简单的线性规划及实际应用

《简单的线性规划及实际应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《简单的线性规划及实际应用（7页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、简单的线性规划及实际应用一、内容归纳1知识精讲：（1）二元一次不等式表示的平面区域：在平面直角坐标系中，设有直线Ax By C 0 （B不为0）及点P（x0,y0），则若B0,AxBy。 C 0，则点P在直线的上方，此时不等式AxByC0表示直线AxBy C0的上方的区域；若B0,AxBy。 C 0，则点P在直线的下方，此时不等式AxByC0表示直线AxBy C0的下方的区域；（注：若B为负，则可先将其变为正）（2）线性规划： 求线性目标函数在约束条件下的最值问题，统称为线性规划问题； 可行解：指满足线性约束条件的解（x,y）;可行域：指由所有可行解组成的集合；2重点难点：准确确定二元一次不等

2、式表示的平面区域，正确解答简单的线性规划问题3思维方式：数形结合.4特别注意：解线性规划时应先确定可行域；注意不等式中（）与（）对可行域的影响;还要注意目标函数 z ax by中b 0和b 0在求解时的区别二、问题讨论1、二元一次不等式（组）表示的平面区域例1、画出下列不等式（或组）表示的平面区域x 2y 101 x 2y 101x23（2）求不等式|x 1 | y 1 | 2表示的平面区域的面积。解：（1）不等式x-2y+10表示直线x-2y+10右下方的点的集合不等式x+2y+10表示直线x+2y+10右上方的点的集合不等式1x23可化 1 x 1或3 x 5，它表示夹在两平行线 x=-1

3、和x=1之间或夹在两平行线x=3或x=5之间的带状区域，但不包括直线 x=1或x=3上的点所以原不等式表示的区域如图所示s-2ybl0解（2）先画出x y 2的图形，由对称性得y2表示的图形，如图再把图形向右、向左都平移1个单位得x 1如图2| x 1 | y 1 | 2表示图2中的正方形内部,平面区域的面积为 S=8 （单位）【评述】画图时应注意准确，要注意边界, 否则应画成实线。若不等式中不含“2、应用线性规划求最值例2、设x,y满足约束条件3x4y5y1均为整数）的最大值，最小值。 解：（1）先作出可行域，如图所示中22且求得 A（5,2）,B（1,1）,C（1,）5作出直线Lo： 6x

4、+10y=0，再将直线 当Lo的平行线过B点时， 当Lo的平行线过A点时， 所以 Zmin=16；Zmax=50（2）同上，作出直线Lo：达到最小值当Lo的平行线过A点时,1：,x故所求的号，则边界应画成虚线,+ x325 分别求：（1）z=6x+10y，ABC的区域,Lo平移可使z=6x+10y达到最小值可使z=6x+10y达到最大值(2)z=2x-y,(3)z=2x-y，(x,y2x-y=0，再将直线Lo平移，当Lo的平行线过C点时，可使z=2x-y12可使z=2x-y达到最大值所以 zmin=16；Zmax=8125（3）同上，作出直线 Lo： 2x-y=0,再将直线Lo平移,当Lo的平

5、行线过C点时，可使z=2x-y达到最小值 当Lo的平行线过A点时，可使z=2x-y达到最大值822但由于一不是整数，而最优解（x,y）中，x,y必须都是整数5所以可行域内的点C（1, 22 ）不是最优解5当Lo的平行线经过可行域内的整点 （1,4）时，可使z=2x-y达到最小值所以 Zmin=-2几个结论：（1）、线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界 处取得。（如:上题第一小题中 z=6x+10y的最大值可以在线段 AC上任一点取到）（2）、求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义在y轴上的截距或其相反数。3、线性规划的实际应用例3、某人上午7

6、时，乘摩托艇以匀速 V海里/时（4W V 20）从A港出发到距50海里的B 港去，然后乘汽车以匀速 W千米/时（30W W 100）自B港向距300千米的C市驶去，应该 在同一天下午4至9点到达C市设汽车、摩托艇所需的时间分别是 x、y小时，（1）作出表示满足上述条件的x、y范围； 如果已知所要经费 P=100+3（5-x）+2 （8-y）（元），那么V、W分别是多少时，走得最经济3要使p最小，则131 p最大。在图中的阴影部分区域（包括边界）且斜率为的直线23x 2y k中，使k值最大的直线必通过点（10, 4）,即当x=10, y=4时p最小。此时，v=12.5. w=30, p的最小值为

7、 39元。【解题回顾】要能从实际问题中，建构有关线性规划问题的数学模型例4、某矿山车队有 4辆载重量为10吨的甲型卡车和 7辆载重量为6吨的乙型卡车，有 9名驾驶员，此车队每天至少要运 360吨矿石至冶炼厂。已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返 8次。甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元。问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花费成本最底？解：设每天派出甲型车 x辆，乙型车y辆，车队所花成本费为 z元，那么xy 9106x6 8y 360z 252x 160y 其中 x、y N0x40y7作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图中绿色区

8、域。作出直线10 : 252x 160y把直线向右上方平移， 使其经过可行域上的整 点，且使在y轴的截距 最小。观察图形，可见0o当直线252x 160y t经过点(2，5)时，满足 上面要求。此时，z 252x160yx+y=95x+4y=30取得最小值，即x=2,y=5 时,zmin252 2 160 5 1304答：每天派出甲型车 2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低。【解题回顾】 由于派出的车辆数为整数，所以必须寻找最优整数解。这对作图的要求较高，平行直线系f (x,y) t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域内的各整点，然后以z取得最值的附近整数为基础通

9、过解不等式组可以找出最优解.。备用题例5、要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表：块数、种类规格ABC第一种钢板121第二种钢板113每张钢板的面积为： 第一种1m2,第二种2 m2,今需要A、B、C三种规格的成品各 12、15、27块，问各截这两种钢板多少张，可得所需的三种规格成品，且使所用钢板面积最小? 解：设需截第一种钢板 x张，第二种钢板y张，所用钢板面积为 zm2,则有：2xy15，zx3y27x0,y0, x, y Nx 2y，作出y181O|1|2例5图x y 129 15可行域，得l1与13的交点为A （, 一），当直线z

10、x 2y过点A时z最小，但A不2 2是整点，而在可行域内，整点（4，8）和（6,7）都使z最小，且Zmin42 86 2 720，所以应分别截第一、第二种钢板 4张、8张，或6张、7张，能满足要求.思维点拔在可行域内找整点最优解的常用方法有：（1）打网格，描整点，平移直线，找出整点最优解；（2）分析法：由于在 A点z 19.5 .，而比19.5大的最小整数为 20，在约束x条件下考虑x 2y 20的整数解，可将y 10代入约束条件，得4 x 6，又x为2偶数，故x 4或6.三、课堂小结：解线性规划问题的步骤：（2 ）画：画出线性约束条件所（1）设:先设变量，列出约束条件和目标函数；再作出可行域,表示的可行域;（3 ）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线；（4 ）求：通过解方程组求出最优解;（5 ）答：作出答案。