关注气候变化,倡导低碳生活中国内地去年和今年共有119个城市参加了此项活动,且今年参加活动的城市个数比去年的3倍少13个,问中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动变式2游泳池中有一群小朋友,男孩戴蓝色游泳帽,女孩戴红色游泳帽.如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多,而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍,你知道男孩与女孩各有多少人吗？思路点拨：本题关键之一是：小孩子看游泳帽时 只看到别人的,没看到自己的帽子.关键之二是：两个等式,列等式要看到重点语句,第一句：每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多；第二句：每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍.找到已知量和未知

18、量根据这两句话列两个方程.类型八：列二元一次方程组解决数字问题例8.两个两位数的和是68,在较大的两位数的右边接着写较小的两位数,得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数,也得到一个四位数,已知前一个四位数比后一个四位数大2178,求这两个两位数.思路点拨：设较大的两位数为x,较小的两位数为y.问题1：在较大的两位数的右边写上较小的两位数,所写的数可表示为：100xy问题2：在较大数的左边写上较小的数,所写的数可表示为：100yx举一反三：变式1一个两位数,减去它的各位数字之和的3倍,结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和,商是5,余数是1,这个两位数是多少？变式2一个两位数,

19、十位上的数字比个位上的数字大5,如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置,那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9,求这个两位数？变式3某三位数,中间数字为0,其余两个数位上数字之和是9,如果百位数字减1,个位数字加1,则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列,求原三位数.类型九：列二元一次方程组解决浓度问题例9现有两种酒精溶液,甲种酒精溶液的酒精与水的比是37,乙种酒精溶液的酒精与水的比是41,今要得到酒精与水的比为32的酒精溶液50kg,问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？思路点拨：本题欲求两个未知量,可直接设出两个未知数,然后列出二元一次方程组解决,题中有以下几个相等关系：1甲种酒

20、精溶液与乙种酒精溶液的质量之和50；2混合前两种溶液所含纯酒精质量之和混合后的溶液所含纯酒精的质量；3混合前两种溶液所含水的质量之和混合后溶液所含水的质量；4混合前两种溶液所含纯酒精之和与水之和的比混合后溶液所含纯酒精与水的比.解法一：解法二：举一反三：变式1要配浓度是45%的盐水12千克,现有10%的盐水与85%的盐水,这两种盐水各需多少？ 思路点拨：配制盐水前后有两个等量关系式解此题的关键,等量关系一：配制盐水前后盐的含量相等；等量关系二：配制盐水前后盐水的总重量相等.变式2一种35%的新农药,如稀释到1.75%时,治虫最有效.用多少千克浓度为35%的农药加水多少千克,才能配成1.75%的

21、农药800千克？思路点拨：注意稀释前后溶液的质量保持不变,溶质的质量保持不变.类型十：列二元一次方程组解决几何问题例10如图,用8块相同的长方形地砖拼成一个长方形,每块长方形地砖的长和宽分别是多少？思路点拨：初看这道题目中没有提供任何相等关系,但是题目提供的图形隐含着矩形两条宽相等,两条长相等,我们设每个小长方形的长为x,宽为y,就可以列出关于x、y的二元一次方程组.举一反三：变式1用长48厘米的铁丝弯成一个矩形,若将此矩形的长边剪掉3厘米,补到较短边上去,则得到一个正方形,求正方形的面积比矩形面积大多少？思路点拨：此题隐含两个可用的等量关系,其一长方形的周长为铁丝的长48厘米,第二个等量关系

22、是长方形的长剪掉3厘米补到短边去,得到正方形,即是长边截掉3厘米等于短边加上3厘米.变式2一块矩形草坪的长比宽的2倍多10m,它的周长是132m,则长和宽分别为多少？类型十一：列二元一次方程组解决年龄问题例11今年父亲的年龄是儿子的5倍,6年后父亲的年龄是儿子的3倍,求现在父亲和儿子的年龄各是多少？思路点拨：解本题的关键是理解6年后这几个字的含义,即6年后父子俩都长了6岁.今年父亲的年龄是儿子的5倍,6年后父亲的年龄是儿子的3倍,根据这两个相等关系列方程.举一反三：变式1今年,小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现,12年之后,他的年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄.思路点拨：本题的

23、关键是两句话,第一句：小李的年龄是他爷爷的五分之一；第二句：他的年龄变成爷爷的三分之一.把未知数设出来,已知量和未知量根据这两句话列两个方程.类型十二：列二元一次方程组解决优化方案问题：例12某地生产一种绿色蔬菜,若在市场上直接销售,每吨利润为1000元；经粗加工后销售,每吨利润可达4500元；经精加工后销售,每吨利润涨至7500元. 当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨,该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工,每天可以加工16吨；如果进行细加工,每天可加工6吨. 但两种加工方式不能同时进行. 受季节条件的限制,公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕,为此公司研制了三种加工

24、方案.方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工,没来得与加工的蔬菜在市场上直接销售；方案三：将部分蔬菜进行精加工,其余蔬菜进行粗加工,并恰好在15天完成.你认为选择哪种方案获利最多？为什么？思路点拨:如何对蔬菜进行加工,获利最大,是生产经营者一直思考的问题. 本题正是基于这一点,对绿色蔬菜的精、粗加工制定了三种可行方案,供同学们自助探索,互相交流,尝试解决,并在探索和解决问题的过程中,体会应用数学知识解决实际问题的乐趣.举一反三：变式某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机,已知厂家生产三种不同型号的电视机,出厂价分别为：甲种每台1500元,乙种每台2100元,丙种每台2500元若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台,用去9万元,请你研究一下商场的进货方案；若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元,在以上的方案中,为使获利最多,你选择哪种进货方案？15 / 15