凸函数在证明不等式中的应用

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1、 摘要凸性是一种重要的几何性质，凸函数在泛函分析，最优化理论，数理经济学等领域都有着广泛的应用.本文首先给出了凸函数的定义和判定定理，同时讨论了凸函数的几条常用性质，最后重点展示了凸函数在证明不等式中的应用.关键词: 凸函数，凸性，判定定理，不等式AbstractConvexity is an important geometric property. Convex function have extensive applications in functional analysis, optimal theoryand mathematical economy. This article f

2、irst has given the definition of convex function and its decision theorem,meanwhile discussed convex function several commonly used nature，lastly has demonstrated the convex function in inequality proof application.Keywords：convex function，convexity, decision theorem, Jensen inequality1 / 171 引言在数学思

3、想方法中，函数思想是一种很重要的思想方法，其精华在于利用函数的相关性质对讨论的问题进展推理和论证，进而寻求解决问题的途径.凸函数是一类重要的函数，它的概念最早由给出.它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论根底和有力工具.应用研究方面，凸函数作为一类特殊函数，在现代优化学、运筹学、管理学和工程测绘学等多个学科有着重要的意义和很好的应用.在数理经济学中, 对风险厌恶的度量, 也可以表现为对效用函数凸性的选择，函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态，把握函数在区间上的整体性态，不仅可以更加科学、准确地描绘出函数的图象，而且

4、有助于对函数的定性分析.由于凸函数具有较好的几何和代数性质，一些常见的不等式都可以从函数的凸性中导出，对不等式的证明最终归结为研究函数的特性，所以研究凸函数的凸性就显得十分必要了，同时利用凸函数的凸性证明不等式，很容易证明不等式的正确性.因此，正确理解凸函数的定义、性质及其它在证明不等式中的应用，更对有关学术问题进展推广研究起着举足轻重的作用.2 凸函数的根本知识2.1 凸函数的定义大家都熟悉函数的图像，它的特点是：曲线上任意两点间的弧总在这两点连线的下方.我们可以下这样一个定义：设在上有定义，假设曲线上任意两点间的弧总位于连接该两点的线段之下，那么称函数是凸函数.定义1假设函数对于区间的任意

5、以及任意实数，恒有， 1那么称为区间上的凸函数.如果1中的不等式改为严格不等式，那么相应的函数称为严格凸函数.常见的凸函数有：,均为的严格凸函数；均为的严格凸函数.2.2 凸函数的判定定理及其性质引理1 假设为区间上的凸函数，那么对上的任意,有 2定理11设为区间上的可导函数，那么以下论断互相等价：为上凸函数；为上的增函数； 对上的任意两点，有.定理21设为区间上的二阶可导函数，那么在上为凸函数的充要条件是.用定义来直接判断一个函数是不是凸函数，往往是很困难的，但用定理2来判断一个光滑函数是否为凸函数，那么是相当简便的.在实际应用中常常先用导数来肯定函数的凸性，再反过来利用凸性证明不等式.性质

6、12假设是区间上的凸函数，那么对上的任一点,单侧导数皆存在，且，这里表示的全体点组成之集合.证明 因为点,故使得,因为是区间I上的凸函数，故，当递增时,也递增.故由单调有界原理知,下极限存在且(x)=.同理,在此式中，令时,也可知存在,且.性质22假设在区间I上为凸函数，那么在任一点上连续.证明 事实上由性质1知：与存在，所以在处左右都连续.性质32 设函数在区间I上为凸函数，那么在I上的任一闭子区间上有界.证明 设为任一闭子区间，于是有取那么，因为凸函数,所以 ，其中，故在上有上界；记为的中点，那么，有关于的对称点，因为凸函数，所以，从而 ，即为在上的下界.综上，在I上的任一闭子区间上有界.

7、3 凸函数在证明不等式中的应用在许多证明题中，我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一类不等式利用凸函数的性质定理来证明可以非常简洁、巧妙，但关键是构造能够解决问题的凸函数，运用函数的凸性及几个等价论断，使不等式简化进而得以证明.不等式1是区间上的凸函数，对于满足 的任意 ，有： 3凸函数在不等式证明中的应用很大程度上是由Jensen不等式来表达的，每个凸函数都有一个Jensen不等式，因而它在一些不等式证明中有着广泛的应用.利用它可以推出常用的一些重要公式，为证明不等式开辟了一条新路.它还可以有如下两种形式：1总和不等式2设是 的凸函数，那么对 的任意一组值及任意正数 必有不等式： 4当且仅当

8、都相等时等式成立.2积分不等式2设为上的可积函数，而，那么当为凸函数时有 53.1 凸函数在证明一般不等式中的应用一、利用凸函数的定义证明不等式例1 求证：对任意实数，有。证明 设，那么，故为上的凸函数，从而对，由1式有，即.例2 设，证明：。证明 设，那么，由知，故为严格凸函数.令，得，又=0，=1，得，即.二、利用凸函数的性质证明不等式例3 设函数是区间上的凸函数，对于求证：.证明 对,由引理，有，即，令,对上式两边求和，有，整理，得：.例4 设均为正数，且求证：.证明 考虑函数因为，所以是凸函数.假设，由3式，令，那么有，即，又，那么， 由柯西不等式：，得， 综合、两式，可以得到：.3.

9、2 凸函数在证明经典不等式中的应用一、 利用凸函数证明平均值不等式在初等数学中，我们知道调和平均值不大于几何平均值，几何平均值不大于算术平均值，算术平均值不大于平方平均值，其证明通常用到数学归纳法.其实，这些不等式可在凸函数框架下统一证明. 例5 设 ，证明：。 证明 设 ，有，从而，函数在是严格凸函数， 取，由3式，有,即 ,同理取,有 =即 ,于是，,有 .例6 证明，有. 上式称为算术平均值不大于 次平均值，特别的，当，得到算术平均值不大于平方平均值. 证明 考察函数 由于，所以为凸函数，从而对，有 ，在上式中，令，得：，即.二、 利用凸函数证明不等式例7 假设，且，求证不等式：.证明

10、从所求证的不等式的形式来看，不容易直接找到适宜的凸函数，因此，我们要对它进展一定的变形。不妨让不等式两边同取自然对数，那么有，由此很容易找到适宜的凸函数。考察函数，因为，由定理2知在时为凸函数。又，由1式可知于是，即，特别地，当 时，此不等式就是前面例5的结果，即平均值不等式。不等式在泛函分析、偏微分方程中应用很广，其积分形式为.例8 设在上有一阶连续导数，证明当 时，对有.证明 我们知道不等式的积分形式为，令,那么 ,且，那么， 故得证.三、 利用凸函数证明复杂的三角不等式例9 设 ，证明：.证明 取，由知是上的凸函数，由4式得：，所以.特别的：1如果在这个不等式中，令，那么得到； 2如果对

11、于三角形的三个角，那么有.例10 设，证明：.证明 先将原不等式化为 ，因为()为上的凸函数，故当,时，由1式有，令，那么，综合以上两式，得到，即.这道题目很难用初等知识证明，但通过构造凸函数()，巧妙地令,便可很方便的证得.四、 利用凸函数证明不等式例11 设是上的连续凸函数，证明不等式：.证明 由于是上的连续凸函数，由凸函数的定义1式，令，那么，得：，两边积分可得：=，因而 又，假设令，得，所以，又是上的连续凸函数，令，由定义1式，得： ，即，故 ，即由、两式可得.五、 利用凸函数证明积分不等式例12 设在上可积，是上的凸函数，那么.证明 取，由3式，有 ，令，那么有，由于可积，为凸函数，

12、故可积。上式中令取极限，即得到.六、 利用凸函数证明不等式例13 证明：假设及，那么有不等式成立：，当且仅当与成正比例时等号成立.证明 取=，因为，所以在上为凸函数,由4式得:，即，亦即，其中，令那么有，于是有，令，那么有.当与成正比例时，即(为正常数，)，有，当与不成正比例时，不全相等，又因为在为严格凸函数，故严格不等式成立.综上，不等式成立，当且仅当与成正比例时等号成立.例14证明：.证明 设，由知由不等式，有，所以.由于不等式中等号成立的条件是均为常数,而，这实际上是不可能的，所以上式中的等号不成立，即 .总之，对于以上题目很难用初等知识证明，利用凸函数的凸性来研究不等式，比传统方法更简

13、洁，其中关键是巧妙地构造凸函数，假设不能直接找出，那么可以对不等式进展适当的变形，从而到达证明不等式的目的.同样，对于数学分析，泛函分析中的一些重要不等式，利用凸函数也可以建立统一框架，简捷方便地进展证明.反之，那么很难到达同样的效果.完毕语从上述对凸函数的定义、性质的讨论和在一些不等式证明中的应用可知, 凸函数具有一些非常好的性质, 在数学各个领域中都有着广泛的应用.但由于凸函数理论的广泛性, 因此对凸函数理论的研究成果还需进一步的深入和推广.参考文献1华东师大学数学系编.数学分析第三版M.：高等教育,2001.6.148-1532荣春.利用凸函数证明不等式J.师专学报.1998，10(1):1-23徐利治,王兴华.数学分析的方法及例题选讲M.：高等教育,1984.1-44匡继昌.常用不等式M.：科学技术,2004.1-55裴礼文.数学分析中的典型问题和方法M.：高等教育,1993.5.6-10