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1、1设曲线积分，因为，所以（B）A. 对任意闭曲线C，; B. 在曲线C不围住原点时，；C. 因与在原点不存在，故对任意的闭曲线C，；D. 在闭曲线C围住原点时I=0，不围住原点时 .2设表示椭圆，方向逆时针，则曲线积分（D）A.B.C.D.03、设L是从点A（1，0）到点B（-1，2）的直线段，则曲线积分（ B ）A. B. C. D.4. 设从点到点的直线，则下列等式正确的是（D） A. B. C. D.5. 设L为从点A（1，1）到点B（1，0）的直线，则下列等式正确的是（ D ）A. B. C. D.6设是从点到点的直线段，则曲线积分( B )。A. B. C. D. 07单连通域D内的
2、函数P(x,y),Q(x,y)具有一阶连续偏导数，则在D内与路径无关的充要条件是在D内恒有（ B ）。A. B. C. D. 8单连通域D内的函数P(x,y),Q(x,y)具有一阶连续偏导数，则在D内与路径无关的充要条件是在D内恒有（ D ）。A. B. C. D. 9.设L是从到的一段，则曲线积分（ B ）A. B. C. D.10. 若曲线积分与路径无关，则常数（ B ）。A. B. C. D.11设L是从点到点的直线段，则 ( C )A. B. C. D. 12曲线弧上的曲线积分和上的曲线积分有关系 ( B )A. B. C. D. 13. 设曲线是从(0,0)到(2,2)的一段弧，则曲
3、线积分（ C ）A. B. C. D. 14.若曲线积分与路径无关，则常数（ B ）A. B. C. D. 15. 设L是从点到点的直线段，则 ( A )A. B. C. D. 16.已知曲线积分与积分路径无关，则必满足条件（C）A. B. C. D. 二、填空题（将正确答案填在横线上）1. 设L为圆周 ，方向为顺时针，则 .2设L是抛物线上点A（0，0）与点B（1，1）之间的一段弧，则曲线积分 .3格林公式 成立的条件是 在D内有一阶连续偏导数 .4.设、在平面上具有一阶连续偏导数，则曲线积分与路径无关 和 ，为某个函数的全微分 是相互等价的.5设L是 平面上点到点的直线，方向是从A到B,则
4、曲线积分= 4 .6设为上从点到（0，0）的曲线弧，则 .7设为由点到点的直线段，则 0 .8. 设L为圆周，方向为顺时针，则 .9. 设为从点到点的直线，则= .10已知有界闭区域的边界是光滑曲线，的方向为的正向，则用第二型曲线积分写出区域的面积公式 .三、解答下列各题(本大题共7小题，每题7分，共49分)1. 求曲线积分 ，其中L是在圆周上由点(0，0)顺时针到点(1，1)的弧段.解：设，取闭合曲线 令，则 由格林公式得， 即 2分于是 3分而 从而 5分因此 7分2.求曲线积分，其中与x轴所围曲线,取正向.解 令点，取闭合曲线， 2分于是 4分 6分 7分3. 求，其中是上从点（0,0）
5、到点（4,8）的弧段.解： 积分沿曲线为，从0到4. 2分所以化为对的积分 5分 7分4.计算，其中L是从A(1，0)沿半圆周逆时针到B(1，0).解：令 则由格林公式， 3分 即 所以， 7分5.证明曲线积分在整个xoy面内与路径无关，并计算积分值。解:由题意，知 ， 所以 ， 2分在整个平面内成立，从而与路径无关。 3分记，取积分路线为平行坐标轴的折线段，即 . 7分6.用格林公式计算 ，其中L为圆周上从点顺时针到点这段曲线.（不用格林公式不得分）解：令，则 2分 取闭区域由上半圆和线段围成则由格林公式 3分 5分而=故 7分7.求曲线积分，其中L为三顶点分别为（0，0），（3，0），（3
6、，2）的三角形边界正向.解：由题意， 积分路线为三角形OMN的边界正向，则有 2分 4分. 7分8.试计算，其中为曲线上相应于从0变到的这段弧.解： 2分 于是 4分 6分 7分9.计算，其中是沿圆周的正向闭路.解：令 则 利用格林公式， 3分其中是：上式 7分10.设L是从点（1，0，1）到点（0，3，6）的直线段，试求三元函数的第一类曲线积分.解 直线的方程为 2分则 ， 4分于是= 7分11.计算，其中的起点为，终点为，路径分别为（1）直线； （2）折线，点为.解：（1）直线AB的方程是 ， 从1到2. 1分所以化为对的积分 3分 4分（2） 6分在上，从1到2，所以 8在上，从1到3，
7、所以 从而 . 8分12.用格林公式和二重积分二种方法计算，其中是以为顶点的三角形区域.解：（1）令由格林公式得，其中 2分 2分于是 所以， 4分（2） 所以， 8分 13设曲线L是从点A（0，1）到点B（1，0）的直线，试求下列曲线积分：（1）、； （2）、 .解：（1）由于L由方程， 2分给出，因此 原式 4分（2）化为对的定积分，L：，从0变到1. 6分所以 原式 =0 8分14.设正向曲线围成的有界闭区域为，（1）证明的面积；（2）设，试用二重积分和（1）中的公式两种方法求面积.（1）证：由题意知，由格林公式有 2分即的面积 4分（2） 解： 用（1）中的公式解积分路线为，其中为，从0到2，为，从0到，为，从2到0 7分所以 . 10分15.证明曲线积分在整个xoy平面内与路径无关，并计算积分值.解：由题意知，且 2分在整个xoy平面内成立，所以该曲线积分与路径无关. 3分取为C点，令为A点，为B点，则该曲线积分沿折线AC，CB积分有 8分16计算，其中L为有向折线OAB，这里O，A，B依次是点（0,0），（1，0），（1,1）.解：令，则 2分 ，从而 与积分路径无关 4分 7分17.试用格林公式和曲线积分二种方法计算，其中为三顶点分别为和的三角形区域的正向边界线.解：法一：令 则 2分由格林公式得， 4分法二： 6分于是 8分
曲线积分与曲面积分解答
