华师大版九年级（下）第27章《圆》导学案（全章）

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1、圆导学案 教材p34-35 课题： 圆的基本元素教师寄语：好习惯是成功的开始学习目标： 1.使学生理解圆、等圆、等弧、圆心角等概念， 2.让学生深刻认识圆中的基本概念。自主学习 合作探究 （一）情境导入：圆是如何形成的？请同学们画一个圆，并从画圆的过程中阐述圆是如何形成的。如右图，线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形。 同学们想一想，如何在操场上画出一个很大的圆？说说你的方法。 由以上的画圆和解答问题的过程中，让同学们思考圆的位置是由什么决定的？ 而大小又是由谁决定的？（圆的位置由圆心决定，圆的大小由半径长度决定） (二)问题： 据统计，某个学校的同学上学方

2、式是，有的同学步行上学，有的同学坐公共汽车上学，其他方式上学的同学有，请你用扇形统计图反映这个学校学生的上学方式。 我们是用圆规画出一个圆，再将圆划分成一个个扇形，右上图28.1.1就是反映学校学生上学方式的扇子形统计图。 如图28.1.2,线段OA、OB、OC都是圆的半径，线段AB为直径，.这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为“O”。 线段AB、BC、AC都是圆O中的弦，曲线BC、BAC都是圆中的弧，分别记为BC()、BAC()，其中像弧BC()这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像弧BAC().这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。AOB、AOC、BOC就是圆心角。能够重合（或半径相等）的两个圆是等

3、圆。如图线段 AB是O中任意一条弦，过点O作线段 AB的垂线段OC，则OC叫做弦心距（即圆心到弦的距离）， 并且弦心距OC平分弦AB，即AC=BC=.交流展示巩固训练： 1、直径是弦吗？弦是直径吗？ 2、半圆是弧吗？弧是半圆吗？ 3、半径相等的两个圆是等圆，而两段弧相等需要什么条件呢？ 4、比较右图中的三条弧，先估计它们所在圆的半径的大小关系，再用圆规 验证你的结论是否正确。 5、说出右图中的圆心角、优弧、劣弧。 拓展提升 6、直径是圆中最长的弦吗？为什么？中考链接 小明家新买来一张饭桌，但没有注明尺寸，姐姐说是直径1米；哥哥说是直径1.2米的大家众说不一，请你设计一个方案，帮助小明动手实际测

4、量一下，给大家一个答案。 分析：这道题主要是测量圆的直径。 解：拿来米尺，把一端放在桌子的边缘上，米尺的另一端沿着桌子的边缘移动，当米尺的两端距离 时，这个距离就是桌子的 。点评：这道题主要利用“ 是圆中最长的弦”这一结论。 教材P35-38 课题： 圆的对称性教师寄语：好习惯是成功的开始学习目标： 了解圆的对称性，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题自主学习 （学生活动）请同学们回答下面两个问题 1圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 2你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流 （老师点评）1圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，我能找到无数

5、多条直径 2我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的 因此，我们可以得到：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线 （学生活动）请同学按下面要求完成下题：如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使CDAB，垂足为M （1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由 （老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD （2）AM=BM，即直径CD平分弦AB，并且平分及 这样，我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 下面我们用逻辑思维给它证明一下： 已知：直径CD、弦AB且CDAB垂足为M 求证：AM=B

6、M，. 证明：如图，连结OA、OB，则OA=OB在RtOAM和RtOBM中 RtOAMRtOBM AM=BM 点A和点B关于CD对称 O关于直径CD对称 当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合 ， 进一步，我们还可以得到结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦合作探究 交流展示证明上面的结论，并且分组展示。巩固训练有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由教材 P38-42 课题： 圆周角教师寄语

7、：好习惯是成功的开始学习目标： 了解圆周角的定义，掌握圆周角的有关性质。自主学习 合作探究一、 阅读课本38页学习如下图所示（2）中的两条线段所成的角叫圆周角.(1)、（3）、（4）中两条线段所成的角都 圆周角. （“是”或“不是”）思考一 如图，线段AB是O的直径，点C是O上任意一点（除点A、B），那么，ACB就是直径AB所对的圆周角.想想看，ACB等于多少度？我们可以看到，OA，OB，OC都是半径, OA ，AOC、BOC都是 三角形， 1 ，4 1 +4 = + 又14ACB180，ACB .因此，不管点C在O上何处（除点A、B），ACB都等于90，即 半圆或直径所对的圆周角都相等，都等

8、于90（直角）反之， 90的圆周角所对的弦是圆的直径思考二 那么对于一般的圆周角，又有什么规律呢？如图23.1.10，ACB、 ADB都是弧AB所对的圆周角AOB是弧AB所对的圆心角ACB、 ADB、AOB有什么关系？试一试（1） 用量角器分别量一量图中弧AB所对的两个圆周角的度数，你发现： ACB = ADB= ACB ADB再变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化. 你发现: ACB ADB（2） 分别量出图23.1.10中弧AB所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你发现: AOB= ACB =ADB= AOB 我们发现：同弧所对的圆周角的度数相等. 并且圆周角的度数恰好为同

9、弧所对的圆心角的度数的一半.由上述操作可以猜想：在一个圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半为了验证猜想，如图将圆对折，使折痕经过圆心O和圆周角的顶点C，这时出现三种情况：（1） 折痕是圆周角的一条边，（2） 折痕在圆周角的内部，（3） 折痕在圆周角的外部交流展示证明上面的结论，并且分组展示。小结：在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半； 相等的圆周角所对的弧相等巩固训练 拓展提升（A）1、判断题 （1）直径所对的圆周角是直角。 （ ） （2）90的圆周角所对的弦是直径。 （ ） （3）相等的圆周角所对的弧相等。 （ ） （4）同弧或等

10、弧所对的圆周角相等。 （ ） （5）等弦所对的圆周角相等。 （ ）2、在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为（2x100）和（5x30），则这条弧所对的圆心角和圆周角的度数分别为 。3、如图，A是O的圆周角，A40，则OBC= .4、试找出图中所有相等的圆周角（B组）5. 如图，AB、AC、BC都是O的弦，CABCBA，COB与COA相等吗？为什么？6.如图，O的直径AB垂直于弦CD，AB、CD相交于点E，COD100，求COE、DOE的度数.7.如图，AB是O的直径，AC、CD、DE、EF、FB都是O的弦，且ACCDDEEFFB，求AOC与COF的度数. 教材P38-43 课题： 圆周角教

11、师寄语：好习惯是成功的开始学习目标： 能熟练地运用圆周角定理和推论进行有关的计算和证明。自主学习温故知新1、已知： 则 2、若的度数是70，则 3、如图：若的度数是60，则 ， 理由是： 4、如图，找出四边形ABCD的对角线把4个内角分成的8个角中，哪些是相等的角。合作探究 1、已知：在O中，直径AB垂直于弦CD,垂足是E,求证：（1） （2）AC 2、 如图，在O中，直径AB与弦CD相交于点O, =92, =46 (1)求BPO的度数 （2）求证：OCBP=OPBD 交流展示巩固训练（A 组）已知：AB是O的直径，点D在弦AC上，DE垂直于AB与E,求证： (B组)在BAC的平分线交BC于D

12、, 交的外接圆于E, ABC的平分线交AD于F, 求证： (1) ACD (2) BDE教材P43-45 课题： 点与圆的位置关系教师寄语：好习惯是成功的开始学习目标： 1理解并掌握设O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外dr；点P在圆上d=r；点P在圆内dr点P在圆外；如果d=r点P在圆上；如果dr 点P在圆上d=r点P在圆内dr 因此，我们可以得到： 这个结论的出现，对于我们今后解题、判定点P是否在圆外、圆上、圆内提供了依据 下面，我们接下去研究确定圆的条件： （学生活动）经过一点可以作无数条直线，经过二点只能作一条直线，那么，经过一点能作几个圆？经过二点、三点呢？请同学

13、们按下面要求作圆 （1）作圆，使该圆经过已知点A，你能作出几个这样的圆？ （2）作圆，使该圆经过已知点A、B，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？ （3）作圆，使该圆经过已知点A、B、C三点（其中A、B、C三点不在同一直线上），你是如何做的？你能作出几个这样的圆？ 老师在黑板上演示：（1）无数多个圆，如图1所示 （2）连结A、B，作AB的垂直平分线，则垂直平分线上的点到A、B的距离都相等，都满足条件，作出无数个其圆心分布在AB的中垂线上，与线段AB互相垂直，如图2所示 (1) (2) (3) （3）作法：连接AB、BC； 分别作线段AB、B

14、C的中垂线DE和FG，DE与FG相交于点O；以O为圆心，以OA为半径作圆，O就是所要求作的圆，如图3所示在上面的作图过程中，因为直线DE与FG只有一个交点O，并且点O到A、B、C三个点的距离相等（中垂线上的任一点到两边的距离相等），所以经过A、B、C三点可以作一个圆，并且只能作一个圆 即：不在同一直线上的三个点确定一个圆 也就是，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆 外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心 下面我们来证明：经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆 证明：如图，假设过同一直线L上的A、B、C三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点

15、P既在线段AB的垂直平分线L1，又在线段BC的垂直平分线L2，即点P为L1与L2点，而L1L，L2L，这与我们以前所学的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾所以，过同一直线上的三点不能作圆 上面的证明方法与我们前面所学的证明方法思路不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立（即假设过同一直线上的三点可以作一个圆），由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到命题成立这种证明方法叫做反证法在某些情景下，反证法是很有效的证明方法巩固训练 交流展示 某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心拓展提升如图

16、，已知梯形ABCD中，ABCD，AD=BC，AB=48cm，CD=30cm，高27cm，求作一个圆经过A、B、C、D四点，写出作法并求出这圆的半径（比例尺1：10） 教材P46-47 课题： 直线与圆的位置关系教师寄语：好习惯是成功的开始学习目标：（1）了解直线和圆的位置关系的有关概念 （2）理解设O的半径为r，直线L到圆心O的距离为d，则有：直线L和O相交dr （3）理解切线的判定定理：理解切线的性质定理并熟练掌握以上内容解决一些实际问题自主学习 合作探究 前面我们讲了点和圆有这样的位置关系，如果这个点P改为直线L呢？它是否和圆还有这三种的关系呢？ （学生活动）固定一个圆，把三角尺的边缘运动

17、，如果把这个边缘看成一条直线，那么这条直线和圆有几种位置关系？（老师口答，学生口答）直线和圆有三种位置关系：相交、相切和相离（老师板书）如图所示： 如图（a），直线L和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线 如图（b），直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点 如图（c），直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离 我们知道，点到直线L的距离是这点向直线作垂线，这点到垂足D的距离，按照这个定义，作出圆心O到L的距离的三种情况？ （学生分组活动）：设O的半径为r，圆心到直线L的距离为d，请模仿点和圆的位置关系，总结出什

18、么结论？ 老师点评： 因为d=r直线L和O相切，这里的d是圆心O到直线L的距离，即垂直，并由d=r就可得到L经过半径r的外端，即半径OA的A点，因此，很明显的，我们可以得到切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 （学生分组讨论）：根据上面的判定定理，如果你要证明一条直线是O的切线，你应该如何证明？ （老师）：应分为两步：（1）说明这个点是圆上的点，（2）过这点的半径垂直于直线交流展示 如图，已知RtABC的斜边AB=8cm，AC=4cm （1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与C相切？为什么？（2）以点C为圆心，分别以2cm和4cm为半径作两个圆，这两个圆

19、与直线AB分别有怎样的位置关系？ 反之，如果知道这条直线是切线呢？有什么性质定理呢？实际上，如图，CD是切线，A是切点，连结AO与O于B，那么AB是对称轴，所以沿AB对折图形时，AC与AD重合，因此，BAC=BAD=90 因此，我们有切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径巩固拓展 如图，AB为O的直径，C是O上一点，D在AB的延长线上，且DCB=A 教材P47-51 课题： 直线与圆的位置关系教师寄语：好习惯是成功的开始学习目标： 了解切线长的概念 理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用自主学习 合作探究 复习引入 1已知ABC，作三个内角平分线，说说它

20、具有什么性质？ 2点和圆有几种位置关系？你能说说在这一节中应掌握几个方面的知识？ 3直线和圆有什么位置关系？切线的判定定理和性质定理，它们如何？ 探索新知 从上面的复习，我们可以知道，过O上任一点A都可以作一条切线，并且只有一条，根据下面提出的问题操作思考并解决这个问题 问题：在你手中的纸上画出O，并画出过A点的唯一切线PA，连结PO，沿着直线PO将纸对折，设圆上与点A重合的点为B，这时，OB是O的一条半径吗？PB是O的切线吗？利用图形的轴对称性，说明圆中的PA与PB，APO与BPO有什么关系？ 学生分组讨论，老师抽取34位同学回答这个问题 我们把PA或PB的长，即经过圆外一点作圆的切线，这点

21、和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长 从上面的操作几何我们可以得到：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角我们刚才已经复习，三角形的三条角平分线于一点，并且这个点到三条边的距离相等（同刚才画的图）设交点为I，那么I到AB、AC、BC的距离相等，如图所示，因此以点I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则I与ABC的三条边都相切 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心交流展示请证明上面命题如图，已知PA、PB是O的两条切线求证：PA=PB，OPA=OPB 如图，已知O是ABC的内切圆

22、，切点为D、E、F，如果AE=1，CD=2，BF=3，且ABC的面积为6求内切圆的半径r 巩固拓展 如图，O的直径AB=12cm，AM、BN是两条切线，DC切O于E，交AM于D，交BN于C，设AD=x，BC=y （1）求y与x的函数关系式，并说明是什么函数？ （2）若x、y是方程2t2-30t+m=0的两根，求x，y的值（3）求COD的面积 教材P52-54 课题： 圆与圆的位置关系教师寄语：好习惯是成功的开始学习目标： 了解两个圆相离（外离、内含），两个圆相切（外切、内切），两圆相交、圆心距等概念 理解两圆的互解关系与d、r1、r2等量关系的等价条件并灵活应用它们解题自主学习 请同学们独立完

23、成下题 在你的练习本上，画出直线L和圆的三种位置关系，并写出等价关系 探索新知 请每位同学完成下面一段话的操作几何，四人一组讨论你能得到什么结论 （1）在一张透明纸上作一个O1，再在另一张透明纸上作一个与O1半径不等的O2，把两张透明纸叠在一起，固定O1，平移O2，O1与O2有几种位置关系？ （2）设两圆的半径分别为r1和r2（r1r2），圆心距（两圆圆心的距离）为d，你又能得到什么结论？ 老师用两圆在黑板上运动并点评：可以发现，可以会出现以下五种情况： （1）图（a）中，两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离； （2）图（b）中，两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切 （3）图（c）中，

24、两个圆有两个公共点，那么就说两个圆相交 （4）图（d）中，两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切为了区分（e）和（d）图，把（b）图叫做外切，把（d）图叫做内切 （5）图（e）中，两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，为了区分图（e）和图（e），把图（a）叫做外离，把图（e）叫做内含 图（f）是（e）甲的一种特殊情况圆心相同，我们把它称为同心圆 问题（分组讨论）如果两圆的半径分别为r1和r2（r1r2），圆心距（两圆圆心的距离为d，请你们结合直线和圆位置关系中的等价关系和刚才五种情况的讨论，填完下列空格： 两圆的位置关系 d与r1和r2之间的关系 外离 外切 相交 内切 内含 合作探究

25、交流展示 两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图所示（点O，O是圆心），分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求TPN的大小 如图所示，O的半径为7cm，点A为O外一点，OA=15cm，求：（1）作A与O外切，并求A的半径是多少？ （2）作A与O相内切，并求出此时A的半径 巩固拓展 如图1所示，半径不等的O1、O2外离，线段O1O2分别交O1、O2于点A、B，MN为两圆的内公切线，分别切O1、O2于点M、N，连结MA、NB （1）试判断AMN与BNM的数量关系？并证明你的结论（2）若将“MN”为两圆的内公切线改为“MN为两圆的外公切线”，其余条件不变，AMN与BN

26、M是否一定满足某种等量关系？完成下图并写出你的结论 教材P57-60 课题： 圆的有关计算教师寄语：好习惯是成功的开始学习目标： 了解扇形的概念，理解n的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用 通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n的圆心角所对的弧长L=和扇形面积S扇=的计算公式，并应用这些公式解决一些题目自主学习 合作探究 一、复习引入 （老师口问，学生口答）请同学们回答下列问题 1圆的周长公式是什么？ 2圆的面积公式是什么？ 3什么叫弧长？ 二、探索新知 请同学们独立完成下题：设圆的半径为R，则： 1圆的周长可以看作_度的圆心角所对的弧 21的圆心角所对的弧长是_ 32的

27、圆心角所对的弧长是_ 44的圆心角所对的弧长是_ 5n的圆心角所对的弧长是_ （老师点评）根据同学们的解题过程，我们可得到： n的圆心角所对的弧长为例习：制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图所示的管道的展直长度，即的长（结果精确到0.1mm） 问题:（学生分组讨论）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长5m的绳子，绳子的另一端拴着一头牛，如图所示: （1）这头牛吃草的最大活动区域有多大？ （2）如果这头牛只能绕柱子转过n角，那么它的最大活动区域有多大？ 像这样，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形 请同学们结合圆心面积S=R2的公式，独

28、立完成下题： 1该图的面积可以看作是_度的圆心角所对的扇形的面积 2设圆的半径为R，1的圆心角所对的扇形面积S扇形=_ 3设圆的半径为R，2的圆心角所对的扇形面积S扇形=_ 4设圆的半径为R，5的圆心角所对的扇形面积S扇形=_ 5设圆半径为R，n的圆心角所对的扇形面积S扇形=_老师检察学生练习情况并点评例习：如图，已知扇形AOB的半径为10，AOB=60，求的长（结果精确到01）和扇形AOB的面积结果精确到01） 交流展示巩固拓展操作与证明：如图所示，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处，并将纸板绕O点旋转，求证：正方形ABCD的边被纸板覆

29、盖部分的总长度为定值a 教材P61-62 课题： 圆的有关计算教师寄语：好习惯是成功的开始学习目标： 了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，并会应用公式解决问题通过设置情景和复习扇形面积的计算方法探索圆锥侧面积和全面积的计算公式以及应用它解决现实生活中的一些实际问题自主学习 合作探究 一、复习引入 1什么是n的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并请讲讲它们的异同点2问题1：一种太空囊的示意图如图所示，太空囊的外表面须作特别处理，以承受重返地球大气层时与空气摩擦后产生的高热，那么该太空囊要接受防高热处理的面积应由几部分组成的 二、探索新知 我们学过圆柱的侧面积

30、是沿着它的母线展开成长方形，同理道理，我们也把连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线 （学生分组讨论，提问二三位同学）问题2：与圆柱的侧面积求法一样，沿母锥一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为L，底面圆的半径为r，如图24-115所示，那么这个扇形的半径为_，扇形的弧长为_，因此圆锥的侧面积为_，圆锥的全面积为_交流展示巩固训练 1.圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？（结果精确到0.1cm2） 2已知扇形的圆心角为120，面积为3

31、00cm2 （1）求扇形的弧长； （2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？ 拓展提升 3如图所示，经过原点O（0，0）和A（1，-3），B（-1，5）两点的曲线是抛物线y=ax2+bx+c（a0）. （1）求出图中曲线的解析式； （2）设抛物线与x轴的另外一个交点为C，以OC为直径作M，如果抛物线上一点P作M的切线PD，切点为D，且与y轴的正半轴交点为E，连结MD，已知点E的坐标为（0，m），求四边形EOMD的面积（用含m的代数式表示）（3）延长DM交M于点N，连结ON、OD，当点P在（2）的条件下运动到什么位置时，能使得S四边形EOMD=SDON请求出此时点P的坐标 23