圆锥曲线的综合问题(一)详细解析版

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1、圆锥曲线的综合问题一最新考纲1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.1.直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程AxByC0代入圆锥曲线C的方程F0,消去y得到一个关于变量x的一元方程,即消去y,得ax2bxc0.当a0时,设一元二次方程ax2bxc0的判别式为,则0直线与圆锥曲线C相交；0直线与圆锥曲线C相切；0直线与圆锥曲线C相离.当a0,b0时,即得到一个一次方程,则直线l与圆锥曲线C相交,且只有一个交点,此时,若C为双曲线,则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线,则直线

2、l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.2.圆锥曲线的弦长设斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A,B,则|AB|x1x2|y1y2|.例题精讲考点分析考点一直线与圆锥曲线的位置关系例1 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1：1的左焦点为F1,且点P在C1上.求椭圆C1的方程；设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y24x相切,求直线l的方程.解椭圆C1的左焦点为F1,c1,又点P在曲线C1上,1,得b1,则a2b2c22,所以椭圆C1的方程为y21.由题意可知,直线l的斜率显然存在且不等于0,设直线l的方程为ykxm,由消去y,得x24kmx2m220.因为直线l与椭圆C1相切,

3、所以116k2m240.整理得2k2m210.由消去y,得k2x2xm20.因为直线l与抛物线C2相切,所以224k2m20,整理得km1.综合,解得或所以直线l的方程为yx或yx.规律方法研究直线与圆锥曲线的位置关系时,一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数,消元后,应注意讨论含x2项的系数是否为零的情况,以与判别式的应用.但对于选择、填空题要充分利用几何条件,用数形结合的方法求解.训练1 在平面直角坐标系xOy中,点M到点F的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.求轨迹C的方程；设斜率为k的直线l过定点P,若直线l与轨迹C恰好有一个公共点,#数k的取值范围.解设点

4、M,依题意|MF|x|1,|x|1,化简得y22,故轨迹C的方程为y2在点M的轨迹C中,记C1：y24x；C2：y0.依题意,可设直线l的方程为y1k.由方程组可得ky24y40.当k0时,此时y1.把y1代入轨迹C的方程,得x.故此时直线l：y1与轨迹C恰好有一个公共点.当k0时,方程的1616,设直线l与x轴的交点为,则由y1k,令y0,得x0.若由解得k1,或k.所以当k1或k时,直线l与曲线C1没有公共点,与曲线C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点. 若即解集为.综上可知,当k1或k或k0时,直线l与轨迹C恰好有一个公共点.考点二弦长问题例2 已知椭圆E：1b0的两个

5、焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l：yx3与椭圆E有且只有一个公共点T.求椭圆E的方程与点T的坐标；设O是坐标原点,直线l平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线l交于点P.证明：存在常数,使得|PT|2|PA|PB|,并求的值.解由已知,ab,则椭圆E的方程为1.由方程组得3x212x0.方程的判别式为24,由0,得b23,此时方程的解为x2,所以椭圆E的方程为1.点T的坐标为.证明由已知可设直线l的方程为yxm,由方程组可得所以P点坐标为.|PT|2m2.设点A,B的坐标分别为A,B.由方程组可得3x24mx0.方程的判别式为16,由0,解得m.由得x1x2,x1

6、x2.所以|PA|,同理|PB|.所以|PA|PB|m2.故存在常数,使得|PT|2|PA|PB|.规律方法有关圆锥曲线弦长问题的求解方法：涉与弦长的问题中,应熟练的利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉与垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉与过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解.训练2 已知椭圆1经过点,离心率为,左、右焦点分别为F1,F2.求椭圆的方程；若直线l：yxm与椭圆交于A,B两点,与以F1F2为直径的圆交于C,D两点,且满足,求直线l的方程.解由题设知解得a2,b,c1,椭圆的方程为1.由知,以F1F2为直径的圆的方程为x2y21,圆心到直线l的距离

7、d,由d1,得|m|.|CD|22.设A,B,由得x2mxm230,由根与系数关系可得x1x2m,x1x2m23.|AB|.由,得1,解得m,满足.直线l的方程为yx或yx.考点三中点弦问题例3 已知椭圆E：1的右焦点为F,过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为,则E的方程为A.1 B.1C.1 D.1已知双曲线x21上存在两点M,N关于直线yxm对称,且MN的中点在抛物线y218x上,则实数m的值为_.解析因为直线AB过点F和点,所以直线AB的方程为y,代入椭圆方程1消去y,得x2a2xa2a2b20,所以AB的中点的横坐标为1,即a22b2,又a2b2c2,所以bc3,a3,选D

8、.设M,N,MN的中点P,则由得,显然x1x2.3,即kMN3,M,N关于直线yxm对称,kMN1,y03x0.又y0x0m,P,代入抛物线方程得m218,解得m0或8,经检验都符合.答案D0或8规律方法处理中点弦问题常用的求解方法点差法：即设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x1x2,y1y2,三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式即可求得斜率.根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后,由根与系数的关系求解.训练3 设抛物线过定点A,且以直线x1为准线.求抛物线顶点的轨迹C的方程；若直线l与轨迹C交于不同的两点M,

9、N,且线段MN恰被直线x平分,设弦MN的垂直平分线的方程为ykxm,试求m的取值范围.解设抛物线顶点为P,则焦点F.再根据抛物线的定义得|AF|2,即2y24,所以轨迹C的方程为x21.设弦MN的中点为P,M,N,则由点M,N为椭圆C上的点,可知两式相减,得40,将xMxN21,yMyN2y0,代入上式得k.又点P在弦MN的垂直平分线上,所以y0km.所以my0ky0.由点P在线段BB上,所以yBy0yB,也即y0.所以m,且m0.基础过关1.过抛物线y22x的焦点作一条直线与抛物线交于A,B两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线A.有且只有一条 B.有且只有两条C.有且只有三条 D.有且

10、只有四条解析通径2p2,又|AB|x1x2p,|AB|32p,故这样的直线有且只有两条.答案B2.直线yx3与双曲线1的交点个数是A.1 B.2 C.1或2 D.0解析因为直线yx3与双曲线的渐近线yx平行,所以它与双曲线只有1个交点.答案A3.经过椭圆y21的一个焦点作倾斜角为45的直线l,交椭圆于A,B两点,设O为坐标原点,则等于A.3 B.C.或3 D.解析依题意,当直线l经过椭圆的右焦点时,其方程为y0tan 45,即yx1,代入椭圆方程y21并整理得3x24x0,解得x0或x,所以两个交点坐标分别为,同理,直线l经过椭圆的左焦点时,也可得.答案B4.抛物线yx2到直线xy20的最短距

11、离为A. B.C.2 D.解析设抛物线上一点的坐标为,则d,x时, dmin.答案B5.椭圆ax2by21与直线y1x交于A,B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为,则的值为A. B. C. D.解析设A,B,线段AB中点M,由题设kOM.由得.又1,.所以.答案A6.已知椭圆C：1,F为其右焦点,过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C的方程为_.解析由题意得解得椭圆C的方程为1.答案17.已知抛物线yax2的焦点到准线的距离为2,则直线yx1截抛物线所得的弦长等于_.解析由题设知p2,a.抛物线方程为yx2,焦点为F,准线为y1.联立消去x,整理得y26y10,y1y2

12、6,直线过焦点F,所得弦|AB|AF|BF|y11y218.答案88.过椭圆1内一点P,且被这点平分的弦所在直线的方程是_.解析设直线与椭圆交于A,B两点,由于A,B两点均在椭圆上,故1,1,两式相减得0.又P是A,B的中点,x1x26,y1y22,kAB.直线AB的方程为y1.即3x4y130.答案3x4y130三、解答题9.设F1,F2分别是椭圆E：1的左、右焦点,过F1且斜率为1的直线l与E相交于A,B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列.求E的离心率；设点P满足|PA|PB|,求E的方程.解由椭圆定义知|AF2|BF2|AB|4a,又2|AB|AF2|BF2|,得|AB|

13、a,l的方程为yxc,其中c.设A,B,则A,B两点的坐标满足方程组消去y,化简得x22a2cxa20,则x1x2,x1x2.因为直线AB的斜率为1,所以|AB|x2x1|,即a,故a22b2,所以E的离心率e.设AB的中点为N,由知x0,y0x0c.由|PA|PB|,得kPN1,即1,得c3,从而a3,b3.故椭圆E的方程为1.10.已知椭圆C：1b0的一个顶点为A,离心率为.直线yk与椭圆C交于不同的两点M,N.求椭圆C的方程；当AMN的面积为时,求k的值.解由题意得解得b,所以椭圆C的方程为1.由得x24k2x2k240.设点M,N的坐标分别为,则y1k,y2k,x1x2,x1x2,所以

14、|MN|又因为点A到直线yk的距离d,所以AMN的面积为S|MN|d,由,解得k1.能力提高11.已知椭圆1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,若|BF2|AF2|的最大值为5,则b的值是A.1 B. C. D.解析由椭圆的方程,可知长半轴长为a2,由椭圆的定义,可知|AF2|BF2|AB|4a8,所以|AB|83.由椭圆的性质,可知过椭圆焦点的弦中,通径最短,即3,可求得b23,即b.答案D12.设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y22px0上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|2|MF|,则直线OM的斜率的最大值是A. B. C. D.1解析如图所示,设

15、P0,则y2px0,即x0.设M,由2,得解之得x,且y.直线OM的斜率k又y02p,当且仅当y0p时取等号.k,则k的最大值为.答案C13.设抛物线y28x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PAl,A为垂足.如果直线AF的斜率为,那么|PF|_.解析直线AF的方程为y,联立得y4,所以P.由抛物线的性质可知|PF|628.答案814.已知抛物线C：y22px0的焦点为F,直线y4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|PQ|.求C的方程；过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l与C相交于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求l的方程.解设Q,代入y22px得x

16、0.所以|PQ|,|QF|x0.由题设得,解得p2或p2.所以C的方程为y24x.依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为xmy1.代入y24x得y24my40.设A,B,则y1y24m,y1y24.故AB的中点为D,|AB|y1y2|4.又l的斜率为m,所以l的方程为xy2m23.将上式代入y24x,并整理得y2y40.设M,N,则y3y4,y3y44.故MN的中点为E,|MN|y3y4|.由于MN垂直平分AB,故A,M,B,N四点在同一圆上等价于|AE|BE|MN|,从而|AB|2|DE|2|MN|2,即42.化简得m210,解得m1或m1.所求直线l的方程为xy10或xy10.10 / 10