2017-2018学年高中数学 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理（一）学案 新人教B版必修5

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1、1.1.2余弦定理(一)学习目标1.理解余弦定理的证明.2.初步运用余弦定理及其变形形式解三角形知识链接1. 以下问题可以使用正弦定理求解的是 (1)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角(2)已知两角和一边，求其他角和边(3)已知一个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角(4)已知一个三角形的三条边，解三角形答案(1)(2)2如图所示，在直角坐标系中，若A(0,0)，B(c,0)，C(bcos A，bsin A)利用两点间距离公式表示出|BC|，化简后会得出怎样的结论？解a2|BC|2(bcos Ac)2(bsin A0)2b2(sin2Acos2A)2bccos A

2、c2b2c22bccos A.得出a2b2c22bccos A.预习导引1余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍即a2b2c22bccos A，b2c2a22cacos B，c2a2b22abcos C.2余弦定理的变形cos A，cos B，cos C.要点一已知两边及一角解三角形例1已知ABC，根据下列条件解三角形：(1)b3，c3，B30；(2)a，b，B45.解(1)方法一由余弦定理b2a2c22accos B，得32a2(3)22a3cos 30，a29a180，得a3或6.当a3时，由于b3，AB30，C120.当a6时，由正弦定理得s

3、in A1.A90，C60.方法二由正弦定理得sin C，由bbc，C为最小角，由余弦定理cos C.C.3如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为()A. B. C. D.答案D解析设顶角为C，l5c，ab2c，由余弦定理得：cos C.4在ABC中，已知A60，最大边长和最小边长恰好是方程x27x110的两根，则第三边的长为 答案 4解析设最大边为x1，最小边为x2，则x1x27，x1x211，第三边长4.5在ABC中，sin Asin Bsin C245，判断三角形的形状解因为abcsin Asin Bsin C245，所以可令a2k，b4k，c5k(k0)c最大，co

4、s C0，所以C为钝角，从而ABC为钝角三角形1利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形(2) 若已知两边和一边的对角，既可以用正弦定理又可以用余弦定理解三角形2当所给的条件是边角混合关系时，判断三角形形状的基本思想是：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系3余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角. 6