随机变量的重要分布PPT课件

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1、 二项分布是 Bernoulli 研究重复独立试验所引出的一个很重要的分布。 很显然，当n=1时，参数为p的二项分布便是参数为p的零-壹分布。 数字特征E(X)=np，D(X)=np(1-p)。 ,)1 ()!( !xnxppxnxnxXPX的分布律为式中的 0p2.99时，F 0,1 (x)1；当- x 0时，F 0,1 (- x)=1- F 0,1 (x)。 2,) 1 , 0( NYX当XN ( ) 时，第6页/共26页2,当XN ( 0,1 ) 时，数字特征;)(,)(2XDXE1)(,0)(XDXE计算如下：;0)()(2221dxexdxxpxXExdxexdxxpxXEx2222

2、122)()(, 10)(22212221dxeedxxx101)()()(222EXXEXD当XN ( ) 时，数字特征第7页/共26页1）背景：当某一随机变量取值的概率受到很多作用都比较微小的、独立的随机因素的影响时，它的分布或者是正态分布或者与正态分布相接近。2）中心极限定理: 当随机变量X1、X2、 独立同分布，数学期望为有限数E(X)，方差为非零有限数D(X)， E( ) =nE(X)，D( ) =nD(X)，且 时， N (nE(X)，nD(X)，标准化随机变量 N (0，1)。 iiXiiXn)()(XnDXnEXiiiiX与正态分布有关的结论:第8页/共26页3）中心极限定理:

3、 当随机变量X1、X2、 独立同分布，数学期望为有限数E(X)，方差为非零有限数D(X)， E( ) =E(X)，D( ) = D(X)，且 时， N (E(X)， D(X)，标准化随机变量 N (0，1)。 iiXn1n)(1)(1XDnXEXnii与正态分布有关的结论:iiXn1iiXn1n1n1第9页/共26页推论: 当随机变量X1、X2、 相互独立且都服从B(1, p)分布，p 和1-p 都不太接近于0 ，E(X i )=p , D(X i )= p(1-p ), E( ) = p，D( ) = p(1-p )，且时， N ( p， p(1-p ) )，标准化随机变量 N (0，1)。

4、 iiXn1n)1(11ppnpXnii与正态分布有关的结论:iiXn1iiXn1n1n1第10页/共26页1)二维零-壹分布：当二维离散型随机变量(X1,X2)取值 (0,0) , (1,0) 和 (0,1) 且0p11，0p21时，若(X1,X2)的分布律为 (X1,X2) P (0,0) 1-(p1+p2) (1,0) p1 (0,1) p2则称(X1,X2)服从参数为p1和p2的零-壹分布，记作 (X1,X2)B(1, p1 , p2)。 3. 二维离散型随机变量的重要分布第11页/共26页2）三项分布：当二维离散型随机变量(X1,X2)=(k1,k2) , k1和k2为非负整数且k1

5、+k2n，0p11，0p21时，若(X1,X2)的分布律为P(X1,X2)= (k1,k2)= ，式中的 = = ，则称(X1,X2)服从参数为p1和p2的三项分布，记作 (X1,X2)B(n, p1 , p2)。可以推出结论： )!( !2121kknkkn)21()21(1 2211kknppkpkp)!( !2121kknkkn211kknCknC第12页/共26页可以推出结论： B (1 , p1 , p2)与B (n , p1 , p2): 当随机变量(X11,X12)、(X21,X22)、(Xn1,Xn2)相互独立且都服从B (1 , p1 , p2)时， (X11,X12)+(X

6、21,X22)+(Xn1,Xn2)B (n , p1 , p2)。 可加性: 当随机变量(Y1,Y2)与(Z1,Z2)相互独立且依次服从B (m ,p1 , p2)及B (n , p1 , p2)时， (Y1,Y2)+(Z1,Z2) B (m+n , p1 , p2)。 4. 多维离散型随机变量的重要分布1）多维零-壹分布：当多维离散型随机变量 (X1, X2, , Xm) 取值第13页/共26页 (0,0, ,0), (1,0, ,0), (0,1, ,0), , (0,0, ,1) 且0p11，0p21，0pm1 时， 若(X1, X2, , Xm)的分布律为 (X1,X2,Xm) P (

7、0,0, ,0) 1-(p1+p2+ pm) (1,0, ,0) p1 (0,1, ,0) p2 (0,0, ,1) pm 则称 (X1,X2,Xm) 服从参数为p1、p2、pm的 零-壹分布，记作(X1, X2, , Xm)B(1, p1 , p2,pm)。 第14页/共26页当n个m维离散型随机变量( )相互独立且都服从B(1, p1 , p2,pm)时，称 服从参数为p1、p2、pm的多项分布，记作 B(n, p1 , p2 , , pm)。 miiiXXX,21imiiiXXX),(21imiiiXXX),(21 因为n个m维离散型随机变量( )相互独立且都服从B(1, p1 , p2

8、,pm)时，其中有 k 1个取(1,0, ,0)，k 2个取(0,1,0)，Km个取 (0,0, ,1)，n-( k 1+ k 2+ k m)个取(0,0, ,0)的组合数为 , miiiXXX,21mkmkkknCkknCknC)121(2112） 多项分布：第15页/共26页 = 式中的k1, k2, , km为非负整数且k 1+ k 2+ k mn。imiiiXXX),(21imiiiXXX),(21,)21()21(1 2211mmkkknpppkpkpmkmkkknCkknCknC)121(211所以， 的分布律为P =( k 1, k 2, k m) ,)!(!2121mkkknk

9、knmkmkkknCkknCknC)121(211第16页/共26页 正态分布：当二维连续型随机变量(X,Y)的分布密度 p(x , y) = 221121 ,2)1(21exp22222112112 yyxx 时，称(X,Y)服从参数为 、 、 、 及 的正态分布，记作 (X,Y)N( ) 。 ,0,121 ,11,02 yx,1 2 21 ,2221215. 二维连续型随机变量的重要分布第17页/共26页COV(X,Y)= CORR (X,Y)= X的分布密度 p1( x)= ， Y的分布密度 p2( y)= 。 这说明二维正态分布 并不是两个一维正态分布的简单的合二而一。 ,222121

10、,22212121 可以推出结论： 若(X,Y)N( )，则11 ,21 cov (X,Y)= ， (X,Y)=211121exp21 x222221exp21 y第18页/共26页6. 多维连续型随机变量的重要分布正态分布：当多维连续型随机变量X=(X1,X2,Xm) 的分布密度p(x)=)(1)(21exp)2(212 xxm时，称X服从m维的正态分布),( mN2121 22221121exp yx X与Y相互独立的充要条件是第五个参数 =0，这时(X,Y)的分布密度 p(x , y) = = p1( x) p2( y)第19页/共26页)(1)(21exp)2()(212 xxxpm)

11、,(,),(,),(21,21,21mmmXXXCOVxxxx 式中的exp)(22121 xxp221121),( yxp222221121122)1(21exp yyxx第20页/共26页)(1)(21exp)2()(212 xxxpm,),(,),(,21,21 xxx式中的,22212121时 ),(21XXCOV,)1(1,21)2( , 222221212 mm2222222111211122)1(1 xxxx)(1)( xx第21页/共26页22121121),(,2 xxpm时2222222111211122)1 (21exp xxxx)(1)(21exp)2()(212 xx

12、xpm还可以证明：若 (X1, X2, , Xm) 服从正态分布，则 每一个X i ( i=1至m)都服从一维正态分布； 任意k个( k=1至m-1)所组成的k维随机变量 (X1, X2, , Xk) 都服从k 维正态分布。 第22页/共26页当随机变量X1、X2、Xn相互独立，其分布函数依次为F1(x1)、F2(x2)、Fn(xn)时，Y= 的分布函数iXni 1max；iinyFyFyFyFyF)()()()()(21maxZ= 的分布函数iXni 1min)(1 )(1)(1 1)(21minzFzFzFzFn 论述如下：根据题意 ， =PYy =PX1y,X2y,Xny =PX1y P

13、X2yPXny )(maxyF7. max分布与min分布iizF)(1 1第23页/共26页 论述如下：根据题意 ， =PYy =PX1y,X2y,Xny =PX1y PX2yPXny )(maxyF；iinyFyFyFyF)()()()(21)(minzF =PZz=1-PZz =1- P X1z , X2z , , Xnz=1- P X1z P X2zPXnz=1-1- P X1z 1- P X2z1- PXnz = 1- 1-F1(z) 1-F2(z) 1-Fn(z) iizF)(1 1第24页/共26页特殊地，当随机变量X1、X2、Xn相互独立，)(maxyF)(minzF其分布函数同为F ( )时， = F ( y)n, = 1- 1-F (z) n。；iinyFyFyFyFyF)()()()()(21max)(1 )(1)(1 1)(21minzFzFzFzFniizF)(1 1因此，求 与 的关键是：由分布密度求分布函数。)(maxyF)(minzF第25页/共26页感谢您的观看！第26页/共26页