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1、函数专题（导数内容为主）彬县范公中学 张登峰一、利用导数定义的求解 例1已知f(x)在x=a处可导，且f(a)=b，求下列极限：（1）； （2）解：（1）（2）二、利用导数求函数的极值例 求下列函数的极值：1 ；2 3. 解：函数定义域为R令，得或当或时，函数在和上是减函数；当时，函数在（0，2）上是增函数当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值2令，得当或时，函数在和上是减函数；当或时，函数在和上是增函数当和时，函数有极小值0，当时，函数有极大值解：3解法一：可看成复合而成解法二： 解法三：，三、根据函数的极值确定参数的值例 已知在时取得极值，且（1）试求常数a、b、c的值；（2）试判断是
2、函数的极小值还是极大值，并说明理由解：1解法一：是函数的极值点，是方程，即的两根，由根与系数的关系，得又， （3）由（1）、（2）、（3）解得解法二：由得， （1） （2）又， （3）解（1）、（2）、（3）得2，当或时，当时，函数在和上是增函数，在（1，1）上是减函数当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值四、利用导数求函数的单调区间例 求下列函数的单调区间：1；2；3解：1函数的定义域为R，令，得或函数的单调递增区间为（1，0）和；令，得或，函数的单调递减区间为和（0，1）2函数定义域为令，得函数的递增区间为（0，1）；令，得，函数的单调递减区间为（1，2）3函数定义域为令，得或函数的单
3、调递增区间为和；令，得且，函数的单调递减区间是和五、求解析式并根据单调性确定参数例 已知，且（1）设，求的解析式；（2）设，试问：是否存在实数，使在内为减函数，且在（1，0）内是增函数解：1由题意得，2若满足条件的存在，则函数在内是减函数，当时，即对于恒成立，解得又函数在（1，0）上是增函数，当时，即对于恒成立，解得故当时，在上是减函数，在（1，0）上是增函数，即满足条件的存在六、判断函数在给定区间上的单调性例 函数在区间上是（ ） A增函数，且 B减函数，且 C增函数，且 D减函数，且分析：此题要解决两个问题：一是要判断函数值y的大小；二是要判断此函数的单调性解：解法一：令，且，则，排除A、
4、B由复合函数的性质可知，u在 上为减函数又亦为减函数，故在 上为增函数，排除D，选C解法二：利用导数法（），故y在上是增函数由解法一知所以选C练习：1.已知函数的切线方程为y=3x+1 （）若函数处有极值，求的表达式； （）在（）的条件下，求函数在3，1上的最大值； （）若函数在区间2，1上单调递增，求实数b的取值范围 解：（1）由过的切线方程为： 而过故 由得 a=2，b=4，c=5 （2）当 又在3，1上最大值是13。 （3）y=f(x)在2，1上单调递增，又由知2a+b=0。 依题意在2，1上恒有0，即 当；当；当 综上所述，参数b的取值范围是七、利用导数、数形结合讨论二类方程根的问题导
5、数是是研究函数、方程、不等式等的重要工具。在探求诸如，+2方程的根的问题时，我们利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决。此类题的一般解题步骤是：1、构造函数，并求其定义域。2、求导数，得单调区间和极值点。3、画出函数草图。4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与轴的交点情况求解。一、有关三次方程根的问题：对的根，在特殊情况下，我们可以直接猜出一根，然后转化为，再展开，应用待定系数法即可求出。再对求根得解。如；但大多数三次方程的根不易猜出，这时我们就可以利用导数，数形结合讨论这一类方程根的情况。例1、方程的实根的个数是（ ） 、3 、2 、1 、0分析：此题是一个三次方程，不易猜
6、根。可先构造函数，再通过求导数判断函数的单调性，画出其草图，数形结合分析求解。解：令= 则= = 当或时 0 为增函数 当时 为减函数 =013 故的极大值在轴的下方，如图1，即的图象与轴只有一个交点，原方程只有一个实根。选。例2、已知函数在上是增函数，在上是减函数，若恰有一解，求实数的取值范围。分析：此题给出函数的单调区间，求参数的范围。可通过对函数求导得出其单调区间，它应包含题中给出的单调区间，初步得出的范围。又据恰有一解，即函数值对应惟一值。可先由单调性画出草图，然后数形结合分析求解。解：函数在上是增函数，在上是减函数由得， ， 得由题意 0 即 又在和上递增，在上递减。如图2（图2） 在的值域为 即 据图2可知，若恰有一解，只需 得 结合 的a、b、c，即八、求两变量乘积的最大值例 已知为正实数，且满足关系式，求的最大值分析：题中有两个变量x和y，首先应选择一个主要变量，将表示为某一变量（x或y或其它变量）的函数关系，实现问题的转化，同时根据题设条件确定变量的取值范围，再利用导数（或均值不等式等）求函数的最大值解：解法一：，由解得设当时， 令，得或（舍），又，函数的最大值为即的最大值为解法二：由得，设，设，则 令，得或，此时即当时，
利用导数求函数的极值
