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1、4、二元函数的极值、最值10极值定义 P208 为极大值 为极小值驻点 极值点，需判别设 、 、f 0A 0极小值 0非极值=0不定例1、 求的极值解： ， ， ， ，令 得驻点 ，在 ， 非极值 ， 为 极值点又 为极小值例2、求在闭区域D：， 的最大，最小值。解： ，令 （在D内） 在D的内部函数只有一个驻点 ，在边界 ， 在 ，在， 得： ，即 ，为驻点 比较 ， ，得最大值 ，最小值在实际问题中要求最大，最小值往往带有附加条件，即对函数的自变量除了限制在函数的定义域内外，还有其他的附加条件，这些条件由函数的各自变量之间的一些方程来表示。例3、 求原点到曲线的最大距离此题即在条件下求的最
2、小值问题20条件极值、拉格朗日乘数法 在实际问题中可根据题意来确定最值而不需判别 求在条件下, 的极值 令 称为目标函数,为拉格朗日常数 解得的为可能的极值点例1、求曲面到平面的最短距离解法一、曲面上任一点（x，y，z）到平面的距离 设得： 驻点唯一 解法二、曲面在任一点的切平面法矢量 平面x+y-4z=1的法矢量当时，即得：, 在点处切平面平行已知平面 点到平面距离最短，例2、在曲面位于第一卦限部分上求一点，使该点的切平面与三个坐标面围成的四面体的体积最小。 曲面位于第一卦限部分上任一点（x，y，z）处的平面方程为： 即 ， 四面体体积故令 由 得： 驻点唯一 为所求点。例3、在第一象限内，
3、过椭圆曲线上任一点作椭圆的切线，求诸切线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值。解：在第一象限内曲线上任一点（x，y）处的切线方程为： 切线与两坐标轴的截距分别为若要使S最小，只要最大故设 由 得： 驻点唯一 例4、P212例5.325.33第六章 多元函数的积分10二重积分 1、定义 P225 2、性质 P226其中表示平面区域D的面积 , ，表D的面积 3、几何意义 ， ，则表示以为顶，以D为底的曲顶柱体体积。 4、二重积分在直角坐标下的计算法设用平面截立体得如图所示的曲边梯形其面积 例1、计算二重积分其中D由曲线直线及轴所围成。解：首先画出积分区域D例2、将二重积分化为累次积分，其中D为： (1) 抛物线 及 所围成解： 交点 (2) 圆，所围 (3)，所围， 例3、计算,0y1110 例4、P228，例6.1，6.2，6.3 例5、，则1解：0 例6、2 0例7、交换积分次序 例8、P231例6.5例6.6，6.7(1)，6.8，6.9，6.105、二重积分在极坐标下计算方法例9、计算D： 解： 例10、D：由， 所围。解：例11、 D由 ,及轴所围。得交点 例12、P238例6.136.146.15例13、证明证：又例14、设f(x) 在 a,b上连续且单调增加，试证：证：设 D关于y=x对称 单增 即
高等数学多元函数的积分
