第十章-质点动力学的基本方程学习教案

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1、会计学1第十章第十章-质点动力学的基本质点动力学的基本(jbn)方程方程第一页，共52页。牛顿(ni dn)第一定律（惯性定律）：不受力作用的质点将保持(boch)静止或匀速直线运动状态。牛顿第二(d r)定律：amF牛顿第三定律（作用与反作用定律）：两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，沿同一直线，但分别作用在两个物体上。一、牛顿三大定律第1页/共52页第二页，共52页。牛顿三大(sn d)定律是对绝对运动而言。惯性(gunxng)坐标系：牛顿三大定律可以适用的坐标系。在工程技术中，通常采用地球(dqi)（地面）作为惯性坐标系。二、坐标系第2页/共52页第三页，共52页。力学

2、(l xu)单位制：采用国际单位制基本物理量：质量(zhling)（M） 长度（L） 时间（T） （kg） （m） （s）力：导出单位1 N（牛顿(ni dn)） =2/1smkg三、单位制第3页/共52页第四页，共52页。牛顿(ni dn)第二定律:加速度 a 有三种计算方法，有三种形式(xngsh)的质点运动微分方程。一、矢量法amF二、直角坐标法三、自然法第4页/共52页第五页，共52页。xyzxyzvraF一、矢量(shling)法22dtrddtvda质点运动(yndng)微分方程为Fdtrdm22第5页/共52页第六页，共52页。xyzxyzvraF二、直角坐标(zh jio zu

3、 bio)法将矢量(shling)式向坐标轴投影，得或：22xd xmFdt22yd ymFdt22zd zmFdtxxFmayyFmazzFma第6页/共52页第七页，共52页。三、自然法aaatn2ddvvant在自然(zrn)坐标系中：aanaFA自然(zrn)坐标系中的运动微分方程为：或：22tdvd smFdtdt2nvmF0bF ttFmannFmabF0第7页/共52页第八页，共52页。动力学的问题(wnt)可分为：1、第一类问题(wnt)（动力学正问题(wnt)）已知物体的运动，求作用在物体的力。3、混合(hnh)问题2、第二类问题（动力学反问题）已知作用在物体上的力，求物体的

4、运动。第8页/共52页第九页，共52页。一、动力学第一类问题(wnt)求解(qi ji)第一类问题比较简单。已知质点运动，求作用(zuyng)在物体上的力。求解方法为：将运动方程对时间求两次导数，得到质点的加速度，再代入牛顿第二定律，即可求得作用于质点上的力。第9页/共52页第十页，共52页。ABxyOl已知滑块B的运动(yndng)方程为：21coscos244xlrtt滑块B的质量为m，忽略(hl)连杆AB的质量和摩擦，求：0t2和时，连杆 AB 所受的力第10页/共52页第十一页，共52页。FxmgFNa x本问题(wnt)为第一类问题(wnt)cosxmaF 2x22d xadtrco

5、stcos2 t 当=0 时，12rax而且(r qi)，=0可得到(d do)：21Fmr（AB杆受拉）以滑块B为研究对象ABxyOl21coscos244xlrtt解：第11页/共52页第十二页，共52页。FxmgFNa x以滑块B为研究(ynji)对象当=/2 时，2rax可得到(d do)：2222mrFlr （AB杆受压）lrl22coscosxmaF ABxyOl21coscos244xlrtt2x22d xadtrcostcos2 t 第12页/共52页第十三页，共52页。二、动力学第二类问题(wnt)第二类问题比较复杂，求解时一般需要进行(jnxng)积分，仅对下述几种情况，有

6、简单解。已知作用在质点(zhdin)上的力，求质点(zhdin)的运动规律。第13页/共52页第十四页，共52页。1、力为常数(chngsh)CFdtxdm22 对时间(shjin)积分两次，利用初始条件，确定积分常数，即可。2、力为时间(shjin)的函数 同样，对时间积分两次，利用初始条件，确定积分常数，即可。 tFdtxdm22第14页/共52页第十五页，共52页。3、力是位置(wi zhi)的函数)(22xFdtxdm进行如下(rxi)变换：dxdvvdtdxdxdvdtdvdtdxdtddtxdxxxx22得：)(xFvdxdvmxx积分(jfn)得：dxxFdvvmxx)(由上式及

7、所给条件，求出xv再由dtvtxdtdxvxx)(第15页/共52页第十六页，共52页。4、力是速度(sd)的函数)(22xxvfdtdvmdtxdm进行如下(rxi)变换后，积分：得： tvx再由 tdtdxvxtvvxxdtvfdvm00得到(d do)： dtttxt0第16页/共52页第十七页，共52页。物块的质量(zhling)为 m ,求：物块的运动(yndng)方程。l0mkv0弹簧的刚度系数为 k,物块自平衡位置以初始速度v0开始运动。第17页/共52页第十八页，共52页。xxO这是已知力(弹簧力)求运动(yndng)规律，故为第二类动力学问题。xFdtxdm22220d xm

8、kxdt以弹簧未变形(bin xng)时的平衡位置为原点建立Ox坐标系，将物块置于任意位置 x 0 处。物块在 x 方向(fngxing)只受有弹簧力Fk x 。根据直角坐标系中的质点运动微分方程l0mkF解：第18页/共52页第十九页，共52页。Fl0 xxOmk02022xdtxd)sin(0tAx00,0vA220d xmkxdtmk20令：00,; 00vxtx,t方程(fngchng)的通解为：代入初始条件：解得：0sinmkxvtkm第19页/共52页第二十页，共52页。l0mkv0物块的质量(zhling)为 m ,求：物块的运动(yndng)方程。弹簧的刚度(n d)系数为 k

9、,物块自平衡位置以初始速度v0开始运动。第20页/共52页第二十一页，共52页。FxmkxO这是已知力(弹簧力)求运动(yndng)规律，故为第二类动力学问题。以弹簧在静载mg作用下变形后的平衡位置为原点建立Ox坐标系，将物块置于任意(rny)位置x 0处。l0stW物块在x方向只受有弹簧力Fk x和重力Wmg。根据(gnj)直角坐标系中的质点运动微分方程：解：第21页/共52页第二十二页，共52页。解：以弹簧在静载mg作用下变形(bin xng)后的平衡位置为原点建立Ox坐标系，FxmkxOl0stWkmg,mgxkdtxdmstst22)(mk,xdtxd2020220 xFdtxdm22

10、将物块置于任意位置(wi zhi)x0处。物块在x方向只受有弹簧力Fkx和重力Wmg。根据直角坐标(zh jio zu bio)系中的质点运动微分方程第22页/共52页第二十三页，共52页。mk,xdtxd2020220)sin(0tAx000,vA00,;00vxtx,t方程(fngchng)的通解为：代入初始条件：解得：0sinmkxvtkm第23页/共52页第二十四页，共52页。计算结果分析(fnx)l0mkv0l0 xxOmkv0tmkkmvxvAsin0000;,重力(zhngl)mg只改变了系统的平衡位置，对运动规律并无影响。第24页/共52页第二十五页，共52页。已知：粉碎机滚筒

11、半径为R，匀速转动，铁球应在 时掉下，0求：滚筒(gntng)每分钟的转数n。第25页/共52页第二十六页，共52页。NFmgF本问题(wnt)为混合型问题(wnt)小球的运动微分方程(wi fn fn chn)（沿主法线方向）为：nnmaFcosmgFRvmN2铁球的受力情况(qngkung)如图第26页/共52页第二十七页，共52页。NFmgFcosmgFRvmN2质点(zhdin)的速度v 为：Rnv30得到(d do)：2130cosmgFmRRnN当 时，铁球将落下，此时0NF0解得：05499cosRg.n 第27页/共52页第二十八页，共52页。一、质点相对运动(xin du y

12、n dn)微分方程二、特例(tl)三、非惯性系中的质点动力学第28页/共52页第二十九页，共52页。saMsrrxzyOxzyO惯性(gunxng)参考系（静系）Oxyz非惯性(gunxng)参考系（动系）-Oxyz绝对运动轨迹(guj) sa 相对运动轨迹 sr相对位矢r牵连运动：动系Oxyz 相对于静系Oxyz的运动一、质点相对运动微分方程第29页/共52页第三十页，共52页。M点的绝对运动方程(fngchng)（在静系内的运动）牛顿(ni dn)第二定律：amF式中：aaaaa，为绝对加速度根据(gnj)运动学中的加速度合成定理，有Creaaaaa上式中， 称为科氏加速度，Carcv2a

13、eea为牵连加速度,ra为相对加速度。第30页/共52页第三十一页，共52页。aerCaaaammmmF将加速度代入牛顿(ni dn)第二定律，得由上式，可得CeraaammFm令egeamFcgcamF牵连(qinlin)惯性力科氏惯性力gcgeFFFmra最后(zuhu)得：第31页/共52页第三十二页，共52页。gcgeFFFmra上式称为(chn wi)质点相对运动微分方程。质点的质量与质点的相对加速度的乘积等于作用(zuyng)在质点上的外力的合力与牵连惯性力以及科氏力的矢量和。egeamFcgcamF牵连(qinlin)惯性力科氏惯性力第32页/共52页第三十三页，共52页。二、特

14、例(tl)1、动系作平动(pngdng)00cgcaF得到(d do)：gerFFam2、动系作匀速直线运动0000cgcegeaFaF得到：Famr第33页/共52页第三十四页，共52页。2、动系作匀速直线运动(yndng)Famr上式与牛顿第二定律(dngl)相同，所有相对于惯性坐标系作匀速直线运动的参考系都可以(ky)认为是惯性坐标系。第34页/共52页第三十五页，共52页。0a如图所示单摆，摆长l，小球质量为m，其悬挂点O以加速度 向上运动。0a求：此单摆(dn bi)做微振动的周期。例题(lt)第35页/共52页第三十六页，共52页。geFm0aOxyP在悬挂(xungu)点O上固接

15、以平动参考系Oxy，小球相对此动系相当于悬挂(xungu)点固定的单摆振动。因为(yn wi)平动：0gcF本问题的动力学基本方程为：0rmaFPmagcgeFFFmraF解：第36页/共52页第三十七页，共52页。向切向方向(fngxing)投影：202sinsind smmgmadt 0()sinm ga 又很小ls )(022agmdtdm 令02ngal0222 ndtd)sin( nAaglT 20rmaFPma上式变为：得到(d do)：解得：geFm0aOxyPF第37页/共52页第三十八页，共52页。三、非惯性系中的质点(zhdin)动力学 飞机(fij)急速爬高时飞行员的黑晕

16、现象爬升(p shn)时：a 5g惯性参考系地球非惯性参考系飞机动点血流质点惯性力向下，从心脏流向头部的血流受阻，造成大脑缺血，形成黑晕现象。 飞行员的黑晕与红视现象第38页/共52页第三十九页，共52页。 非惯性系中的质点(zhdin)动力学俯冲(fchng)时：a2g 飞机(fij)急速俯冲时飞行员的红视现象惯性参考系地球非惯性参考系飞机动点血流质点牵连惯性力向上，使血流自下而上加速流动，造成大脑充血，形成红视现象。 飞行员的黑晕与红视现象第39页/共52页第四十页，共52页。非惯性系中的质点(zhdin)动力学由于地球(dqi)的自转引起的水流科氏惯性力。第40页/共52页第四十一页，共

17、52页。非惯性系中的质点(zhdin)动力学水流(shuli)科氏惯性力对右岸的冲刷。第41页/共52页第四十二页，共52页。O例题(lt)Pkk已知：开有矩形槽的大盘以等角速度绕O轴旋转。矩形槽内安置物块-弹簧(tnhung)系统，物块P的质量为m，弹簧(tnhung)的刚度系数为k。初始状态下，物块处于大盘圆心O，这时弹簧(tnhung)不变形。求：1、物块的相对运动(xin du yn dn)微分方程；2、物块对槽壁的侧压力。第42页/共52页第四十三页，共52页。PkkkPxyOx1、非惯性(gunxng)参考系Oxy动点物块P2、分析相对速度和各种( zhn)加速度：相对速度vr 沿

18、着(yn zhe)x正向牵连加速度aen由大盘转动引起科氏加速度aIC =2m vr解：第43页/共52页第四十四页，共52页。FIenFNFICkkPxvraenaICxyO3、分析(fnx)质点(物块)受力：F 弹簧(tnhung)力F2k xFN 槽对物块的约束力FIC 科氏力FIen 法向牵连(qinlin)惯性力 FIenm 2 x第44页/共52页第四十五页，共52页。kkPxvraenaICxyO4、建立质点(物块)的相对(xingdu)运动微分方程：FIenFFNFICxmxkFFxm2Ie2 ICNFFym 22()0kxxmN2Fm x第45页/共52页第四十六页，共52页

19、。5、计算结果分析(fnx)与讨论22()0kxxm物块在x0处的平衡位置为稳定平衡(wndng pnghng)位置。当时牵连惯性力小于弹簧的弹性恢复力，物块的相对运动为自由振动，其固有频率为mk22202mk第46页/共52页第四十七页，共52页。计算结果分析(fnx)与讨论22()0kxxm牵连惯性力大于弹簧的弹性恢复力，物块不能在x0处附近作自由振动，物块在x0处的平衡是不稳定的。mk22mk22牵连惯性力等于弹簧的弹性恢复力，物块在x0处为随遇的平衡位置。第47页/共52页第四十八页，共52页。如图所示单摆，摆长l，小球质量为m，其悬挂点O以加速度 向上运动。0a例题(lt)求此单摆(

20、dn bi)做微振动的周期。Om0a第48页/共52页第四十九页，共52页。geFOm0a解： 在悬挂(xungu)点O上固接以平动参考系Oxy，小球相对此动系相当于悬挂点固定的单摆(dn bi)振动。因为(yn wi)平动：0 gcFxy建立动力学基本方程：gerFPFma PF第49页/共52页第五十页，共52页。向切向方向(fngxing)投影：22()singed smPFdt 0()sinm ga 又 很小ls 上式可改写(gixi)为：)(022agmdtdm 令02ngal0222 ndtd)sin( nAaglT 2geFOm0axyPF第50页/共52页第五十一页，共52页。第51页/共52页第五十二页，共52页。