初中几何证明练习题含答案

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1、几 何 证 明 题经典题（一）1、已知：如图，。是半圆的圆心, 求证：CD = GF.（初二）2、已知：如图，P是正方形ABCD=/ PDA = 15 。C、E是圆上的两点,内部的一点，/PADCD，AB ,EFLAB ,EGXCO.求证：3、已知:求证:PBC是正三角形.（初二）如图，在四边形 ABCD中，AD = BC, M、N 分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线 交MN于E、F./ DEN = / F.经典题（二）1、已知:外心，且 ABC中，H为垂心（各边高线的交点），。为 OMBM.（1）求证：AH=2OM;（2）若/BAC=60,求证：AH=AO.（初二）2、设MN是圆O外

2、一条直线，过。作OALMN于A,自 A引圆的两条割线交圆。于B、C及D、E,连接CD并 延长交MN于Q,连接EB并延长交MN于P.求证：AP = AQ.3、如图，分别以 ABC的AB和AC为一边，在 ABC的外 侧作正方形ABFG和正方形ACDE,点。是DF的中点， OP BC求证：BC=2OP （初二）证明：分别过F、A、D作直线BC的垂线，垂足分别是L、M、Nv OF=OD, DN / OP/ FL PN=PLOP是梯形DFLN的中位线DN+FL=2OP. ABFG是正方形丁. / ABM+ / FBL=90又 / BFL+/FBL=90./ABM= /BFL又 / FLB=/BMA=90

3、.BFLAABMFL=BM同理 AMCzXCNDCM=DNBM+CN=FL+DNBC=FL+DN=2OP,BF=ABEEN02 ./ EAG=300经典题（三）1、如图，四边形 ABCD为正方形，DE/AC, AE=AC, AE与CD相交于F. 求证：CE = CF.（初二）证明：连接BD交AC于O。过点E作EGXAC于GV ABCD是正方形 BDXAC 又 EGXAC BD / EG 又 DE / AC ODEG是平行四边形又 / COD=90ODEG是矩形EG=OD= BD= AC= AE vAC=AE ./ACE=/AEC=75又/AFD=90 -15 =75 ./CFE=/AFD=75

4、 =/AEC CE=CF2、如图，四边形ABCD为正方形, 求证：AE = AF.（初二）证明：连接BD,过点E作EGLAC于G. ABCD是正方形 BDXAC,又 EGXACBD / EG 又 DE / ACODEG是平行四边形又 / COD=90ODEG是矩形EG =OD =1 BD= 1 AC= 1CEDE /AC,且CE= CA ,直线EC交DA延长线于F.0丁. / CAE= / CEA= 1 / GCE=15-ZFAC-Z ACF -/FAC-/GCE -135 -3002丁. / GCE=30VAC=EC2在4AFC 中 / F =180=180=180=15. F=/CEA3、

5、设P是正方形ABCD 一边BC上白AE=AF , PFXAP,FHXCDT HCF 平分 / DCE.EB X求证：PA=PF.(初二) 证明：过点F作FGLCE于GVCDXCG.- HCGF 是矩形/ HCF=/GCF；FH=FG HCGF是正方形CG=GFv APXFP ./APB+/FPG=90 . /APB+/BAP=90丁. / FPG=/ BAP又/ FGP=/PBA .FGPs APBA设 AB=x, BP=y, z： y= (x-y+z):化简得(x-y) - y= (x-y) - z: x-yw 0y=z即 BP=FG.ABPAPGF .FG: PB=PG: AB4、如图，P

6、C切圆O于C, AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D.求证：AB=DC, BC = AD.（初三）证明：过点E作EK / BD,分别交AC、AF于M、K,取EF的中点H连接 OH、MH、ECv EH=FHOHXEF, ./PHO=90又 PCOC, . ./POC=90 P、C、H、O四点共圆 ./ HCO=/ HPO又 EK / BD, . HPO=/HEK ./ HCM=/HEM H、C、E、M四点共圆 ./ ECM=/EHM又/ ECM=/ EFA ./ EHM=/EFAHM / ACv EH=FH经典题（四）1、已知： ABC是正三角形，求/APB的度数.

7、（初二） .EM=KM. EK / BD OB AO OD eM 一而一而 .OB=OD又 AO=CO 四边形ABCD的对 角线互相平分 .ABCD是平行四边 形 .AB=DC, BC=ADP是三角形内一点，PA = 3, PB=4,PC=5.A解：将4ABP绕点B顺时针方向旋转60得ABCQ,连接PQ则4BPQ是正三角形,丁. / BQP=60。，PQ=PB=3/在APQC 中，PQ=4, CQ=AP=3, PC=5方PQC是直角三角形/丁. / PQC=90。 ./BQC=/BQP+/PQC=60。+90。=150/ . / APB= / BQC=1500B 4- - 一2、设P是平行四边

8、形 ABCD内部的一点，且/ PBA=/PDA.求证：/PAB = /PCB.（初二） 证明：过点P作AD的平行线，过点 两平行线相交于点E,连接BE. PE/ AD , AE / PD .ADPE是平行四边形 .PE=AD,又ABCD是平行四边形 .AD=BC；A QCD .PE=BC又 PE/ AD , AD / BC .PE/ BC . BCPE是平行四边形 ./BEP=/PCB.ADPE是平行四边形又 / ADP=/ABP ./AEP=/ABP A、E、B、P 四点共 圆丁. / BEP=/ PAB ./PAB=/PCB ./ADP=/AEP3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证： AB

9、 - CD + AD - BC = AC - BD .（初三）证明：在BD上去一点E,使/BCE=/ACDCd =CD / CAD= / CBD.BECs/XADC生 BCAD - AC .AD BC=BE - AC/ BCE=/ACD丁. / BCE+ / ACE= / ACD+ / ACE；即/BCA=/ECD. BC=BC,. ./ BAC=/BDC BACAEDC AB ACDE - CD+得 AB CD+AD BC =DE AC+BE AC =(DE+BE) AC =BD AC .AB CD=DE - ACI4、平行四边形 ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交

10、于P,且AE = CF.求证：/ DPA = /DPC.(初二)证明：过点D 作 DG AE 于 G,作 DH，FC 于八1 一 一 八1一一. Sade=2AE DG, Sdc=FC DHPC1又 SaADE=Sa FDCqScABCD . AE DG=FC - DH又 AE=CFDG=DH点D在/ APC的点平分线上 ./ DPA = / DPC经典题（五）1、设P是边长为1的正4ABC内任一点，L = PA+PB+PC,求证： 石&L2.证明：（1）将 BPC绕B点顺时针旋转600的ABEF,连接PE,. BP=BE, /PBE=60.PBE是正三角形。PE=PB 又 EF=PCL=PA

11、+PB+PC=PA+PE+EF当PA、PE EF在一条直线上的时候,L=PA+PE+EF在 MBF 中，/ABP=120 a AF= V3L=PA+PB+PC/AGP ./APD/ADP . ADPA又 BD+PDPBCG+PGPC+ +彳# AD+BD+CG+PD+PG PA+PB+PC AB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+AC PA+PB+PC=L AB=AC=1 .1. L2由(1) (2)可知：3 L 2.2、已知：P是边长为1的正方形 ABCD内的一点，求 PA+PB + PC的最小值.解：将4BCP绕点B顺时针旋转60得4 BEF,连接PE,则 BPE是正三角形PE=PB/.

12、 PA+ PB+ PC=PA+PE+EF要使 PA+PB + PC最小，则PA、PE、EF应该在一条直线上（如图）此日AF=PA+PE+EF过点F作FG，AB的延长线于 G则/GBF=180 -/ABF=180 -150 =30 .GF=1, BG= 3AF= GF2 AG2PA + PB+ PC 的最小值是 v2 + J33、P为正方形 ABCD内的一点，并且 PA = a,证明：将 ABP绕点B顺时针旋转90则 BPQ是等腰直角三角形,22PQ=12PB=V2 X2a=2j2a又 QC=AP=a. QP2+QC2=(2 , 2 a)2+a2=9a2=PC2 APQC是直角三角形 ./ BQ

13、C=135BC2=BQ2+CQ2-2BQ - CQ - cosZBQC =PB2+PA2-2PB - PAcos1354a +a -2 x 2a x a* (-)2解得 BC= .5 2,2a.正方形的边长为 5 2 2a 4、如图，zABC 中，/ ABC = /ACB = 80 , D、E 分别是 AB、AC 上的点，/ DCA = 300 , / EBA = 20 ,求/ BED 的度数.解：在AB上取一点F,使/ BCF=60 , CF交BE于G,连接EF、DG . / ABC=80 , / ABE20EBC60 ,又/ BCG60 . BCG是正三角形，BGBC / ACB=80 ,

14、 / BCG60 . / FCA20 . / EBA= / FCA又/ A=/A, AB=AC . ABEACF，AE=AF , 一 1 ，一 ，、一 ./ AFE=/AEF=2 (180 -/A) =80又 / ABC=80 = / AFE. EF / BC . . / EFG= / BCG=60 EFG 是等边三角形EF=EG , / FEG= / EGF= / EFG=60 ACB=80 , / DCA=30 . / BCD=50 ./ BDC=180 -/BCD-/ ABC=180 -50 -80 =50 / BCD= / BDC. BC=BD 前已证 BG=BC. BD=BG1 ,_

15、 -/BGD=/BDG=2 (180 -/ABE) =80，/FGD=180 -ZBGD- Z EGF=180 -80 -60 =40 又/ DFG=180 -ZAFE-Z EFG=180 -80 -60 =40 ./ FGD= / DFG . . DF=DG 又 EF=EG , DE=DE /. EFDA EGD, ,1 ,1. ./ BED= / FED/FEG=IX60 =30 225、如图，AABC内接于。O,且AB为。的直径，/ ACB的平分线交。O于点D,过点 D作。O的切线PD交CA的延长线于点P,过点A作AEXCD于点E,过点B作BFXCD于点F,若AC=6, BC=8,求线段

16、PD的长。解：./ACD=/BCD . Ab=BD；AD=BD .AB 为。O 的直径ADB=90.ABD是等腰直角三角形./ACB=90 , AC=6, BC=8 . . AB=10AD=AB cos/ DAB=10 X 2=522又 AECD, /ACD=45.ACE 是等腰直角二角形CE=AE=AC cos/ CAE=6X=3J2在AADE 中，DE2=AD2-AE2； DE2= (56 2- (372)2 =32 . . DE= 4/2 . CD=CE+DE=3 .2 +4, 2 = 7, 2 PD PA ADPC PD CD 7.2/PDA=/PCD, /P=/P . .PDAs/X

17、PCD 2=2=;PC= 7 PD, PA= 5 PDPC=PA+AC a - PD= 5 PD+6 解得 PD= 35 575741证明：过点G作GH AB于H,连接OEv EGXCO, EFLAB ./EGO=90 , / EFO=90 ./ EGO+Z EFO=180 E、G、O、F四点共圆 ./ GEO=/ HFG / EGO=/ FHG=90 .EGOs/XFHGEO GOFG HGv GHXAB , CDXABGH / CD.GO _ COHG CD.EO COFG CDv EO=COCD=GF2证明：作正三角形 ADM ,连接MP . /MAD=60 , /PAD=15 . /

18、MAP= / MAD+ / PAD=75 /BAD=90 , / PAD=15 ./BAP=/BAD-/PAD=90 -15 =75 ./ BAP= Z MAPv MA=BA , AP=AP .MAP BAP ./BPA=/MPA, MP=BP同理/CPD=/MPD, MP=CP / PAD = / PDA = 15 .PA=PD, / BAP=/CDP=75v BA=CD .BAP0/ CDP ./ BPA=/CPD . /BPA=/MPA, /CPD=/MPD ./ MPA=/MPD=75 ./BPC=360 -750 X 4=60. MP=BP, MP=CP a BP=CP . .BPC

19、 是正三角形3证明:连接AC,取AC的中点G,连接NG、MG.CN=DN, CG=DGGN / AD , GN=1AD2 ./ DEN=/GNMvAM=BM , AG=CGGM / BC, GM= 1BC2.F=/GMNvAD=BCGN=GM ./ GMN=/GNM ./ DEN=/ F1证明：(1)延长AD交圆于F,连接BF,过点O作OGLAD于G v OGXAF . AG=FG.AB =AB.F=/ACB又 AD BC, BEX AC ./ BHD+/ DBH=90/ ACB+ / DBH=90 ./ACB=/BHD.F=/ BHDBH=BF 又 ADBCDH=DFAH=AG+GH=FG+

20、GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2 (GH+DH ) =2GD 又 ADBC, OMXBC, OGXAD 四边形OMDG是矩形OM=GD .,.AH=2OM(2)连接 OB、OC/ BAC=60 ；/BOC=120. OB=OC, OMXBC丁. / BOM= 1 / BOC=60. / OBM=302 . BO=2OM由（1）知 AH=2OM . .AH=BO=AO2证明：作点E关于AG的对称点F,连接AF、CF、QF V AGXPQ . PAG=/QAG=90又/ GAE= / GAF/ PAG+ / GAE= / QAG+ / GAF即 / PAE=/QAF: E、F、C、D四点共圆 ./AEF+/FCQ=180 v EFXAG, PQ AG EF/ PQ ./ PAF=/AFE v AF=AE ./AFE=/AEF ./AEF=/PAF . / PAF+/QAF=180 ./ FCQ=/QAF F、C、A、Q四点共圆 ./AFQ=/ACQ又 / AEP=/ACQ ./AFQ=/AEP在AAEP和AAFQ中/ AFQ=/AEPAF=AE/ QAF= / PAE.AEPAAFQAP=AQ