《2017-2018学年高中数学 第二章 参数方程章末小结与测评教学案 新人教A版选修4-4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学 第二章 参数方程章末小结与测评教学案 新人教A版选修4-4（24页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、第二章 参数方程(1)建立直角坐标系，设曲线上任一点P坐标为(x，y)；(2)选取适当的参数；(3)根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P坐标与参数的函数式；(4)证明这个参数方程就是所要求的曲线的方程过点P(2，0)作直线l与圆x2y21交于A、B两点，设A、B的中点为M，求M的轨迹的参数方程解设M(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为xty2.由消去x得(1t2)y24ty30.y1y2，则y.xty22，由(4t)212(1t2)0得t23.M的轨迹的参数方程为(t为参数且t23).在求出曲线的参数方程后，通常利用消参法得出普通方程一般地，消参数经常采用
2、的是代入法和三角公式法但将曲线的参数方程化为普通方程，不只是把其中的参数消去，还要注意x，y的取值范围在消参前后应该是一致的，也就是说，要使得参数方程与普通方程等价，即它们二者要表示同一曲线已知曲线的参数方程为(0t)，把它化为普通方程，并判断该曲线表示什么图形？解由曲线的参数方程得cos 2tsin 2t1，(x1)2(y2)24.由于0t，0sin t1.从而0y22，即2y0.所求的曲线的参数方程为(x1)2(y2)24(2y0)这是一个半圆，其圆心为(1，2)，半径为2.已知参数方程(t0)(1)若t为常数，为参数，方程所表示的曲线是什么？(2)若为常数，t为参数，方程所表示的曲线是什
3、么？解(1)当t1时，由得sin ，由得cos .1.它表示中心在原点，长轴长为2，短轴长为2，焦点在x轴上的椭圆当t1时，y0，x2sin ，x2，2，它表示在x轴上2，2的一段线段(2)当(kZ)时，由得t.由得t.平方相减得4，即1，它表示中心在原点，实轴长为4|sin |，虚轴长为4|cos |，焦点在x轴上的双曲线当k(kZ)时，x0，它表示y轴；当k(kZ)时，y0，x.t2(t0时)或t2(t0时)，|x|2.方程为y0(|x|2)，它表示x轴上以(2，0)和(2，0)为端点的向左、向右的两条射线.求直线的参数方程，根据参数方程参数的几何意义，求直线上两点间的距离，求直线的倾斜角
4、，判断两直线的位置关系；根据已知条件求圆的参数方程，根据圆的参数方程解决与圆有关的最值、位置关系等问题设曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的方程为x3y20，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为()A1B2C3D4解析曲线C的标准方程为：(x2)2(y1)29，它表示以(2，1)为圆心，半径为3的圆，因为圆心(2，1)到直线x3y20的距离d，且30)相交于A、B两点，设P(1，0)，且|PA|PB|12，求实数a的值解法一：直线参数方程可化为：y(x1)联立方程消去y，得：4x26x3a0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)(不妨设x10，x1x2，x1x2，由解得a3.法二：将直线参数
5、方程代入圆方程得t2t1a0设方程两根为t1、t2，则14(1a)0a.t1t21，t1t21a.(*)由参数t的几何意义知或.由，解得a3.能根据条件求椭圆、双曲线、抛物线的参数方程，并利用圆锥曲线的参数方程解最值、直线与圆锥曲线的位置关系等问题已知点P(3，2)平分抛物线y24x的一条弦AB，求弦AB的长解设弦AB所在的直线方程为(t为参数)，代入方程y24x整理得t2sin 24(sin cos )t80.点P(3，2)是弦AB的中点，由参数t的几何意义可知，方程的两个实根t1、t2满足关系t1t20，sin cos 0，0，.|AB|t1t2|8.过点B(0，a)作双曲线x2y2a2右
6、支的割线BCD，又过右焦点F作平行于BD的直线，交双曲线于G、H两点求证：2.证明当a0时，设割线的倾斜角为，则它的参数方程为(t为参数)则过焦点F平行于BD的直线GH的参数方程为(t为参数)将代入双曲线方程，得t2cos 22atsin 2a20.设方程的解为t1，t2，则有|BC|BD|t1t2|，同理，|GF|FH|.2，当a0时，同理可得上述结果一、选择题1极坐标方程cos 和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是()A圆、直线 B直线、圆C圆、圆 D直线、直线解析：选A由cos ，得x2y2x，cos 表示一个圆由得到3xy1，表示一条直线2设r0，那么直线xcos ysin r(是
7、常数)与圆(是参数)的位置关系是()A相交 B相切C相离 D视r的大小而定解析：选B圆心到直线的距离d|r|r，故相切3双曲线(为参数)，那么它的两条渐近线所成的锐角是()A30 B45 C60 D75解析：选C由y21，两条渐近线的方程是yx，所以两条渐近线所夹的锐角是60.4若动点(x，y)在曲线1(b0)上变化，则x22y的最大值为()A. B.C.4 D2b解析：选A设动点的坐标为(2cos ，bsin )，代入x22y4cos22bsin (2sin )24，当0b4时，(x22y)max4，当b4时，(x22y)max(2)242b.二、填空题5直线(t为参数)的倾斜角的大小为_解
8、析：原参数方程变为(t为参数)，故直线的倾斜角为20.答案：206已知直线l1：(t为参数)与直线l2：2x4y5相交于点B，又点A(1，2)，则|AB|_解析：将代入2x4y5得t，则B(，0)，而A(1，2)，得|AB|.答案：7圆的渐开线参数方程为：(为参数)则基圆的面积为_解析：易知，基圆半径为.面积为()23.答案：38(重庆高考)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系若极坐标方程为cos 4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|_解析：cos 4化为直角坐标方程为x4，化为普通方程为y2x3，、联立得A(4，8)，B(4，8)，故|AB|
9、16.答案：16三、解答题9经过P(2，3)作直线交抛物线y28x于A、B两点(1)若线AB被P平分，求AB所在直线方程；(2)当直线的倾斜角为时，求|AB|.解：设AB的参数方程是(t为参数)代入抛物线方程，整理得t2sin 2(6sin 8cos )t70.于是t1t2，t1t2.(1)若p为AB的中点，则t1t20.即6sin 8cos 0tan .故AB所在的直线方程为y3(x2)即4x3y10.(2)|AB|t1t2| ，又，|AB| 8.10已知对于圆x2(y1)21上任意一点P(x，y)，不等式xym0恒成立，求实数m的取值范围解：圆x2(y1)21的参数方程可写为xym0恒成立
10、，cos 1sin m0恒成立sin 1cos sin ()11，m(1)即m的取值范围为1，)11设P为椭圆弧1(x0，y0)上的一动点，又已知定点A(10，6)，以P、A为矩形对角线的两端点，矩形的边平行于坐标轴，求此矩形的面积的最值解：设P(5cos ，3sin )(0)，则矩形面积为S(105cos )(63sin )154sin cos 2(sin cos )，令tsin cos ，则sin cos ，S(t2)2.t1，当t1，即P(5，0)或P(0，3)处有最大值，最大值为30；当t，即P(，)处有最小值，最小值为30.(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10个小
11、题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1方程(为参数)表示的曲线上的一个点的坐标是()A(2，7) B(1，0)C. D.解析：选C由ycos 2得y12sin 2，参数方程化为普通方程是y12x2(1x1)，当x时，y12()2，故选C.2直线(t为参数)被圆x2y29截得的弦长为()A. B.C. D.解析：选B把直线代入x2y29得(12t)2(2t)29，5t28t40.|t1t2|，弦长为|t1t2|.3直线(t为参数)的斜率是()A2 B.C2 D解析：选C由2得2xy10，k2.4若圆的参数方程为(为参数)，直线的参数方程为(t为参数)，则
12、直线与圆的位置关系是()A过圆心 B相交而不过圆心C相切 D相离解析：选B直线与圆的普通方程分别为3xy20与(x1)2(y3)24，圆心(1，3)到直线的距离d，而d2且d0，故直线与圆相交而不过圆心5参数方程(为参数)所表示的曲线为()A抛物线的一部分 B一条抛物线C双曲线的一部分 D一条双曲线解析：选Axy2cos 2sin 21，即y2x1.又xcos 20，1，ysin 1，1，为抛物线的一部分6点P(x，y)在椭圆(y1)21上，则xy的最大值为()A3 B5C5 D6解析：选A椭圆的参数方程为(为参数)，xy22cos 1sin 3sin ()，(xy)max3.7过点(3，2)
13、且与曲线(为参数)有相同焦点的椭圆方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析：选A化为普通方程是1.焦点坐标为(，0)，(，0)，排除B、C、D.8已知过曲线上一点P与原点O的距离为，则P点坐标为()A. B.C. D.解析：选A设P(3cos ，5sin )，则|OP|29cos 225sin 2916sin 213，得sin 2.又0，sin ，cos .x3cos .y5sin .P坐标为(，)9设曲线与x轴交点为M、N，点P在曲线上，则PM与PN所在直线的斜率之积为()A BC. D.解析：选A令y0得sin 0，cos 1.M(2，0)，N(2，0)设P(2cos ，sin )kPM
14、kPN.10曲线(为参数)的图形是()A第一、三象限的平分线B以(a，a)、(a，a)为端点的线段C以(a，a)、(a，a)为端点的线段和以(a，a)、(a，a)为端点的线段D以(a，a)、(a，a)为端点的线段解析：选D显然yx，而xasin acos asin()，|a|x|a|.故图形是以(a，a)、(a，a)为端点的线段二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分把答案填写在题中的横线上)11(广东高考)已知曲线C的极坐标方程为2cos .以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为_解析：极坐标方程化为直角坐标方程为(x1)2y21，令即(为参数)答案
15、：(为参数)12设直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的方程为y3x4，若直线l1与l2间的距离为，则实数a的值为_解析：将直线l1的方程化为普通方程得3xya30，直线l2方程即3xy40，由两平行线的距离公式得|a1|10a9或a11.答案：9或1113直线y2x与曲线(为参数)的交点坐标为_解析：将代入中，得y12x2(1x1)，2x2y1.由解之得或(舍去)答案：(，)14(陕西高考)如图，以过原点的直线的倾斜角为参数，则圆x2y2x0的参数方程为_解析：由题意得圆的方程为y2，圆心在x轴上，半径为，则其圆的参数方程为(为参数)，注意为圆心角，为同弧所对的圆周角，则有2，有即(为
16、参数)答案：(为参数)三、解答题(本大题共4个小题，满分50分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(12分)求直线(t为参数)被曲线cos()所截的弦长解：将方程cos ()分别化为普通方程3x4y10，x2y2xy0，圆心C(，)，半径为，圆心到直线的距离d，弦长22.16(12分)(辽宁高考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，曲线C2的参数方程为(ab0，为参数)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：与C1，C2各有一个交点当0时，这两个交点间的距离为2，当时，这两个交点重合(1)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；(2)设
17、当时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积解：(1)C1，C2的普通方程分别为x2y21和y21.因此C1是圆，C2是椭圆当0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1，0)，(a，0)，因为这两点间的距离为2，所以a3.当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0，1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b1.(2)C1，C2的普通方程分别为x2y21和y21.当时，射线l与C1交点A1的横坐标为x，与C2交点B1的横坐标为x.当时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形
18、A1A2B2B1为梯形，故四边形A1A2B2B1的面积为.17(12分)已知经过A(5，3)且倾斜角的余弦值是的直线，直线与圆x2y225交于B、C两点(1)求BC中点坐标；(2)求过点A与圆相切的切线方程及切点坐标解：(1)直线参数方程为(t为参数)，代入圆的方程得t2t90.tM，则xM，yM，中点坐标为M(，)(2)设切线方程为(t为参数)，代入圆的方程得t2(10cos 6sin )t90.(10cos 6sin )2360，cos 0或tan .过A点切线方程为x5，8x15y850.又t切3sin 5cos ，t13，t23.将t1，t2代入切线的参数方程知，相应的切点为(5，0)
19、，(，)18(14分)在双曲线x22y22上求一点P，使它到直线xy0的距离最短，并求这个最短距离解：设双曲线y21上一点P(sec ，tan )(02，且，)，则它到直线xy0的距离为d.于是d2，化简得，(12d2)sin22sin 2(1d2)0.sin 是实数，(2)28(12d2)(1d2)0，d.当d时，sin ，或，这时x02，y01.或x0sec2，y0tan 1.故当双曲线上的点P为(2，1)或(2，1)时，它到直线xy0的距离最小，这个最小值为.模块综合检测(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一
20、项是符合题目要求的)1若直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的倾斜角的余弦值为()ABC. D.解析：选B由l的参数方程可得l的普通方程为4x3y100，设l的倾斜角为，则tan ，由tan 21，得cos 2，又，cos .2柱坐标对应的点的直角坐标是()A(，1，1) B(，1，1)C(1，1) D(1，1)解析：选C由直角坐标与柱坐标之间的变换公式可得3在极坐标系中，点A的极坐标是(1，)，点P是曲线C：2sin 上的动点，则|PA|的最小值是()A0 B.C.1 D.1解析：选DA的直角坐标为(1，0)，曲线C的直角坐标方程为x2y22y，即x2(y1)21，|AC|，则|PA|m
21、in1.4直线(t为参数，是常数)的倾斜角是()A105 B75C15 D165解析：选A参数方程消去参数t得，ycos tan 75(xsin )，ktan 75tan (18075)tan 105.故直线的倾斜角是105.5双曲线(为参数)的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dy2x解析：选D把参数方程化为普通方程得x21，渐近线方程为y2x.6已知直线(t为参数)与圆x2y28相交于B、C两点，O为原点，则BOC的面积为()A2 B.C. D.解析：选C(t为参数)代入x2y28，得t23t30，|BC|t1t2|，弦心距d ，SBCO|BC|d.7已知点P的极坐标为(，)，则过点P
22、且垂直于极轴的直线的极坐标方程为()A Bcos C D解析：选D设M(，)为所求直线上任意一点，由图形知OMcos POM，cos ().8直线l：ykx20与曲线C：2cos 相交，则k满足的条件是()Ak BkCkR DkR且k0解析：选A由题意可知直线l过定点(0，2)，曲线C的普通方程为x2y22x，即(x1)2y21.由图可知，直线l与圆相切时，有一个交点，此时1，得k.若满足题意，只需k.即k即可9参数方程(为参数，02)所表示的曲线是()A椭圆的一部分B双曲线的一部分C抛物线的一部分，且过点D抛物线的一部分，且过点解析：选D由ycos 2()，可得sin 2y1，由x得x21s
23、in ，参数方程可化为普通方程x22y，又x0，10在极坐标系中，由三条直线0，cos sin 1围成的图形的面积为()A. B.C. D.解析：选B三条直线的直角坐标方程依次为y0，yx，xy1，如图围成的图形为OPQ，可得SOPQ|OQ|yP|1.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分把答案填写在题中的横线上)11(江西高考)设曲线C的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为_解析：消去曲线C中的参数t得yx2，将xcos ，ysin 代入yx2中，得2cos2sin ，即cos2sin 0.答案：cos2si
24、n 012(安徽高考)在极坐标系中，圆4sin 的圆心到直线(R)的距离是_解析：将4sin 化成直角坐标方程为x2y24y，即x2(y2)24，圆心为(0，2)将(R)化成直角坐标方程为xy0，由点到直线的距离公式可知圆心到直线的距离d.答案：13(广东高考)已知曲线C的参数方程为(t为参数)，C在点(1，1)处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为_解析：曲线C的普通方程为：x2y2 ( cos t)2( sin t)2(cos2tsin2t)2，由圆的知识可知，圆心(0，0)与切点(1，1)的连线垂直于切线l，从而l的斜率为1，由点斜式可得直线l
25、的方程为y1(x1)，即xy20.由cos x，sin y，可得l的极坐标方程为cos sin 20.答案：cos sin 20或(cos sin )214(湖北高考)在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为(为参数，ab0)在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为sinm(m为非零常数)与b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆 O相切，则椭圆C的离心率为_解析：由题意知，椭圆C的普通方程为1，直线l的直角坐标方程为xym，圆O的直角坐标方程为x2y2b2，设椭圆C的半焦距为c，则根据题意可知，|m|c，b，所以有c
26、b，所以椭圆C的离心率e.答案：三、解答题(本大题共4个小题，满分50分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(12分)(新课标全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，M是C1上的动点，P点满足OP2OM，P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.解：(1)设P(x，y)，则由条件知M(，)由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为(为参数)(2)曲线C1的极坐标方程为4sin ，曲线C2的极坐标方程为18sin .射线与C1的交点A的
27、极径为14sin ，射线与C2的交点B的极径为28sin .所以|AB|21|2.16(12分)(福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2，0)，圆C的参数方程为(为参数)(1)设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；(2)判断直线l与圆C的位置关系解：(1)由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2，0)，(0，)，又P为线段MN的中点，从而点P的平面直角坐标为(1，)，故直线OP的平面直角坐标方程为yx.(2)因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2，0)，(0，)，所以直线l的平面直角坐标方程
28、为x3y20.又圆C的圆心坐标为(2，)，半径r2，圆心到直线l的距离dr，故直线l与圆C相交17(12分)已知某圆的极坐标方程为24cos()60，求：(1)圆的普通方程和参数方程；(2)在圆上所有的点(x，y)中xy的最大值和最小值解：(1)原方程可化为24(cos cos sin sin )60，即24cos 4sin 60.因为2x2y2，xcos ，ysin ，所以可化为x2y24x4y60，即(x2)2(y2)22，此方程即为所求圆的普通方程设cos ，sin ，所以参数方程为(为参数)(2)由(1)可知xy(2cos )(2sin )42(cos sin )2cos sin 32(cos sin )(cos sin )2.设tcos sin ，则tsin ()，t，所以xy32tt2(t)21.当t时xy有最小值为1；当t时，xy有最大值为9.18(14分)曲线的极坐标方程为，过原点作互相垂直的两条直线分别交此曲线于A、B和C、D四点，当两条直线的倾斜角为何值时，|AB|CD|有最小值？并求出这个最小值解：由题意，设A(1，)，B(2，)，C(3，)，D(4，)则|AB|CD|(12)(34).当sin 221即或时，两条直线的倾斜角分别为，时，|AB|CD|有最小值16.24
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