固体物理学能带理论小结

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1、能带理论一、本章难易及掌握要求要求重点掌握： 1）理解能带理论的基本假设和出发点； 2）布洛赫定理的描述及证明；3）三维近自由电子近似的模型、求解及波函数讨论； 4）紧束缚近似模型及几个典型的结构的计算； 5）明白简约布里渊区的概念和能带的意义及应用； 6）会计算能态密度。 本章难点：1）对能带理论的思想理解，以及由它衍生出来的的模型的应用。比如将能带理论应用于区分绝缘体，导体，半导体； 2）对三种模型的证明推导。了解内容： 1）能带的成因及对称性；2）万尼尔函数概念；3）波函数的对称性。二、基本内容1、三种近似 在模型中它用到已经下假设： 1）绝热近似：由于电子质量远小于离子质量，电子的运动

2、速度就比离子要大得多。故相对于电子，可认为离子不动，或者说电子的运动可随时调整来适合离子的运动。多体问题化为了多电子问题。2）平均场近似：在上述多电子系统中，可把多电子中的每一个电子，看作是在离子场及其它电子产生的平均场中运动，这种考虑叫平均场近似。多电子问题化为单电子问题。3）周期场近似：假定所有离子产生的势场和其它电子的平均势场是周期势场，其周期为晶格所具有的周期。单电子在周期性场中。2、周期场中的布洛赫定理1）定理的两种描述当晶体势场具有晶格周期性时，电子波动方程的解具有以下性质：形式一：，亦称布洛赫定理，反映了相邻原包之间的波函数相位差形式二：，亦称布洛赫函数，反映了周期场的波函数可用

3、受调制的平面波表示.其中，取布拉维格子的所有格矢成立。2）证明过程： a. 定义平移算符，b 证明与的对易性。c.代入周期边界条件，求出在与共同本征态下的本征值 。即 d. 将代入的本征方程中，注意定义，可得布洛赫定理。！3） 波矢k的取值及其物理意义 ，k是第一布里渊区的波失，称简约波矢。其是平移算符本征值量子数，而反映了元胞之间电子波函数位相的变化。同时也可以得出如果一个势场是周期场，那么可以把其波函数设为布洛赫函数。3、 近自由电子近似 1）思想：假设将周期场的周期起伏看作自由电子稳定势场的微扰2）条件要求：原子的动能大于势能以使电子可以自由运动，势函数的的起伏很小，以满足微扰论适用，外

4、层电子以满足电子可以自由运动。3）模型建立过程：首先，在零级近似下，考虑到周期性边界条件得到了波矢的允许取值，推出了能量的准连续性；其次，由于考虑到二级微扰，而推出能量在布区边界处分裂，且发生了能级间的“排斥作用”，于是形成能带和带隙。A、非简并情况下1)由假设1,2可得系统的哈密顿量和薛定谔方程：，微扰项：，满足的方程式: .2)利用微扰论方法有设：， 其中：， （） 设： 其中： , （）4）结论：能量本征值：波函数：5）波函数的意义：第一项是波矢为k的前进的平面波，第二项是平面波受到周期性势场作用产生的散射波 再令，则有 具有布洛赫函数形式，其中用到B、简并情况下1)此时波矢k离较远，k

5、状态的能量和状态k差别较大得 由于能级间“排斥作用”，量子力学中微扰作用下，两个相互影响的能级总是原来较高的能量提高了，原来较低的能量降低了2）时，波矢k非常接近，k状态的能量和k能量差别很小得 代入相应的 ，得 可得如下结论两个相互影响的状态k和k微扰后，能量变为E+和E-，原来能量高的状态能量提高，原来能量低的状态能量降低。周期性 周期为倒格矢，由晶格平移对称性决定反演对称性 是个偶函数 宏观对称性 为晶体的一个点群对称操作 C、能带的性质简约波矢的取值被限制在简约布里渊区，要标志一个状态需要表明：1)它属于哪一个能带（能带标号）2)它的简约波矢 是什么？3) 能带底部，能量向上弯曲；能带

6、顶部，能量向下弯曲2) 禁带出现在波矢空间倒格矢的中点处3) 禁带的宽度4）各能带之间是禁带, 在完整的晶体中，禁带内没有允许的能级5）计入自旋，每个能带中包含2N个量子态4、紧束缚近似1）紧束缚近似的假设：电子在原子附近，主要受该原子势场作用，其它原子势场视为微扰作用。故此时不能用自由电子波函数，而用所有原子的同一电子波函数的线性组合来表示。不考虑不同原子态间的作用。它一般要求原子之间的距离较大。2）模型实现对于简单格子电子在格矢处原子附近运动满足的薛定谔方程：是晶体的周期性势场_所有原子的势场之和。对方程进行变换有即是微扰作用。 设晶体中电子的波函数（此法的本质），代入上得：考虑到当原子间

7、距比原子半径大时，不同格点的重叠很有 ，用左乘上面方程5*，得到则得，考虑到周期性的势场，应有，（是任意常数矢量），则有，利用归一化条件则得：晶体中电子的波函数考虑用简约波失表示有，由此可得对于确定，而且实现了N个晶体中的电子波函数与束缚态的波函数的幺正变换换： 3）模型简化：考虑的化简：当有重叠时，积分不为0。a最完全的重叠，得b其次考虑近邻格点的格矢，得。6*能带底部电子的有效质量,能带顶部电子的有效质量.4）能级与能带的对应A 计算简单立方晶格中由原子s态形成的能带 s态的波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同。找出紧邻坐标代入6*有，其中在能带处在处用级数展开有，在能带顶部按附近按泰

8、勒级数展开得 带宽取决于J1，大小取决于近邻原子波函数之间的相互重叠，重叠越多，形成能带越宽，同样可以看出，由于k的取值可以有N个，故一个能级在微扰下分裂成为一个能带。 B 对于一般情况有如下结论：一个原子能级ei对应一个能带，不同的原子能级对应不同的能带。当原子形成固体后，形成了一系列能带能量较低的能级对应的能带较窄，能量较高的能级对应的能带较宽。简单情况下，原子能级和能带之间有简单的对应关系，如ns带、np带、nd带等等，由于p态是三重简并的，对应的能带发生相互交叠，d态等一些态也有类似能带交叠。但是其能带不再是仅仅靠主量子数N决定，与L值也有关。 对于内层电子能级和能带有一一对应的关系，

9、对于外层电子，能级和能带的对应关系较为复杂。5）万尼尔函数 紧束缚近似中，能带中电子波函数可以写成布洛赫和，对于任何能带，即一个能带的Wannier 函数是由同一个能带的布洛赫函数所定义。如果晶体中原子之间的间距增大，当电子距离某一原子较近时，电子的行为类似于孤立原子时的情形。性质：a. 局域性质（定域性） 由于u(k，r)=u(k，r-Rn)，因此 Wn(r-Rn) 是以 Rn 为中心的定域函数。b.正交性3）模型的实现方式：是赝势包含离子势和价电子的作用，称为有效势，可以有多种具体形式。选择包含一个或几个参量的模型，用与实验数据比较的方法，确定这些参量。6、三种方法的比较：近自由电子近似是

10、一种电子可以自由运动的模型，是一种在自由电子基础上的微扰论，结果是自由电子能级发生分裂，形成能带。在使用它解决问题时需要知道。而紧束缚近似针对于电子被束缚在原子周围，在解决实际问题时只需知道和，对于不同的原包结构其和均不同，可以说紧束缚近似是在H原子模型上在用微扰论的。所以它的能带是在能级的基础上形成的，是原来原子团的能级分裂成的。7、布里渊区与能带 1）明白波失空间和倒空间的区别，倒空间是倒格子的集合，倒格点是固定的分立的，而波失空间是波失的集合，波失是准连续的。在相同的空间大小中，波失数比倒格矢数要多。2）布里渊区是波失空间的分区域，也是倒空间的分区域，他是在k空间把原点和所有倒格矢中点的

11、垂直平分面画出，k空间分割为许多区域，每个区域内E（k）是连续变化的，而在这些区域的边界上能量E(k)发生突变，这些区域称为布里渊区。8，能态密度能态密度： ，表示能态数目，如果在波矢空间，根据 E(k)常数 作出等能面，则在等能面 E 和EE之间的状态的数目就是ZE 。由于状态在 k 空间分布是均匀的、准连续的状态密度是，所以ZEV（2）3（两等能面EE+E之间的体积）经过积分计算得：考虑电子自旋为2，则二维： ZES（2）2（两等能线E-E+E之间的面积），一维ZEL（2）（两等能点E-E+E之间长度），21/2电子填充能带的形式有两种类型：第一种：电子恰好填满最低的一系列能带，再高的能带

12、都是空的。最高的满带称为价带(valence band)，最低的空带成为导带(conduction band)，价带最高能级与导带最低能级之间的范围则为带隙(band gap)。半导体带隙宽度较小 1 eV，绝缘体带隙宽度较宽 10 eV第二种：除去完全被电子充满的一系列能带外，还有只是部分地被电子填充的能带，部分被电子填充的能带被称为导带(conduction band)。这时，电子所占据的最高能级即为费米能级，它位于一个或几个能带的范围之内。在每一部分占据的能带中，k 空间都有一个占有电子与不占有电子的分界面，所有这些表面的集合就是费米面。 C.导体，绝缘体，半导体和半金属的能带理论解释:在绝对零度，如果电子刚好填充一个或更多能带,其余能带是全空的，那么晶体就是绝缘体，外电场也不能因其绝缘体内电流的流动因为满带和上边导带隔开,当温度升高时,出现下边两种情况。1)当温度升高时,如果带隙很大,电子很难跃迁到导带,晶体仍为绝缘体， 2)如果能隙较小,电子隧穿效应使得导带中有少量电子,并在价带产生空穴,具有一定的导电性，称为半导体。如能带未填满，在外场下电子做定向运动，就是导体。3)能量交叠较小时晶体导电性比导体小几个数量级，晶体则称之为半金属。