例谈寻找等量关系的方法

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1、例谈寻找等量关系的三种常用方法方程（组）是解决实际问题的一个有效数学模型.列方程（组）的关键是挖掘出隐含在题目中的等量关系.寻找等量关系有三种常用方法：译式法、列表法和图示法.解题时有意识的学习使用这些方法，可以有效的帮助我们分解难点，寻找出等量关系，进而列出方程（组）求解.一、译式法例1 4辆小卡车和5辆大卡车共27吨；6辆小卡车和10辆大卡车共运货51吨.问小卡车和大卡车每辆每次各运多少吨？分析：本题等量关系比较明显，只需要直接按照题意把日常用语译成代数语言即可.设小卡车和大卡车每辆每次分别运x、y吨.则“4辆小卡车和5辆大卡车共27吨”可翻译成数学式子：；“6辆小卡车和10辆大卡车共运货

2、51吨” 可翻译成数学式子：.由这两个式子组合列出二元一次方程组即可求解.解：略.例2 某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售将赔25元；而按定价的九折出售将赚20元.问这种商品的定价是多少？进价是多少？分析：经济类问题首先要熟记相关公式，弄清定价、售价、进价和利润等各量之间的关系.可设这种商品的定价为x元，进价为y元，则“按定价的七五折出售将赔25元” 可翻译成数学式子： ；“按定价的九折出售将赚20元” 可翻译成数学式子：.把这两个式子组合成方程组即可求解.解：略.评注: 对实际问题不要产生畏惧心理，不要想一口吃个“胖子”，要一步一步走下去，首先，要多看几遍题目，审清题意，先列

3、出“文字”等量关系，然后用代数式逐步替换，当代数式把“文字”替换完了，方程（组）也就列出来了.这种将关键词语译成代数式列方程（组）解决实际问题的方法称为“译式法”.译式法使用非常普遍，对于大多数基础题目较为有效.二、列表法例3 某日小伟和爸爸在超市买12袋牛奶24个面包花了64元.第二天他们又去超市时，发现牛奶和面包均打八折，这次他们花了60元却比上次多买了4袋奶3个面包.求打折前牛奶和面包的单价？分析：设打折前牛奶的单价为x元，面包的单价为y元.可列表如下打折前打折后单价（元）数量（袋或个）费用（元）单价（元）数量（袋或个）费用（元）牛奶x1212x0.8x16160.8x面包y2424y0

4、.8y27270.8y并根据上表可得方程组解：略.评注：列表法是指将题目中数量及其关系填在表格内,再据此逐层分析,找到各量之间的内在相等关系,列出方程（组）的方法.列表时分类整理排列，条理清晰，优点明显.尤其对于题目较为复杂，等量关系较为隐蔽的题目效果较好.三、图示法例4 甲、乙两人都以不变的速度在环形路上跑步.相向而行，每隔2分二人相遇一次；同向而行，每隔6分相遇一次，已知甲比乙跑得快，求甲乙每分各跑多少圈？乙乙甲图1图2甲2x2y6x6y同向相向分析：根据题意可以分别画出甲、乙相向而行、同向而行时的示意图（如图1和图2）如果设甲每分钟跑x圈，乙每分钟跑y圈，根据图1可得；根据图2可得.评注

5、：图示法是指将条件及它们之间的内在联系用简单明了的示意图表示出来,然后据图找等量关系列方程（组）的方法.图示法直观、明了，是解决行程等问题的常用方法.例5 从甲地到乙地的路有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时行3千米，平路每小时行4千米，下坡每小时行5千米，那么从甲地到乙地需行33分，从乙地到甲地需行23.4分，从甲地到乙地的全程是多少？分析： 设上坡路程为x千米，平路路程为y千米，可以用图示法表达出各部分的时间（如图3），也可以列表如下：上坡/下坡平路路程（千米）速度（千米/时）时间（时）路程（千米）速度（千米/时）时间（时）由甲至乙x3y4由乙至甲x5y4还可以根据题意得到 “文字”等量关系:甲乙图3上坡时间平路时间，平路时间下坡时间再译成数学式子.更可以结合使用.综上可以得到方程组.解：略. 评注: 对于较为复杂的题目，可把三种方法结合使用.这三种方法在突破等量关系这一难点问题上，体现的是分步、分层、分散的转化思想，不论容易题、难题，都非常适用.同学们开始接触这些方法时可能觉得有些繁琐，如果有意识加强这方面的训练，形成习惯，自然会省时省力，这类问题也就会迎刃而解了.