随机变量的函数的分布综述

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1、8.随机变量的函数的分布【教学内容】：高等教育出版社浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编的概率论与数理统计 第二章第五节的随机变量的函数的分布【教材分析】：本节课主要是在学生学习了随机变量的概念和随机变量的分布的基础上进行的教学；本节从随机变量的分布入手引入随机变量的函数的随机性特征，即由自变量X的统计规律性出发研究因变量 Y的统计性规律的问题；本节课的教学先讲授离散型随机变量的 函数的分布接着讲连续型随机变量的函数的分布。让学生掌握两种不同的随机变量的分布的求解方法。其中，离散型随机变量的函数的分布是比较容易求得而连续型随机变量的函数的 分布学生往往束手无策，因此，我在本次教学中，先复习分布函数和

2、概率密度函数的关系， 后通过简单例子来讲解，最后归纳总结，再研究连续型随机变量的函数的一种特殊情形的分布问题。最后导出一个重要的定理。【学情分析】：1、知识经验分析学生具有一定的随机变量及其分布相关理论知识及微分学相关知识，通过前两次课的学习已具备一定的解题方法，本节课通过让学生观察、思考，教师启发、引导等教学方式，让 学生自然过渡到随机变量的函数的分布的学习中。2、学习能力分析学生虽然具备一定的微积分的知识和随机变量的理论基础，但概念理解不透彻，解决问题的能力不高，方法应用不熟练，知识没有融会贯通。【教学目标】：掌握随机变量的函数的概率分布的求法。教教学重点、难点】：重点：离散型随机变量的函

3、数的分布；连续型随机变量的函数的分布。 难点：连续型随机变量的函数的分布。【教学方法】：讲授法启发式教学法【教学课时】：1个课时【教学过程】：一、问题引入在实际中，人们常常对随机变量X的函数Y = g(X )所表示的随机变量 Y更感兴趣。-d 2如：已知圆柱截面直径 d的分布，求截面面积 A=- 的分布。4又如：已知t=t0时刻噪声电压 V的分布,【设计意图】：让学生感受到数学与生活“零距离”，从而激发学生学习数学的兴趣，使学生获得良好的价值观和情感态度。二、离散型随机变量函数的分布设离散型随机变量X的概率分布为PX =/= Pk,k =1,2,111易见， X的函数Y =g(X)显然还是离散

4、型随机变量。如何由X的概率分布出发导出 Y的概率分布？其一般方法是：先根据自变量 X的可能 取值确定因变量 Y的所有可能取值，然后对Y的每一个可能取值 yi ,i =1,2,，确定相应的Ci Wxj | g(xj) =yi,于是Y =y。=g(x) =yJ =X Ci,PY =yj =PX Ci =、PX =为.Xj - Ci从而求得Y的概率分布。2例1设随机变量X具有以下的分布律，试求 Y =(X -1)的分布律。X | -1012610.2 0.3 0.1 0.4解：Y所有可能取的值为0,1,4,由2PY =0 =P X -1 i =0=PX =1 =0.12PY =1 = P X -1

5、=1 = PX =0 PX =2 =0.72PY =4 =P X -1 =4 = PX = -1 =0.2即得Y的分布律为Y014K0.1 0.7 0.2一般地如果X是离散型随机变量，其函数Y = g(X)也是离散型随机变量若X的分布律为X x1 x2 . x.P P1P2 .PkY=g(X) g(X1) g(X2)g(Xk)Pk则Y =g(X)的分布律为Pk若g(x)中有值相同的，应将相应的Pk合并.【设计意图】：通过这个例子，让学生观察求离散随机变量的函数的分布时我们应该采 用什么方法，从而达到让学生掌握在求离散随机变量的函数的分布时先求函数的取值，再求函数的分布律的目的，并在此基础上进一

6、步总结方法。【总结】：先根据自变量 X的可能取值确定因变量 Y的所有可能取值，然后对Y的每一个可能取值yi,i =1,2,，确定相应的Y在每一点处取值的概率。三、连续型随机变量的函数的分布例2设随机变量X具有概率密度X, 0 ：二 x : 4.fx(x) = 80,其他.求随机变量Y =2X+8的概率密度。解：第一步：先求 Y=2X+8的分布函数FY(y)._ 一 .一.y -8.H .FyW) =PYMy =P2X 8My =PX 三 = 2 f* (x)d x2第二步：由分布函数求概率密度。y. 一 y - 8 y - 8 .fy(y) =Fy(y)=.一 fX(x)d x=鼠()()，-

7、221 y -8 1 y -8(),0 ：二：二 4,所以 fy(y) = 82220,其他.y -8,8 :二 y 16,=32、0,其他.2例3设随机变量X具有概率密度fX (x)-七 x 8，求Y = X的概率密度。解：设Y和X的分布函数分别为 FY(y)和FX(x),注意到Y=X220,故当y0时，FY(y) =P(Y = y) = P(X2 m y) = P(一必 X m /)=Fx(、。)- Fx(-G)求导可得fY(y)=dFYW dyJxG/7)+ fX(-Vy)_l,y 0；0, y - 0.若 fx(x)=一x2e 2,1 J. -2 c e 2， y 0则Y = X的概率

8、密度为fY (y)=J2n y0, y0.Y服从自由度为1的？2分布【设计意图】：通过这两个例子，让学生掌握用分布函数法求连续型随机变量的函数的 分布的方法。【总结】：先求连续型随机变量的函数的分布函数，再对分布函数求导求出概率密度函定理 设随机变量X具有概率密度fX(x) -gx0 ,又设函数g(x)处处可导且恒有g(x)A0(或恒有g(x) 0),则丫 =g(X)是连续型随机变量，其概率密度为lfxh(y) |h(y)l, : : y :二：fY(y0,其他其中 m =min( g(_oo), g(节c), p =max(g(_oo), g(节c). h(y)是 g(x)的反函数。证明略。

9、例4设随机变量XN(R,。2),试证明X的线性函数Y = aX+b(a*0)也服从正态分布。证明X的概率密度为(x T)2fX(x) = e,2 TtCTO 2,- x 0, 2 2 V,1所以反函数为 8 = h(v) =arcsin - , h (v)=A. A2-v2又由0U (1nI ,一)，知印:概率密度为f( 8) = /,2. 0,冗冗 0-,22其他.11- ,一A ： v : A,由定理得V =AsIn 0的概率密度为&v)=冗Ja2 -v210,其他.【设计意图】：通过这两个例子，让学生明白当Y = g(x)为严格单调时，采用定理能方便的求解出连续型随机变量的函数的分布。总

10、结：连续型随机变量的函数的分布有两种方法方法 1 FY(y) =PY y =Pg(X) y.fX(x)d x,(-二：二 x :二二), g (x) _y再对FY(y)求导得到Y的密度函数fY(y).方法2,)=吗y件。三、思考与提问：设g(x)是连续函数，若X是离散型随机变量,则Y = g(X)也是离散型随机变量吗？若X是连续型的又怎样 四、内容小结随机变量的函数的分布1 .离散型随机变量函数的分布;2 .连续型随机变量函数的分布;Y = g(X)g(K)g(x?).g(xk)PkPiP2.Pk37五、课外作业：P59:33 , 34 ,35,六、板书设计随机变量的函数的分布一、问题引入例1

11、已知圆柱截面直径 d的分布，2求截面面积 A=的分布。4例2已知t =t0时刻噪声电压V的分布，二、离散型随机变量函数的分布例1设随机变量X具有以下的分布律，试,2求 Y=(X-1) 的分布律 。X | -1012610.2 0.3 0.1 0.4一般的若g(x。中有值相同的，应将相应的Pk合并三、连续型随机变量函数的分布例2设随机变量X具有概率密度,0 ：二 x - 4.fX(x) = 80,其他.求随机变量Y =2X +8的概率密度。例3设随机变量X具有概率密度-、，2fX (x) - x 30 ,求 Y = X 的概率密度。定理 设随机变量X具有概率密度PiP2fY(y)=如果X是离散型

12、随机变量其函数Y = g(X) 也是离散型随机变量若X的分布律为xk则 Y = g(X)Pk的 分 布 律 为fX (x) x 30 ,又设函数g(x)处处可导且恒有g (x) A 0 (或恒有g (x) 0 ),则Y =g(X )是连续型随机变量，其概率密度为fXh(y)|h(y)|,: : y : -0,其他其中二二min( g(-二)，g(二)，- =max(g(-n),g( ;).h(y)是g(x)的反函数。例4设随机变量X N(N,。2),试证明X的线性函数Y=aX+b(a#0)也服从正态分布。证明略例5设电压V =Asin0 ,其中A是一个已 知的正常数，相角G是一个随机变量，且有oLJ L- - i,试求电压v的概率密度。.2,2