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1、2.3 函数的微分教学目的：掌握微分的定义，了解微分的运算法则，会计算函数的微分，会利用微分形式不变性求函数的导数教学重点：微分的计算, 微分形式不变性，参数方程表示的函数的微分法教学难点：微分的定义，相关变化率教学内容：2.3.1 微分与可微 图 2.6 设边长为的正方形铁片，其面积为假定它受热而膨胀，边长增加，这时面积的增加量为 由图上可看出表示阴影部分的两个小矩形的面积之和，如果很小，则更小，当用近似代替时误差也很小（误差仅为）故有近似公式 定义2.2 设函数在点处可导，是自变量的改变量，称为函数在点处关于的微分，记为注：(1) 微分依赖于函数，点及自变量的改变量；(2) 微分是的线性函
2、数（即与成正比的函数） y T P O x 图 2.7 微分的几何意义如图：曲线在点处的切线PT的方程为若记，则上式成为该式右端恰为微分，因此，微分表示当由变到时曲线在处切线PT相应的纵坐标的改变量，若很小，则函数的改变量与相应的切线的纵坐标的改变量相差甚微： 注：（1）差是关于的高阶无穷小，即，亦即。微分常被称为函数的改变量的线性主要部分，简称线性主部。定义2.3 如果函数在点处的改变量可表为 其中与无关，则称函数在点处是可微的。定理2.6 函数在点处可微函数在点处可导，且证明: 设函数f(x)在点x0可微, 则按定义有 Dy=ADx+o(Dx), 上式两边除以Dx, 得 . 于是, 当Dx
3、0时, 由上式就得到 . 因此, 如果函数f(x)在点x0可微, 则f(x)在点x0也一定可导, 且A=f (x0). 反之, 如果f(x)在点x0可导, 即 存在, 根据极限与无穷小的关系, 上式可写成 , 其中a0(当Dx0), 且A=f(x0)是常数, aDx =o(Dx). 由此又有 Dy =f (x0)Dx+aDx . 因且f (x0)不依赖于Dx, 故上式相当于 Dy=ADx+o(Dx), 所以f(x)在点x0 也是可微的. 以微分dy近似代替函数增量 Dy的合理性: 当f (x0)0时, 有 . 所以 Dy=dy+o(d y). 结论: 在f (x0)0的条件下, 以微分dy=f
4、 (x0)Dx近似代替增量Dy=f(x0+Dx)-f(x0)时, 其误差为o(dy). 因此, 在|Dx|很小时, 有近似等式 Dydy . 自变量的微分: 因为当y=x时, dy=dx=(x)Dx=Dx, 所以通常把自变量x的增量Dx称为自变量的微分, 记作dx, 即dx=Dx. 于是函数y=f(x)的微分又可记作 dy=f (x)dx. 从而有 . 这就是说, 函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数的导数. 因此, 导数也叫做“微商”.2.3.2微分在近似计算中的应用利用近似公式近似计算函数值例1 利用微分求的近似值解 令，则有注：选取是由于很接近于2并且易于计算。例2 利用微分求
5、的近似值解 令（弧度），则 例3 证明当很小时 解 由于很小，故将题中的视为，即求证，令为自变量的改变量于是上式可改写为 ， 其中很小当很小时，类似可证下列近似公式： 2.3.3 微分公式与微分运算法则我们把自变量的微分定义为自变量的改变量，因此可导函数在任一点的微分可写成 基本微分公式：设及都是关于的可导函数，则有： （其中为常数） 例4 求解 2.3.4 微分形式不变性设，且函数在处可导，函数在相应的点处可导，则 由于，故 注意到当是自变量时，函数的微分也具有上述形式，因此，不管是自变量还是因变量，上式的右端总表示函数的微分，这一性质称为微分形式不变性。由此我们有下面公式： 等等，其中可以
6、是自变量，也可以是中间变量。例5求的微分解 例6 求在处的微分解 当时 例7 设方程确定函数。求 . 解 利用微分形式不变性对两端微分有继续微分得化简所以 .由导数公式 和微分公式 我们知道导数是函数微分与自变量微分之商，又由微分形式不变性知也可以是函数的微分，因此我们又把导数称作微商。2.3.5参数方程表示的函数的微分法 设y与x的函数关系是由参数方程确定的. 则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数. 在实际问题中, 需要计算由参数方程所确定的函数的导数. 但从参数方程中消去参数t 有时会有困难. 因此, 我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数. 若x=j(t
7、)和y=y(t)都可导,由导数就是微商，故有 . 这就是参数方程确定的函数的求导公式。例8设，其中为常数，求导数解 例9 求星形线 在时的切线方程解 切点的横坐标和纵坐标分别为和，为求切线的斜率，先求： 在时之值为此即为所求切线的斜率，因此切线方程为2.3.6相关变化率 设x=x(t)及y=y(t)都是可导函数, 而变量x与y间存在某种关系, 从而变化率与间也存在一定关系. 这两个相互依赖的变化率称为相关变化率. 相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系, 以便从其中一个变化率求出另一个变化率. 例10一气球从离开观察员500f处离地面铅直上升, 其速度为140m/min(分). 当气球高度为500m时, 观察员视线的仰角增加率是多少？ 解 设气球上升t(秒)后, 其高度为h, 观察员视线的仰角为a, 则. 其中a及h都是时间t的函数. 上式两边对t求导, 得. 已知(米/秒). 又当h=500(米)时, tan a=1, sec2 a=2. 代入上式得,所以 (弧度/秒). 即观察员视线的仰角增加率是每秒0. 14弧度. 小结：本节讲述了微分的定义，学习了微分的运算和如何利用微分微分形式不变性求函数的导数，熟练掌握微分公式，可以为学习积分学打好基础。作业：习题2.3
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