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1、第5章 不 定 积 分5. 1 不定积分的概念与性质1原函数（1）设在某区间内有定义，若，则称是的一个原函数（2）若，都是在某区间内的原函数，则 （3）若是的一个原函数，则的所有原函数为2不定积分的所有原函数，称为的不定积分，记为，且 或 或 几何意义：曲线沿轴平移得到的一族积分曲线。各曲线在同一点处的切线平行，且切线的斜率均为。3. 原函数存在的定理设在某区间内连续，则函数在该区间内的原函数一定存在。注意： 函数在区间上连续是其原函数存在的充分条件. 因此初等函数在其定义区间内的原函数必存在。但有些初等函数的原函数虽然存在，却无法用初等函数表示出来。5. 2 积 分 法1. 基本积分表 2.
2、 不定积分法则线性法则 (为常数)第一换元积分法 第二换元积分法 分部积分法 ；分部法推广公式：设，有阶导数，则3积分运算原则常用凑微分形式：； ； ； ； 常用三角公式：； ； ； ； ；5. 3 典型例题解析例1 选择题（1）下列命题中不正确的是（ ）A. 若在内的某个原函数是常数，则在内恒为零；B. 若的某个原函数为零，则的所有原函数都为常数；C. 若在内不是连续函数，则在这个区间内必无原函数；D. 若是的任意一原函数，则必定为连续函数解析 假设为的原函数，必有。A. ,，则 ，所以A正确；B. 若是的一个原函数，则，所以B正确；C. 由于在内连续是原函数存在的充分条件，所以C错误。如在
3、内不连续，是间断点，但有原函数D.存在，说明可导。而可导必连续，所以必定连续。故D正确。（2）下列各式中正确的是（ ）A. B. C. D. 解析 由于不定积分表示无数多个原函数，应含任意常数C，因此A，B都不正确。对D式依不定积分性质可知应有，因此D不正确。由不定积分的性质可知C正确。（3）设是连续函数，是的原函数，则（ ）A.当是奇函数时，必为偶函数B. 当是偶函数时，必为奇函数 C. 当为周期函数时，必为周期函数D.当是单调增函数时，必为单调增函数解析 由于不定积分表示无数多个原函数，应含任意常数C，A正确。A. 偶函数偶函数；B. 奇函数奇函数C. 周期函数的积分未必是周期函数。例如，
4、； D. 的单调性由的符号确定1第一类换元法（微分法）解题思路1 根据被积函数的结构，从中分出一部分，使得，于是，从而得到和对应基本积分公式一致的形式。例2 计算下列积分（1）解 （3）解 （5）解 解题思路2 积分为或，且，则例3 计算下列积分（1）解 （3）解 （4），解 解题思路3 分子分母同乘（或除）一因子，再用凑微分法求解例4 计算下列积分（1）解 （2）解 （4）解 2第二类换元法解题思路（1）利用三角代换，形如，的积分，令，。（2）倒代换：设为分子与分母的最高次幂，当时，令；（3）指数代换：适用于被积函数由构成的代数式。令，。例5 计算下列积分（1）解 令，（3）解 令，（）例6
5、 计算下列积分（1）解法1 令，解法2 （3）解法1 令，解法2 注意：一般地，用倒代换法能解的题，用凑微分法同样可解。例7 计算下列积分（2）解 令，（3）解 令，3分部积分法解题思路（1）凑微分部分函数的选取，一般是三角函数与指数函数优先；三角函数与指数函数优先等级一样；多次分部积分凑微分部分应选取同类函数；有时要移相运算。（2）当被积函数含次数高于1的对数函数和反三角函数时，一般要作变量代换。（3）利用公式：例8 计算下列积分（1）解 （4）解 （2）解 令，（5）解 列表法求解（2）解 令，列表法得（6）解法1 由公式，得移项得 解法2 列表法求解移项得 4. 三角有理式积分解题思路1
6、 利用待定系数法分解被积函数例10 计算下列积分（1）解 由分母表达式，可令 比较系数得，则一般地，（2）（，为整数）解 由于 令，得；令，得解题思路2 利用恒等式：； 例11 计算下列积分（1）解 （3）解 （4）解法1 移项解法2 移项（5）解 解题思路3 尽量使分母简化，常见类型如下； ； 例12 计算下列积分（1）解法1 解法2 原式 解法3 （）（2）解法1 解法2 解题思路4 三角替换法：万能替换法：令，则 例13 计算下列积分 （1）解 令，则（2）解 令，（3）解 令， 5. 有理函数的积分解题思路：假分式 多项式真分式；真分式 部分分式之和例14 计算下列积分（2）解 （3）
7、解法1 原式解法2 原式（4）解法1 解法2 令， ，则6.简单无理函数的积分解题思路：被积函数含 ，令；被积函数同时含 ，令，为的最小公分母。例15 计算下列各题（1）解 令，（2）解 令，则（4）解 7. 抽象函数的积分例16 计算下列各题（1）求解 （3）已知的一个原函数为，求解 （4）设是的原函数，当时，且，试求解 等式两边积分 由，得，又，则 （5）设（不同时为零），求解 移项得 令，得，即8. 分段函数的积分解题思路：若分段函数连续，则原函数必连续，所以在求出各区间的不定积分后，必须由原函数在分界点的连续性确定各积分常数的关系。例17 已知 ，且，求解 令， 由，得；又在连续，有，得 ，故例19 求解 由于在处连续，则解得，故例18 求 解 ，由于原函数的连续性，有 令，得，故
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