线性代数学习矩阵及其运算学习教案

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1、会计学1线性代数学习矩阵线性代数学习矩阵(j zhn)及其运算及其运算第一页，共51页。2为了标明矩阵(j zhn)的行数m和列数n, 可用Amn表示, mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211一般情形(qng xing)下, 用大写黑体字母 A,B,C 等表示矩阵. .)(nmijaA 或记作第2页/共51页第二页，共51页。3例如(lr) 34695301是一个 矩阵,42 421是一个 矩阵。13 9532是一个 矩阵,41 205224263是一个 矩阵。33 第3页/共51页第三页，共51页。4 如果矩阵(j zhn)A=(aij)的行数与列数都等于n, 则称A为 n

2、阶矩阵(j zhn)(或称n阶方阵). nnnnnnaaaaaaaaaA112222111211主对角线副对角线nnnnnnaaaaaaaaaA112222111211 对于n阶方阵(fn zhn)A, 对应一个行列式, 记作|A|或det A. 注意 矩阵与行列式有本质区别：行列式是一个算式, 一个数字行列式表示(biosh)一个数值, 而矩阵是一个数表, 它的行数和列数可以不同. 对于方阵A, 虽有行列式|A|, 但A和|A|是不同的概念, 不能混为一谈。第4页/共51页第四页，共51页。5 同型矩阵与矩阵相等(xingdng)的概念1.两个矩阵的行数相等(xingdng),列数相等(xi

3、ngdng)时,称为同型矩阵.例如(lr) 9348314 736521 与与为同型矩阵.2.两个矩阵 为同型矩阵,并且对应元素相等,即)()(ijijbBaA 与与 , 2 , 1;, 2 , 1njmibaijij 则称矩阵 相等, 记作BA与与.BA 第5页/共51页第五页，共51页。6例 设,131,213321 zyxBA.,zyxBA求求已知已知 解,BA . 2, 3, 2 zyx第6页/共51页第六页，共51页。7 元素全为零的矩阵称为零矩阵， 零矩阵记作 或 .nm nmO o .00000000000000000000 注意: 不同阶数的零矩阵(j zhn)是不相等的.例如

4、(lr)(一) 零矩阵第7页/共51页第七页，共51页。8(二) 上三角形矩阵(j zhn)和下三角形矩阵(j zhn)方阵中， 如果在主对角线之下的所有元素都是零方阵中， 如果在主对角线之下的所有元素都是零( (即当即当ji 时，时，0 ija) )， nnnnaaaaaa00022211211即形如的方阵，称为(chn wi)上三角形矩阵，类似(li s)地， nnnnaaaaaa212221110000下三角形矩阵，OO第8页/共51页第八页，共51页。9 n 00000021(三) 对角(du jio)矩阵如果方阵中非主对角线上的所有元素都是零如果方阵中非主对角线上的所有元素都是零(

5、(即当即当ji 时，时，0 ija) )， 即形如的方阵,称为对角(du jio)矩阵，可记作 .,diag21nA diagonal matrix第9页/共51页第九页，共51页。10 000000(四) 数量(shling)矩阵，单位矩阵即形如的方阵，称为数量(shling)矩阵，当对角矩阵(j zhn)的主对角上的元都相同时，特特别别地地，当当1 时时，称称n阶阶数数量量矩矩阵阵 100010001为为n阶阶单单位位矩矩阵阵，记记作作nE或或E。 第10页/共51页第十页，共51页。11(五) 行矩阵(j zhn)与列矩阵(j zhn)只有(zhyu)一行的矩阵,),(21naaaA 称

6、为(chn wi)行矩阵(或行向量).只有一列的矩阵,21 naaaB称为列矩阵(或列向量).第11页/共51页第十一页，共51页。12 mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111设有两个 矩阵 ，那末矩阵 与 的和记作 ，规定为nm ABBA )()(ijijbBaA 与与第12页/共51页第十二页，共51页。13说明 只有(zhyu)当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.例如(lr) 1234569818630915312 1826334059619583112.98644741113 第13页/共51页第十三页，共

7、51页。14; )1(ABBA . )()( )2(CBACBA mnmmnnaaaaaaaaa112222111211, ,负矩阵负矩阵的的称为矩阵称为矩阵A.A 记为记为.0)( AA显然有)( BABA 定义矩阵的减法：第14页/共51页第十四页，共51页。15.112222111211 mnmmnnaaaaaaaaaA 规规定定为为的的乘乘积积记记作作与与矩矩阵阵数数,AA 第15页/共51页第十五页，共51页。16;)()( )1(AA ;)( )2(AAA .)( )3(BABA 数乘矩阵(j zhn)的运算规律：加法和数乘合称为(chn wi)矩阵的线性运算.（设 为 矩阵， 为

8、数） ,nm BA、第16页/共51页第十六页，共51页。17求 2AB .例1 已知解,412011 A,213122 BBA 2 2131224120112 213122824022 )2(8)1(234)1(0)2(2)2(2.637100 第17页/共51页第十七页，共51页。18例2 已知且A + 2X = B, 求X .解,864297510213 A,612379154257 B)(21ABX 27212244446421.12712111222232 第18页/共51页第十八页，共51页。19 skkjiksjisjijiijbabababac12211 , 2 , 1;, 2

9、 , 1njmi 并把此乘积(chngj)记作.ABC 设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那末规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个 矩阵 ，其中)(ijaA sm ns nm )(ijbB )(ijcC 第19页/共51页第十九页，共51页。20 skkjiksjisjijiijbabababac12211sm ns nm msmmisiisaaaaaaaaa212111211 snsjsnjnjbbbbbbbbb122211111 mnmjminijinjccccccccc111111第20页/共51页第二十页，共51页。21 121113121430415003112101例3. 5 67102

10、6 2 1710第21页/共51页第二十一页，共51页。22 415003112101100010001例4 100010001063802241.063802241 .415003112101 第22页/共51页第二十二页，共51页。23例6 nnbbbaaa2121.2211 nnbababa第23页/共51页第二十三页，共51页。24注意只有(zhyu)当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.例如(lr)， 985123321106861有意义， 106861985123321没意义。而第24页/共51页第二十四页，共51页。25;)()()1(BCACAB ,)()2(

11、ACABCBA ;)(CABAACB )()()()3(kBABkAABk (其中(qzhng)k为数);.)4(AEAAE 注意(zh y)：交换律不成立。首先，AB有意义，不见得BA就有意义；.985123321,106861 BA例如，第25页/共51页第二十五页，共51页。26均有意义，均有意义，、阶矩阵，则阶矩阵，则为为、为为若若BAABmnBnmA ;阶方阵阶方阵为为阶方阵，阶方阵，为为但但nBAmAB,21 naaaA设设, ),(21nbbbB 例如(lr)，),(2121nnbbbaaaAB nnaaabbbBA2121),(,212221212111 nnnnnnbabab

12、ababababababa. )(2211nnababab nn 11 第26页/共51页第二十六页，共51页。27,2142 A, AB,6342 B例如(lr)，结论：矩阵乘法交换律不成立，一般.BAAB 若,BAAB 称A、B可交换，(前提(qint)是A、B为同阶方阵).为同阶方阵，为同阶方阵，、为同阶方阵时，为同阶方阵时，、当当BAABBA但仍不一定有.BAAB 16 32 816, BA0000第27页/共51页第二十七页，共51页。28例7，设设 1011A试求出所有与A可交换的矩阵。解，设设 dcbaB， dcdbcaAB， dccbaaBA则，令令BAAB ，得得dac 0.

13、,0任意任意，baabaB 第28页/共51页第二十八页，共51页。29,000021426342 从前(cngqin)例还可看出(kn ch)，矩阵乘法不满足消去律：OAB OA 或;OB 或ACAB .CB 例如(lr)，,0101 A,3201 B,4001 C,0101 AB.0101 ACOCBA )(左消去律同理没有右消去律：BCAC .BA 第29页/共51页第二十九页，共51页。30定义(dngy)设A为n阶方阵(fn zhn)，则A的方幂定义为 个个kkAAAA ,1AAk .为为正正整整数数k再规定(gudng) .0EA 规律：,lklkAAA .)(kllkAA 其中k

14、，l为任意非负整数。注意 由于没有交换律，一般.)(kkkBAAB 因此，一般2)(BA )(BABA 22BBAABA ,222BABA )(BABA 22BBAABA .22BA 第30页/共51页第三十页，共51页。31例8设,0100 A,0110 B,0011 C,2OA ,2EB .2CC 例9.,001001nAA求求设设 解，设设 000100010BnnBEA)( 22211BCBCEnnnnn ， 0000001002B.3 kOBk，第31页/共51页第三十一页，共51页。32解，设设 000100010BnnBEA)( ， 0000001002B.3 kOBk，2221

15、1BCBCEnnnnn 0000000000000000000002211nnnnnnnCnn .0001221 nnnnnnnnCn 第32页/共51页第三十二页，共51页。33设设mmxaxaxaaxf 2210)( A是一个(y )n阶方阵，定义(dngy)矩阵多项式为.)(2210mmAaAaAaEaAf 是一个(y )多项式，例如，设设35)(2 xxxf， ,3312 A,1215572 AEAAAf25)(2 1001333125121557.0000 第33页/共51页第三十三页，共51页。34下面(xi mian)将线性方程组写成矩阵形式 .,2211222221211121

16、2111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa记系数(xsh)矩阵,212222111211 mnmmnnaaaaaaaaaA,21 nxxxx,21 mbbbb则上述(shngsh)方程组可写为.bAx 第34页/共51页第三十四页，共51页。35定义 把矩阵A的行列互换得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作 . A例10,854221 A;825241 TA ,618 B.618 TB，矩矩阵阵是是若若nmA .矩矩阵阵是是则则mAnT 第35页/共51页第三十五页，共51页。36;)()1(AATT ;)()2(TTTBABA ;)()3(TTkAkA .)()4(

17、TTTABAB (4)可推广(tugung)到多个矩阵:证略.)(1221TTTsTsAAAAAA 第36页/共51页第三十六页，共51页。37设,102324171,231102 BA.)(TAB求求解法(ji f)1 102324171231102AB,1013173140 .1031314170)( TAB例11第37页/共51页第三十七页，共51页。38解法(ji f)2TTTABAB )( 213012131027241.1031314170 设,102324171,231102 BA.)(TAB求求例11第38页/共51页第三十八页，共51页。39对称矩阵(j zhn)与反对称矩阵

18、(j zhn)定义(dngy).A为对称阵为对称阵例如例如 6010861612对称阵的元素以主对角线为对称轴对应(duyng)相等.说明 设A为n阶方阵，如果满足 ，即AAT ), 2 , 1,(njiaajiij 那末A称为对称阵 .第39页/共51页第三十九页，共51页。40定义(dngy).021206160为反对称阵为反对称阵例如例如 A反对(fndu)称阵的对角元全为零 .说明(shumng), 2 , 1,(njiaajiij 那末A称为反对称阵 . 设A为n阶方阵，如果满足 ，即AAT 对称矩阵与反对称矩阵第40页/共51页第四十页，共51页。41例12若A、B为同阶对称阵(反

19、对称阵), 则BAA , 仍为对称(duchn)阵(反对称(duchn)阵) .设B是一个mn矩阵(j zhn), 则BTB和BBT都是对称矩阵(j zhn).因为(yn wi)BTB是n阶方阵, 且(BTB)T同理, BBT是m阶对称矩阵.=BT(BT)T=BTB .A、B为同阶对称阵， AB未必对称；只有A、B可交换， AB才对称。(证明留作练习) 设A是n阶反对称矩阵, B是n阶对称矩阵, 则AB+BA是反对称矩阵. 练习(AB+BA)T= (AB)T+(BA)T=BTAT+ATBT=B(A)+(A)B= (AB+BA) .证第41页/共51页第四十一页，共51页。42定义 由 阶方阵

20、的元素所构成的行列式，叫做方阵 的行列式，记作 或nAAA.detA,8632 A例例8632 A则则. 2 运算(yn sun)性质; )1(AAT ; )2(AkkAn ; )3(BAAB (3) 推广(tugung):.2121ssAAAAAA 特别：.mmAA 第42页/共51页第四十二页，共51页。43P69 习题(xt)二第43页/共51页第四十三页，共51页。44求求所所有有与与 001100010A 可可交交换换的的矩矩阵阵. . 1.2.设设,2TxxEA 其其中中.),(4321Taaaax 若若,1 xxT 求求,TA,2A,TAA,AAT.Ax 4.如果方阵如果方阵A与

21、与B、C均可交换均可交换, , 证明：证明：A与与BC、A与与B+ +C均可交换。均可交换。 3.1 23143210321 ,530140321250AB，求 3A2B .已知第44页/共51页第四十四页，共51页。45123143210321 ,530140321250AB求 3A2B .1. 已知12314321323 03212 53014032125036938642096310602120962410011055101561104196 AB解第45页/共51页第四十五页，共51页。4612314321323 03212 530140321250369386420963106021

22、20962410011055101561104196 AB12314321323 03212 53014032125036938642096310602120962410011055101561104196 AB12314321323 03212 53014032125036938642096310602120962410011055101561104196 AB第46页/共51页第四十六页，共51页。47求求所所有有与与 001100010A 可可交交换换的的矩矩阵阵. . 解设 ihgfedcbaB与A可交换， ihgfedcbaAB001100010, cbaihgfed 0011000

23、10ihgfedcbaBA, hgiedfbac2.第47页/共51页第四十七页，共51页。48, eihdfgbfaecd ihgfedcbaAB001100010, cbaihgfed 001100010ihgfedcbaBA, hgiedfbac所以(suy)。任意任意其中其中cbaacbbaccbaB, , 第48页/共51页第四十八页，共51页。49如果方阵如果方阵A与与B、C均可交换均可交换, , 证明：证明：A与与BC、A与与B+ +C均可交换。均可交换。 3.证,BAAB ,CAAC 已知)(BCACAB)( CBA)( )(ACB )(CAB ,)(ABC 即A与BC可交换(

24、jiohun);)(CBA ACAB CABA ,)(ACB 即A与 B+C 可交换(jiohun).于是(ysh)第49页/共51页第四十九页，共51页。50设设,2TxxEA 其其中中.),(4321Taaaax 若若,1 xxT 求求,TA,2A,TAA,AAT.Ax 4.解TTTxxEA)2( TTTxxE)(2 TxxE2 ;A 2A2)2(TxxE )(442TTTxxxxExxE TTTxxxxxxE)(44 TTxxxxE44 ,E ;2EAAAAATT AxxxxET)2( )(2xxxExT xx2 .x 第50页/共51页第五十页，共51页。51感谢您的观看(gunkn)！第51页/共51页第五十一页，共51页。