寿险精算教案

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1、河南城建学院教师教案（2014 2015学年第1学期）课程名称精算数学专业数学与应用数学课程类别专业必修课授课班级2011 级主讲教师胡素敏职称讲师使用教材寿险精算北京理工大学出版社课程简介2第1章利息的基本概念 3第2章确定型年金8第3章生命表基础14第4章人寿保险的精算现值 17第5章年金的精算现值 20第6章均衡纯保费23第7章责任准备金25第8章保单现金价彳t与红利 27第9章资产份额定价法 28课程简介课程名称精算数学课程代码总学时：64学时 讲课：64学时 上机：0学时 实验：0学时学分课程类别专业必修课授课专业数学与应用数学专业授课班级2011 级任课教师胡素敏职称讲师教学目的

2、和要求研究保险事故的出险规律、保险事故损失额的分布规律、保险 人承担风险的平均损失及其分布规律、保险费和责任准备金等保险 具体问题计算方法的应用数学。本课程以寿险精算为主，详细讨论 寿险精算的基本原理和基本技术，对非寿险精算中的基本概念和主 要问题进行概括性的介绍。教学重点、 难点本课程的重点难点肩：1 .各种确定型年金的计算2 .各种寿险建缴纯保费计算3 .生存年金的计算4 .均衡纯保费计算5 .责任准备金的计算方法6 .保单红利和现金价值的计算教材和参 考书教材：寿险精算李秀芳 傅安平 李静 中国人民大学出版社参考书目：1寿险精算数学 卢仿先 曾庆五 编著 南开大学出版2保险精算技术曾庆五

3、等编著东北财经大学出版社3寿险数理基础知识万峰中国金融出版社2003.064利息理论尚汉冀 译 上海科学技术出版社2001.09课题第1章利息的基本概念目的要求掌握有关利息的基本知识：单利、复利、名义利率、实际利率、贴现率掌握单利、复利及其终值、现值的计算方法掌握贴现因子、贴现率及利率的区别与联系重点难点本章的重点是各种利率之间的相互转换以及现值和终值的计算。教法教具讲授法/谈话法（提问，讨论） 教具:电子ppt课时分配4课时教学内容具体要点如下：1.1实际利率与实际贴现率【概念】本金、利息、积累值、度量期【符号】本金为1单位的投资在时刻t的积累值为积累函数a，也称为t期积累因子 本金为k单位

4、的投资在时刻t的积累值为A，则A=k，a二1 八a的为t期折现因子或折现函数，a (1)简称为折现因子，并记为v从投资日起第n个时期得到的利息金额记为In,则In=A(n)-A(n-D，n*11.1.1 实际利率【定义】某一度量期的实际利率，是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开 始时投入的本金金额之比。用字母i表示。in = A二A(n二1) =_In一 n _1,n为整数A(n -1) A(n -1)举例1, 2加以说明。1.1.2 单利和复利1 .单利法A(n)=A(0)1+i(1) +i(2) + ,+i(n-1) +i(n)2 .复利法A(n)=A(0)1+i(1)1+i(2) ,

5、1+i(n-1)1+i(n)3 .单利和复利的比较短时期，单利积累值较大，长期则相反常数单利的有效利率不是常数，而常数复利的有效利率是常数单位有效利率相同时，单利在同样长的时间段内增长的绝对金额相同，复利在卜样长的时间段内增长的比率相同1.1.3实际贴现率【定义】一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息金额与期末投资可回收金额之比，通常用字母 d表示。dn=A) JA(n)A(n)n 一 1,n为整数若in=i n之1,n为整数，则a(n) =(1 i)n二1 1 in _ 1,n为整数a(n) -a(n -1)dn :a(n)这种情况下的贴现叫做复贴现。i和d之间的关系d i =1-di

6、 -id =dd(1 i)=id = i1 i贴现率d和折现因子v之间的关系1 H .v =，d =iv1 id =1v v =1 d1.2名义利率和名义贴现率【概念】：若在一个度量期中利息支付不止一次或在多个度量期利息才支付一次, 则称相应的一个度量期的利率和贴现率为“名义”的。【符号】严)d(m)名义贴现率d(m):指每1/m个度量期支付利息一次，而在每1/m个度量期的实际贴现率为-(m)如果尸与i等价，则(m) i m 1 - i =(1 )m:(m)i m ，i = (1 )-1m1i(m) =m(1 i)m -12名义贴现率与实际贴现率之间的关系同理，如果d(m)与d等价，则d1 -

7、d =(1-d d =1 - (1-(m) m(m)md(m)= m1 _(1 . d)m =m(1vm)【3】名义利率与名义贴现率之间的关系【例题讲解】：(m)(P)(1 i )m =1 i =(1- d )*m若对于任意的i (m)1 myd= (1-dPm, p; m = p,则上式变为(m)m(m) i (m) d (m)m m m mP9 例 1.2.1-1.2.31.3利息强度禾I息强度：在无穷小时间区间上的利息，即在各个时间点上度量的利息。【符号】【定义】_ A(t) _a(t) 一 A(t) 一 a(t)【计算】1.计算利息强度，根据定义计算2.利息强度和积累函数之间的关系，a

8、(t) = eMdr【例题讲解】P11例1.3.1【命题】如果利息强度在某时间区间上为常数， 则该时间区间上的实际利率也为 一数。证明：若在n-1n之间a =6为常数，则有(fdr+f 剑)jdra(n) -a(n -1) e 0 n1 -e 0n 1a(n-1)0 5e、rdr= en1 _1 :e、_l=i注：本命题的反命题未必成立 利息强度为常数时，可以推导出本章各种利息度量联系在一起的关系式e、-1 川e =1 i、=ln(1 i) (m)(1 i 一)m =1i=v=(1d)=(1 广二e、mp【例题讲解】P13例1.3.3, 1.3.4作业及课后分析P1314 1-10课题第2章确

9、定型年金目的要求掌握在期初支付和期末支付这两种方式下每期支付一次和多次、 或者在大于一个单位时间的时间间隔内支付一次年金这三种不同情 形下的年金的计算，了解变动年金的构成和计算方法。重点难点本章的重点是不同支付方式下支付的时间间隔与单位时间相等 或不等情况卜年金的计算。教法教具讲授法/谈话法（提问，讨论） 教具:电子ppt课时分配，4课时教学内容具体要点如下：2.1期末付年金【概念】在每个付款期间末付款的年金为期末付年金。n付款期内，土在期末付款1个单位, 【符号】a所有付款在时刻0的现值之和 s_所有付款在时刻足勺终值之和nl,23n(1 - i)n -1i相=v+v +V+V2.与=(1

10、i)n1 (1 i)(1 i) 1l么工I13凡-,(1 i)n =Sn, 11-4. iansn【公式解读】1 .由上式1可推出：1=ia同+vn经济意义：等式左边表示在时刻 0投资1个单位，等式右边表示资金回收方 式：每期期末都可获得利息i, n期利息现值之和为ian,到n期期末，将投资本金收回,折现到时刻0时现值为vn。2 .由上式2可推出：（1+i）n =1+1$M经济意义：等式左边表示在时刻 0投资一个单位，每期按复利i计算，到n 期期末，投资积累值为（1+i）n；等式右边表示投资本金1,每期期末产生利息i, 而每期所产生利息又再以利率i再投资，到n期期末积累值之和为isn。3 .

11、3式即为在时刻0 一次性投资an,以复利计算，到n期期末的积累值即an 式1 Dn4 .对于4式，可以这样理解，P等于左边部分，在每期期末投资 P个单位，则1这些投资值在时刻0的现值之和为Pan=an=1,到n期期末n期积累值 an则为P*s,这等价于在期初投资1个单位到n期期末积累值（1 + i）n ,即P *sm =1 +isni。【例题讲解】P19-202.2期初付年金【概念】在每个付款期间初付款的年金为期末付年金。n付款期内，土在期末付款1个单位，则 【符号】a丁所有付款在时刻0的现值之和s_所有付款在时刻足勺终值之和n1.a_j= 1+v +v2 +v3 +vn/=v ndnnJ(1

12、 i)n -12.s =(1 i)n (1 i)n 叫1 i) = (一) 一 nd3.an ,(1 Dn =Sn 【公式】4. 1 = 1 d ansn5.an =an(1 i)6. an = an J| 17.sn =Sn|(1 i)8. sn = sn 1 -1【公式解读】公式1与期末付年金现值公式相比较，差别在于分母不同，在期 末付年金公式终，i是利息在每期期末支付的度量标准；而期初付年金公式中 J利息在每期期初支付的度量标准。【例题讲解】P23例2.2.12.3任意时刻的年金值【概念】即计算任意时刻t的年金值。【符号】V(t)11在首期付款前某时刻的年金现值mman =v an =a

13、m n -ammman = v an- = am 6 am2在最后一期付款后某时刻的年金积累值V(m n) =sn(1 i)m =Smn -SmV(m n) =Sn(1 i)m =%- Sm【3】 付款期间某时刻的年金当前值假定付款期限为n,其中第m (m(1 i)n/i 弋 kan|-nvn. . . *+sl-n . *(I a)n = k7=(1 +i)(Ia)n|， (I s)n = k(1 +i)=- =(I ay (1 +i)d-d、标准递减年金n n - k +1 n -a-in -n(1+i)n-s|(Da)m= , (Ds)m= k(1 + i)k ：= (Da)n(1 +

14、i)nki (1 十i)ik#i0nn _ k +1n - an.-kn(1 + i) - sn*n(Da) = _=, (Ds) =k(1+i)=-L = (Da)n(1+i) 1$1 +i) -d1 kd作业P31 19课题第3章生命表基础目的要求通过本章的教学，使学生了解寿险的分布， 从统计上掌握死亡的 规律，并了解构造生命表的基本过程和各种/、同用途的生命表。了解生存函数和死力的概念熟悉生命表的结构，会用精算符号表示有关余命的各种概率，会用生命表描述寿命分布了解年龄间的寿命分布假设描述寿命分布生命表的类型，了解选择一一终极表重点难点本章的重点是了解构造生命表的基本过程和各种不同用途的生

15、 命表，熟悉生命表的结构，会用精算符号表示有关余命的各种概率， 并且会用生命表描述寿命分布。教法教具课堂讲授教具:电子ppt课时分配4课时 教学内容具体要点如下：3.1 生命函数3.1.1 分布函数【概念】1. 用X表示出生婴儿未来寿命的随机变量，则 X的分布函数F(x)则可以表示为 F(x) =Pr(X Wx), x 0 ,这是0岁的人在x岁之前死亡的概率。2. X的概率密度函数记为f (x),则f(x) = F(x), x之03. Pr(X 50)表示x岁的人在50岁以后死亡的概率，即在50岁仍然生存的概Pr(X 50) =1 -Pr(X 50) =1 -F(50)4. Pr(x x) =

16、 F(x+1)F(X)表示活到x岁的人在xx+1之间死 1-F(X)上的概率。5. 新生婴儿的平均寿命E(x) =xf(x)dx3.1.2 生存函数【概念】s(x) =Pr(X x), x 0 , s (x)称为生存函数，表示 0岁的人活过x岁的概率，即在x岁以后死亡的概率。Pr(xX x) - s(x)s(x + 1) s(x)3.1.3 T(x)【概念】1.用(x)表示一个x岁的人，T(x) = X-x表示(x)的未来寿命的随机变量， 即剩余寿命，简称余命。2.3.tqx4.t Px表示x岁的人在x+t岁以前死亡的概率,表示x岁的人在x +t岁时仍活着的概率t|uqx表示x岁的人在活过t年

17、后的u年内死亡的概率5.用生存函数表示死亡率和生存率tq xtPs(x) -s(x t)s(x)s(x t)t|uqs(x)s(x t) - s(x t u)s(x)3.1.4 K(x)【概念】用K(x)表示(x)的取整余命，即K(x) = T(x)Pr(K(x) =k) =Pr(k ；T(x) Mk 1)二k| qx= kPxqxk, k= 0,1,2 s(x k) - s(x k 1)s(x)k =0,1,23.1.5死力【概念】用生存函数的相对变化率来表示死力，有s(x)s(x)Ft。)=Pr(T Mt), t .0=Pr(X x 11 X . x) F(x t)-F(x)1-F(x)s

18、(x) -s(x 1)s(x)T的概率密度函数fT (t) = Fr(t) = -s(x+t) s(x)Hdy【公式】s(x) = ef (t) = p N +=N +e04dsIT (l) t Px x 寸 x4 e3.1.6 s(x)的解析表达式1. de Moivre 假设2. Gompertz彳贸设3. Makeham 假设4. Weibull彳贸设3.2生命表U随机生存群体,亡率、生存人数、死亡人数、平均余命、确定生存群体;、年龄间的寿命分布”单介绍三种常用的插值法：线性插值、几何插值、调和插值;、生命表的类型H民生命表、经验生命表、选择-终极表“、生命表的构造卜算死亡率、修匀死亡率

19、曲线、附加安全幅度、设置极限年龄作业及课后分析P45课题第4章人寿保险的精算现值目的要求通过本章的教学,使学生掌握免缴纯保费的计算原理,熟悉各种保险险种的建缴纯保费计算方法。 使学生具备从事保险精算工作所必 需的建缴纯保费的计算知识,培养学生实际运用更缴纯保费的计算知 识解决实际问题的能力。重点难点本章的重点是定期死亡保险建缴纯保费的计算、终身死亡保险建 缴纯保费的计算、生存保险建缴纯保费的计算、两全保险建缴纯保费 的计算、递增型寿险建缴纯保费，以及递减型寿险建缴纯保费的计算。教法教具课堂讲授ppt课时分配6课时教学内容具体要点如下：4.1死亡即付的人寿保险【概念】在预定利率和死亡率为基础而计

20、算出来的，保险人在未来T时刻支付，勺保险金的数学期望称为未来保险金给付在签单时的精算现值。也称为建缴纯 呆费。x 投保年龄bt -保险金给付函数【符号】vt _ 贴现函数t _ 从签单到死亡的时间长度Z =bvt -未来保险金给付在签单时的现值【公式】1. n年定期保险建缴纯保费A：m = 0n vt &(t)dt =(JtPxfdt2. 终身寿险建缴纯保费A188 1-5i(m)为每一个度量期付m次利息的名义利率11i(m)即每1个度量期支付利息一次，而在每 工个度量期的实际利率为-【例】：若一年为一个度量期， 严=8%的名义利率指的是每季度的实际利率为2%,即每年计息4次的年名义利率为8%。11名义利率与实际利率之间的关系