数学最大值最小值问题北师大选修

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1、会计学1数学最大值最小值问题北师大选修数学最大值最小值问题北师大选修1 1、在定义中，取得极值的点称为极值点，、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值极值点点是是自变量自变量(x)(x)的值，的值，极值极值指的是指的是函数值函数值(y)(y)。注意注意2 2、极值是一个、极值是一个局部局部概念，极值只是某个点概念，极值只是某个点的函数值与它的函数值与它附近点附近点的函数值比较是最大或的函数值比较是最大或最小最小, ,并并不意味不意味着它在函数的整个的定义域着它在函数的整个的定义域内最大或最小。内最大或最小。第2页/共44页3 3、函数的、函数的极值不是唯极值不是唯一一的即一个的即一个函数在某区

2、间上或定义域内极大函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。值或极小值可以不止一个。第3页/共44页4 4、极大值与极小值之间无确定的大小关、极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的系即一个函数的极大值未必大于极小值，极大值未必大于极小值，如下图所示，如下图所示， 是极大值点，是极大值点， 是极小值是极小值点，而点，而 1x4x41()( )f xf x第4页/共44页如何用图表来确定函数的极大值与极小值?:)(,的极值点求出函数我们可以通过如下步骤一般情况下xfy 1.( ).fx确定函数的定义域且求出导数. 0)(. 2 xf解方程.,)()3(;, )()2(;, )()

3、 1 (:),)(,)(,0)(. 300000000不是极值点则两侧的符号相同在若为极小值点则左负右正两侧的符号在若为极大值点则左正右负两侧的符号在若确定极值点的单调性即右两侧的符号左在分析的每一个解对于方程xxxfxxxfxxxfxfxxfxxf二、二、 求函数求函数f(x)f(x)的极值的步骤的极值的步骤: :第5页/共44页一一. .最值的概念最值的概念( (最大值与最小值最大值与最小值) )新新 课课 讲讲 授授 如果在函数定义域如果在函数定义域I内存在内存在x x0 0, ,使使得对任意的得对任意的xxI, ,总有总有f(x) f(x) f(xf(x0 0),),则称则称f(xf(

4、x0 0) )为函数为函数f(x)f(x)在定义域上的在定义域上的最大值最大值. .最值是相对函数最值是相对函数定义域整体定义域整体而言的而言的. .第6页/共44页)(xfba,1.1.在定义域内在定义域内, , 最值唯一最值唯一; ;极值不唯一极值不唯一; ;注意注意: :2.2.最大值一定比最小值大最大值一定比最小值大. .第7页/共44页二二. .如何求函数的最值如何求函数的最值? ?1.1.利用函数的单调性利用函数的单调性; ;2.2.利用函数的图象利用函数的图象; ;3.3.利用函数的导数利用函数的导数. .如如: :求求y=2x+1y=2x+1在区间在区间1,31,3上的最值上的

5、最值. .如如: :求求y=(xy=(x2)2)2 2+3+3在区间在区间1,31,3上的最值上的最值. .第8页/共44页 2. 2.将将y=f(x)y=f(x)的各极值与的各极值与f (a)f (a)、 f(b)f(b)比较，其中最大的一个为最大比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值值，最小的一个为最小值 1. 1.求求f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b内极值内极值( (极极大值或极小值大值或极小值) ) 利用导数求函数利用导数求函数f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b上最值的步骤上最值的步骤: :第9页/共44页.2 , 252)(123最大值与最小值上的在区间求函数

6、例xxxfy.,.34, 0:, 043.:21212的符号和函数的单调性分析列表根据得解方程法则可得根据导数公式表和求导首先求导数解yxxxxyxxy第10页/共44页-2(-2,0)02+0-0+-11极大值极小值5xy)(xfy )34, 0(34)2 ,34(. 5)2(,11)2(,2710334, 5)0(:22,34, 0.34,0,432121ffffxxxxxx处的值和区间端点极小值点计算函数在极大值点的极小值点是函数是函数的极大值点根据上表可得第11页/共44页:112 , 252; 52 , 252:,42323函数图像如右图所示上的最小值是间在区函数上的最大值是间在区函

7、数可知个数的大小比较xxyxxy-254/32yx第12页/共44页?,)2(?,) 1 (.):():(.,48,23最大容积是多少容器的容积最大为多少时截去的小正方形的边长是如何变化的容积的变化随着的函数单位的小正方形的边长是关于截去单位所得容器的容积长方本容器可以做成一个无盖然后折起一个大小相同的正方形四角各截去的正方形铁皮一边长为如图所示例VxcmxcmVcmxx第13页/共44页.24, 8:, 0)().8)(24(12)486)(248()248()248(4)(:,.240,)248()(:.) 1 ( :2122性与极值点的符号得到函数的单调列表分析导函数得解方程可得导法则根

8、据导数公式表示及求定义域为由实际情况可知函数的根据题意可得的函数解析式关于首先写出解xxxVxxxxxxxxfxxxxfVxV第14页/共44页x(0,8)8(8,24)+0-极大值极大值)(xf )(xfV ).(81928)1648()8(,832cmfVx相应极大值为是函数的极大值点.)(,248;)(,80:是递减的函数时当是递增的函数时当讨论可知根据对函数变化规律的xfVxxfVx第15页/共44页.8192,8).(8192)8(.)(8),8()24, 0()2(33cmcmcmfVxfVxf最大容积为得到的容器容积最大时为边长即当截去的小正方形的此时的最大值点数是函因此值都不超

9、过上任意点的函数区间x3/cmvO162488192第16页/共44页D第17页/共44页B第18页/共44页练习练习1 求函数求函数 在区间在区间 上的最大值与上的最大值与最小值最小值2425yxx2,2 解：解：xxy443 0 y令令，有，有0443 xx，解得，解得1 , 0 , 1 x1345413y+00+02(1,2)1(0,1)0(-1,0)-1(-2,-1)-2x当当x 变化时，变化时， 的变化情况如下表：的变化情况如下表：yy , 从表上可知，最大值是从表上可知，最大值是13，最小值是，最小值是4y 第19页/共44页练习练习2 2 求函数求函数f(x)=xf(x)=x2

10、2-4x+3-4x+3在区间在区间-1-1，44内的最大值和最小值内的最大值和最小值 解解: :f (x)=2x- 4f (x)=2x- 4令令f(x)=0f(x)=0，即，即2x4=02x4=0，得得x =2x =2x x-1-1 （-1,2-1,2） 2 2（2 2，4 4）4 40 0+8 83-1 故函数故函数f (x) f (x) 在区间在区间-1-1，44内的内的最大最大值为值为8 8，最小值为，最小值为-1 -1 )(xf)(xf 第20页/共44页例例3.已知某商品生产成本已知某商品生产成本C与产量与产量q的函数关系式为的函数关系式为C=100+4q,价格价格p与产量与产量q的

11、函数关系式为的函数关系式为 求产量求产量q为何值为何值时时,利润利润L最大。最大。.8125qp 分析分析:利润利润L等于收入等于收入R减去成本减去成本C,而收入而收入R等于产量乘价格等于产量乘价格.由此可得出由此可得出利润利润L与产量与产量q的函数关系式的函数关系式,再用导数求最大利润再用导数求最大利润.281258125qqqqpqR解：收入)2000(1002181)4100(812522 qqqqqqCRL利润利润2141qL021410 qL，即，即令令求得唯一的极值点求得唯一的极值点84q因为因为L只有一个极值点只有一个极值点,所以它是最大值所以它是最大值.答答:产量为产量为84时

12、时,利润利润L最大最大.第21页/共44页求下列函数在指定区间内的最大值和最小值求下列函数在指定区间内的最大值和最小值。2,2,2sin)()1(xxxf1 ,5,1)()2(xxxf4, 1,71862)() 3(23xxxxf答 案最大值最大值 f (/2)=/2，最小值，最小值 f (/2)= /2最大值最大值 f (3/4)=5/4，最小值，最小值 f (5)= 5+ 最大值最大值 f (1)=29，最小值，最小值 f (3)= 61练习练习3：6第22页/共44页求函数求函数 在在 内的极值；内的极值； )(xf),(ba1. 求求 在在 上的最大值与最小值的步骤上的最大值与最小值的

13、步骤:)( xf,ba求函数求函数 在区间端点在区间端点 的值的值； )(xf)()(bfaf、 将函数将函数 在各极值与在各极值与 比较，其中最大的一比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值个是最大值，最小的一个是最小值 )(xf)()(bfaf、小结小结2 2.求函数最值的一般方法：求函数最值的一般方法：. .是利用函数性质；是利用函数性质；. .是利用不等式；是利用不等式；. .是利用导数是利用导数第23页/共44页第24页/共44页一一. .最值的概念最值的概念( (最大值与最小值最大值与最小值) )复习复习 如果在函数定义域如果在函数定义域I内存在内存在x x0 0, ,使得

14、对任意的使得对任意的xxI, ,总有总有f(x) f(xf(x) f(x0 0),),则称则称f(xf(x0 0) )为函数为函数f(x)f(x)在定在定义域上的最大值义域上的最大值. .最值是相对函数最值是相对函数定义域整体定义域整体而言的而言的. . 如果在函数定义域如果在函数定义域I内存在内存在x x0 0, ,使得对任意的使得对任意的xxI, ,总有总有f(x) f(x) f(xf(x0 0),),则称则称f(xf(x0 0) )为函数为函数f(x)f(x)在定义在定义域上的最小值域上的最小值. .第25页/共44页求函数求函数 在在 内的极值；内的极值； )(xf),(ba二二. 求

15、求 在在 上的最大值与最小值的步骤上的最大值与最小值的步骤:( )fx , a b求函数求函数 在区间端点在区间端点 的值的值； )(xf)()(bfaf、 将函数将函数 在各极值与在各极值与 比较，其中最大的一比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值个是最大值，最小的一个是最小值 )(xf)()(bfaf、复习复习三三.求函数最值的一般方法：求函数最值的一般方法：. .是利用函数性质；是利用函数性质；. .是利用不等式；是利用不等式；. .是利用导数是利用导数第26页/共44页练习练习1 求函数求函数 在区间在区间 上的最大值与上的最大值与最小值最小值2425yxx2,2 解：解：x

16、xy443 0 y令令，有，有0443 xx，解得，解得1 , 0 , 1 x1345413y+00+02(1,2)1(0,1)0(-1,0)-1(-2,-1)-2x当当x 变化时，变化时， 的变化情况如下表：的变化情况如下表：yy , 从表上可知，最大值是从表上可知，最大值是13，最小值是，最小值是4y 第27页/共44页练习练习2 2 求函数求函数f(x)=xf(x)=x2 2-4x+3-4x+3在区间在区间-1-1，44内的最大值和最小值内的最大值和最小值 解解: :f (x)=2x- 4f (x)=2x- 4令令f(x)=0f(x)=0，即，即2x4=02x4=0，得得x =2x =2

17、x x-1-1 （-1,2-1,2） 2 2（2 2，4 4）4 40 0+8 83-1 故函数故函数f (x) f (x) 在区间在区间-1-1，44内的内的最大最大值为值为8 8，最小值为，最小值为-1 -1 )(xf)(xf 第28页/共44页例例1.已知某商品生产成本已知某商品生产成本C与产量与产量q的函数关系式为的函数关系式为C=100+4q,价格价格p与产量与产量q的函数关系式为的函数关系式为 求产量求产量q为何值为何值时时,利润利润L最大。最大。.8125qp 分析分析:利润利润L等于收入等于收入R减去成本减去成本C,而收入而收入R等于产量乘价格等于产量乘价格.由此可得出由此可得

18、出利润利润L与产量与产量q的函数关系式的函数关系式,再用导数求最大利润再用导数求最大利润.281258125qqqqpqR解：收入)2000(1002181)4100(812522 qqqqqqCRL利润利润2141qL021410 qL，即，即令令求得唯一的极值点求得唯一的极值点84q因为因为L只有一个极值点只有一个极值点,所以它是最大值所以它是最大值.答答:产量为产量为84时时,利润利润L最大最大.生活中的优化问题生活中的优化问题第29页/共44页例例2 2产品与利润产品与利润 对于企业来说，生产成本、销售收对于企业来说，生产成本、销售收入和利润之间的关系是个重要的问题。对一家药品入和利润

19、之间的关系是个重要的问题。对一家药品生产企业的研究表明，该企业的生产成本生产企业的研究表明，该企业的生产成本y y（单位：（单位：万元）和生产收入万元）和生产收入z z（单位：万元）都是产量（单位：万元）都是产量x(x(单位单位：t t）的函数，分别为）的函数，分别为(1)(1)试写出该企业获得的生产利润试写出该企业获得的生产利润w w （单位：万元）（单位：万元）与产量与产量x x之间的函数关系式；之间的函数关系式；(2)(2)当产量为多少时，该企业可获得最大利润？最大当产量为多少时，该企业可获得最大利润？最大利润为多少？利润为多少？32246310yxxx18zx第30页/共44页所以所以

20、32( ) 18(246310)w w xxxxx即即32244510(0)wxxxx（2）求）求w=w(x)的导数的导数2( )34845w xxx解方解方程程( ) 0w x得得121,15xx第31页/共44页xy)(xfx 1 15 - 0 + 0 - 极小值极大值(1,15)(0,1)(15,)列表，分析导函数的符号得到函数的单调性与极值点列表，分析导函数的符号得到函数的单调性与极值点x=15是函数的极大值点，比较是函数的极大值点，比较x=1和和x=15的函数值的函数值(1)32,(15)1340ww 可知，函数可知，函数w(x)在在x=15处取得最大值为处取得最大值为1340，即该

21、企，即该企业的产量为业的产量为15t时，可获得最大利润，最大利润为时，可获得最大利润，最大利润为1340万元万元在实际中，有许多以函数为数学模型的问题，在研究它在实际中，有许多以函数为数学模型的问题，在研究它们的变化规律时，导数是一个重要的工具，们的变化规律时，导数是一个重要的工具，第32页/共44页最优化问题最优化问题用函数表示的数学问题用函数表示的数学问题最优化问题的答案最优化问题的答案用导数解决数学问题用导数解决数学问题第33页/共44页2225001000222,0yxxxxxx解：设易拉罐的底面半径为解：设易拉罐的底面半径为 xcm，所用的材，所用的材料面积为料面积为 ，则，则2ycm解这个函数的最小值，得解这个函数的最小值，得当当 时，函数取得最小值时，函数取得最小值35004.302xcm第34页/共44页第35页/共44页第36页/共44页第37页/共44页第38页/共44页第39页/共44页第40页/共44页第41页/共44页第42页/共44页第43页/共44页感谢您的观看！感谢您的观看！第44页/共44页