高中数学人教A必修1第二章2.1.2指数函数及其性质

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1、2.1.2指数函数及其性质1指数函数的概念(1)定义：一般地，函数yax(a0，且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R(2)指数函数的特征：特征例如函数y34x和yx4均不符合指数函数的特征，故不是指数函数其中函数ykax(kR，且k0，a0，且a1)称为指数型函数释疑点 指数函数的概念中为什么要规定a0，且a1?(1)若a0，则当x0时，ax0；当x0时，ax无意义(2)若a0，则对于x的某些数值，可使ax无意义如(2)x，这时对于x，x，在实数范围内函数值不存在(3)若a1，则对于任何xR，ax1，是一个常量，没有研究的必要性为了避免上述各种情况，所以规定a0，且a1在规定

2、以后，对于任何xR，ax都有意义，且ax0【例11】函数y(a2)2ax是指数函数，则()Aa1或a3Ba1Ca3Da0且a1解析：由指数函数定义知所以解得a3答案：C【例12】下列函数中是指数函数的是_(填序号)y2()x；y2x1；y；yxx；y；y解析：序号是否理由否()x的系数不是1否2x1的指数不是自变量x是满足指数函数的概念否底数是x，不是常数否指数不是自变量x来源:否底数不是常数且指数不是自变量x答案：2指数函数的图象与性质(1)指数函数的图象与性质对应关系如下：图象特征函数yax(a0，且a1)的性质图象都位于x轴上方自变量x取任何实数时，都有ax0函数图象都过定点(0,1)无

3、论底数a取任何正数，都有a01当a1时，图象在第一象限内纵坐标都大于1；在第二象限内纵坐标都大于0小于1而当0a1时图象正好相反a1时，当0a1时，自左向右看，a1时图象呈上升趋势；当0a1时，图象呈下降趋势当a1时，yax是增函数；当0a1时，yax是减函数(2)指数函数yax(a0，且a1)的图象和性质a10a1图象性来源:来源:来源:质来源:定义域R，值域(0，)图象都过点(0,1)当x0时，y1；当x0时，0y1当x0时，0y1；当x0时，y1在R上是增函数在R上是减函数对称性指数函数yax和yx(a0，且a1)的图象关于y轴对称点技巧 指数函数性质记忆口诀指数增减要看清，抓住底数不放

4、松；反正底数大于0，不等于1已表明；底数若是大于1，图象从下往上增；底数0到1之间，图象从上往下减；无论函数增和减，图象都过(0,1)点【例21】函数y(1)x在R上是()A增函数 B奇函数C偶函数 D减函数解析：由于011，所以函数y(1)x在R上是减函数因为f(1)(1)1，f(1)1，则f(1)f(1)，且f(1)f(1)，所以函数y(1)x不具有奇偶性答案：D【例22】如图是指数函数yax，ybx，ycx，ydx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是()Aab1cdBba1dcC1abcdDab1dc解析：(方法一)在中底数小于1且大于零，在y轴右边，底数越小，图象越靠近x轴，故有b

5、a在中底数大于1，底数越大，图象越靠近y轴，故有dc故选B(方法二)设x1与的图象分别交于点A，B，C，D，如图，则其坐标依次为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，由图象观察可得cd1ab故选B答案：B析规律 底数的变化对函数图象的影响当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y轴，当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向下越靠近于x轴，简称x0时，底大图象高3指数型函数模型(1)指数增长模型设原有值为N，平均增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y，则yN(1p)x(xN)(2)指数减少模型设原有值为N，平均减少率为p，则经过x次减少，该量减少到y，

6、则yN(1p)x(xN)(3)指数型函数形如ykax(kR，且k0；a0，且a1)的函数称为指数型函数【例3】某乡镇现在人均一年占有粮食360 kg，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y kg粮食，求y关于x的函数解析式分析：在此增长模型中，基数是360，人口的平均增长率为1.2%，粮食总产量的平均增长率为4%，由此可列出1,2,3，年后的人均一年占有量，观察得到所求的函数解析式解：设该乡镇现在人口数量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M kg1年后，该乡镇粮食总产量为360M(14%) kg，人口数量为M(11.2%)，则人均一年

7、占有粮食为kg，2年后，人均一年占有粮食为kg，x年后，人均一年占有粮食为ykg，即所求函数解析式为(xN*)点技巧 指数增长模型的计算公式在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后的总量y可以用yN(1p)x来表示这是非常有用的函数模型4利用待定系数法求指数函数的解析式已知函数模型求函数的解析式，一般采用待定系数法，即设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的未知参数，从而得出函数的解析式在指数函数的概念中，只有形如yax(a0，且a1)的函数才是指数函数，除此之外的函数都不是指数函数，所以设指数函数的解析式时，只能设成yax(a0，且a1)

8、的形式，而不是其他形式同时，指数函数的解析式中只含有一个常数a，由此只需一个条件就可确定指数函数的解析式例如：若指数函数f(x)的图象经过点(2,9)，求f(x)解：设f(x)ax(a0，且a1)，因为函数f(x)的图象经过点(2,9)，代入可得a29，解得a3或a3(舍去)故f(x)3x【例41】指数函数yf(x)的图象经过点(，e)，则f()_解析：设f(x)ax(a0，且a1)，yf(x)的图象过点(，e)，aeaf(x)()xf()()e1答案：【例42】已知指数函数f(x)的图象经过点，试求f(1)和f(3)分析：设出函数f(x)的解析式，利用待定系数法求出解：设f(x)ax(a0，

9、且a1)，函数f(x)的图象经过点，a2，解得a4又a0，则a4，f(x)4xf(1)41，f(3)4364点技巧 关于a的方程amn的解法方法一：可以先把n化为以m为指数的指数幂的形式nkm，即amkm，则可得ak方法二：由amn得到，即，再利用指数幂的运算性质化简5与指数函数有关的定义域、值域问题指数函数常与一次函数、反比例函数、二次函数结合构成指数型复合函数与指数函数有关的复合函数的定义域和值域的求法如下：(1)求定义域的方法函数yaf(x)(a0，且a1)的定义域与函数yf(x)的定义域相同函数yf(ax)的定义域与函数yf(x)的定义域不一定相同例如，函数f(x)的定义域为0，)，而

10、函数f(x)的定义域则为R求函数yf(ax)的定义域时，可由函数f(x)的定义域与g(x)ax的等价性，建立关于x的不等式，利用指数函数的相关性质求解(2)求值域的方法求函数yaf(x)(a0，且a1)的值域时，先求函数yf(x)的值域，再根据指数函数的单调性确定函数yaf(x)的值域求函数yf(ax)的值域时，可用换元法求解，但换元后应注意引入的新变量的取值范围【例51】求下列函数的定义域和值域：(1)；(2)解：(1)由12x0可得2x1，x0函数的定义域为x(，0由02x1可得12x0，012x1函数的值域为y0,1)(2)定义域为Rx22x3(x1)244，16又0，函数的值域为(0,

11、16【例52】求下列函数的值域：(1)；(2)解：(1)0，1函数y的值域为y|y0，且y1(2)，2x0，2x1101，20111故函数的值域为y|1y16指数函数的图象及定点问题(1)与指数函数有关的函数图象过定点的问题指数函数yax(a0，且a1)过定点(0,1)，即对任意的a0，且a1，都有a01这是解决与指数函数有关的函数图象恒过定点问题的关键一般地，对于函数ykaf(x)b(k0)，可令f(x)0，解方程得xm，则该函数的图象恒过定点(m，kb)方程f(x)0解的个数就是该函数的图象恒过定点的个数(2)指数函数的图象变换的问题根据函数图象的变换规律，有以下结论：函数yaxb(a0，

12、且a1)的图象，可由指数函数yax(a0，且a1)的图象向左(b0)或向右(b0)平移|b|个单位长度而得到；函数yaxb的图象，可由指数函数yax(a0，且a1)的图象向上(b0)或向下(b0)平移|b|个单位长度而得到；函数yax的图象与函数yax的图象关于y轴对称；函数yax的图象与函数yax的图象关于x轴对称；函数yax的图象与函数yax的图象关于原点轴对称；函数ya|x|的图象，关于y轴对称，当x0时，其图象与指数函数yax(a0，且a1)图象相同；当x0时，其图象与x0时的图象关于y轴对称【例61】若函数f(x)2ax13(a0，且a1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是_解析：令x

13、10，解得x1，所以f(1)5所以函数f(x)2ax13的图象恒过定点(1,5)答案：(1,5)【例62】(1)为了得到函数y3的图象，可以把函数y的图象()A向左平移3个单位长度B向右平移3个单位长度C向左平移1个单位长度 D向右平移1个单位长度(2)若函数yaxb1(a0，且a1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有()A0a1，且b0 Ba1，且b0C0a1，且b0 Da1，且b0(3)方程2|x|x2的实根的个数为_解析：(1)本题考查函数图象的平移y3，则只需把函数y的图象向右平移1个单位长度故选D(2)本题考查函数图象的性质函数yaxb1(a0，且a1)的图象是由函数yax的图象经

14、过向上或向下平移而得到的，因其图象不经过第一象限，所以a(0,1)若经过第二、三、四象限，则需将函数yax(0a1)的图象向下平移至少大于1个单位长度，即b11b0故选C(3)由2|x|x2，得2|x|2x在同一坐标系中作出函数y2|x|与y2x的图象(如图)，可观察到两个函数图象有且仅有2个交点，故方程有2个实数根，应填2答案：(1)D(2)C(3)27幂的大小比较问题两个指数幂的大小的比较有以下几种情况：(1)底数相同，指数不同比较同底数(是具体的数值)幂大小，构造指数函数，利用指数函数的单调性比较大小要注意：明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；明确指数函数的底数与1的大小关系；最

15、后根据指数函数的单调性判断大小当底数中含有字母时要注意分底数大于0小于1和底数大于1两种情况讨论(2)底数不同，指数相同若幂式的底数不同而指数相同时，可以利用指数函数的图象解决在同一平面直角坐标系内画出各个函数的图象，依据指数函数的图象随底数的变化规律，观察指数所取值对应的函数值即可(3)底数不同，指数也不同幂式的底数不同且指数也不同时，则需要引入中间量这个中间量可以是1，其中一个大于1，另一个小于1；也可以是一个幂式，这个幂式可以以其中一个的底为底，以另一个的指数为指数，比如ac与bd，可以取ad为中介，前者比较用单调性，后者用图象【例71】比较下列各题中两个值的大小：(1)，；(2)，；(

16、3)0.70.8,0.80.7分析：(1)中两个指数式的底数同、指数不同，可直接应用指数函数的单调性判断；(2)中两个指数式的底数不同、指数同，可构造函数，根据函数的图象观察；(3)中两个指数式的底数、指数均不同，因而要引入中间数进行比较，并结合函数的图象观察解：(1)因为01，所以函数y在定义域内单调递减又1.82.5，所以(2)作出指数函数与的图象，如图所示当x0.5时，由图象观察可得(3)因为00.70.81，所以指数函数y0.7x与y0.8x在定义域R上是减函数，且在区间(0，)上函数y0.7x的图象在函数y0.8x的图象的下方，所以0.70.70.80.7根据指数函数的性质可得0.7

17、0.80.70.7，所以0.70.80.80.7【例72】试比较a1.3与a2.5(a0，且a1)的大小解：(1)a1时，yax为R上的增函数，故有a1.3a2.5；(2)当0a1时，yax为R上的减函数，故有a1.3a2.5因此，当a1时，a2.5a1.3；当0a1时，a2.5a1.38指数方程、指数不等式的求解问题根据指数函数的单调性，当a0，且a1时，有：af(x)ag(x)f(x)g(x)；当a1时，af(x)ag(x)f(x)g(x)；当0a1时，af(x)ag(x)f(x)g(x)注意：利用指数函数的单调性是解题的关键，根据所给的已知信息，构造合适的指数函数，为了便于解题，通常要尽

18、可能地将含指数幂的式子进行统一底数例如，(1)已知3x30.5，求实数x的取值范围；(2)已知0.2x25，求实数x的取值范围解：(1)因为31，所以指数函数f(x)3x在R上是增函数由3x30.5，可得x0.5，即x的取值范围为0.5，)(2)因为00.21，所以指数函数f(x)0.2x在R上是减函数因为250.22，所以0.2x0.22由此可得x2，即x的取值范围为(2，)【例81】设232x0.53x4，则x的取值范围是_解析：原不等式可变形为232x243x，函数y2x为R上的增函数，原不等式等价于32x43x，解得x1答案：(，1)【例82】设y1a3x1，y2a2x，其中a0，且a

19、1，试确定x为何值时，有：(1)y1y2；(2)y1y2分析：指数函数的单调性取决于底数a，当底数a不确定时，要注意分情况讨论解：(1)由a3x1a2x，得3x12x解得，所以当时，y1y2(2)当a1时，yax(a0，且a1)为增函数由a3x1a2x，得3x12x，解得x当0a1时，yax(a0，且a1)为减函数，由a3x1a2x，得3x12x，解得x所以，若a1，则当x时，y1y2；若0a1，则当x时，y1y2点技巧 指数不等式的求解技巧(1)形如af(x)ag(x)的不等式，借助于函数yax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0a1两种情况讨论；(2)形如af(x)b的不等式，注

20、意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数yax的单调性求解9指数函数与二次函数的综合问题指数函数与二次函数的综合问题是常见题型，这类问题的处理方法是利用换元法令tax，然后利用定义域和指数函数yax的单调性求出t的范围，这就转化为纯粹的二次函数问题了例如：求函数y32x5，x0,2的值域解：y32x5(2x)232x5，令t2x，x0,2，1t4yt23t5(t3)2当t3时，函数y取得最小值，当t1时，函数y取得最大值，即函数的值域是【例9】如果函数ya2x2ax1(a0，且a1)在区间1,1上有最大值14，试求a的值解：设tax，则t0，原函数可化为y(t1)22，其图象的对称轴

21、为t1(1)若a1，x1,1，t，则函数y(t1)22在区间上单调递增，当ta时，函数y取得最大值(a1)22，即(a1)2214，解得a3或a5(舍去)(1)若0a1，x1,1，t，则函数y(t1)22在区间上单调递增，当时，函数y取得最大值，即214，解得或(舍去)综上可知，a的值为3或辨误区 换元时易出现的错误指数函数yax(a0，且a1)的值域是(0，)，利用换元法解题时，要注意新元的取值范围，即换元要换限，否则极易出错10与指数函数有关的函数的奇偶性综合问题判断与指数函数有关的函数的奇偶性步骤是：(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义

22、域关于原点对称时，判断f(x)与f(x)或f(x)是否相等；(2)当f(x)f(x)时，此函数是偶函数；当f(x)f(x)时，此函数是奇函数；(3)当f(x)f(x)且f(x)f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数；(4)当f(x)f(x)且f(x)f(x)时，此函数既不是奇函数也不是偶函数【例10】已知函数(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的奇偶性分析：(1)根据求函数定义域的方法求解；(2)利用函数奇偶性的定义来判断解：(1)由2x10，得2x1，即x0，因此函数f(x)的定义域为(，0)(0，)(2)由(1)知，函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于坐标原点对称，又f(x

23、)f(x)，所以f(x)为奇函数11与指数函数有关的函数的单调性问题(1)指数函数的单调性与底数的大小有关系，因此讨论指数函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小与指数函数有关的函数的单调性往往也与底数有关系，其解决手段就是利用指数函数单调性判断或证明函数的单调性，其步骤是：(在第一章已经学习)在所给的区间上任取两个自变量x1和x2，通常令x1x2；比较f(x1)和f(x2)的大小，通常是用作差比较法比较大小，此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号常见的变形手段是：通分、分解因式、配方、有理化等，常见的变形结果有：常数、一个完全平方加上一个常数、因式的积或商等掌握比较法要做适当的练习，还要

24、注意经验的积累；归纳结论(2)对于形如yaf(x)(a0，且a1)型的函数的单调性，通常要依据底数a的取值进行分类讨论：当a1时，函数yaf(x)的单调性与函数yf(x)的单调性相同当0a1时，函数yaf(x)的单调性与函数yf(x)的单调性相反_【例111】设a是实数，f(x)a(xR)，试证明对于任意a，f(x)为增函数证明：设x1，x2R，且x1x2，则f(x1)f(x2)由于指数函数y2x在R上是增函数，且x1x2，所以2x12x2，即2x12x20又由2x0得2x110,2x210所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)所以对于任意实数a，f(x)为增函数【例112】已知a0，且a1，讨论的单调性分析：本题考查与指数函数有关的复合函数的单调性问题指数x23x2，当x时是减函数，当x时是增函数，而f(x)的单调性又与a的两种范围有关，应分类讨论解：设ux23x2，则当x时，u是减函数，当x时，u是增函数又当a1时，yau是增函数，当0a1时，yau是减函数，因此当a1时，原函数在上是减函数，在上是增函数；当0a1时，原函数在上是增函数，在上是减函数析规律 复合函数的单调性一般情况下，两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数；如果两个函数是一增一减，则其复合函数是减函数但一定要注意考虑复合函数的定义域