第1课实数的概念及运算（教师版）

《第1课实数的概念及运算（教师版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第1课实数的概念及运算（教师版）（10页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第1课 实数的概念及运算一、【考纲解读】考 试 内 容了解理解掌握运用有理数有理数、相反数、绝对值数轴、有理数的大小比较有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算实数平方根、立方根、算术平方根开方运算实数及其分类，实数与数轴，实数运算二次根式及其运算近似数与有效数字，科学记数法估算二、【命题规律】实数是中考必考知识点，在考查内容上，主要围绕实数的有关概念。如：相反数、倒数、数轴、绝对值等，还有实数的分类、实数的大小比较和实数的混合运算。不仅考查概念的掌握情况，而且还考查运算能力。这些年又出现了给出结果由学生自行探究计算式结构等类型的开放性、创新性的题目。解决这类问题的关键是准确无误地理解与实

2、数有关的概念，熟练掌握实数大小的比较方法、科学记数法以及实数的运算法则和技巧。三、【知识梳理】1实数的分类：整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数)都是有理数. 有理数和无理数统称为实数.2数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴实数和数轴上的点一一对应.。3绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作a，正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.4相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数a的相反数是-a，0的相反数是0.5有效数字：一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做

3、这个近似数的有效数字.6科学记数法： 如:407000=4.07105,0.000043=4.3105.7大小比较：正数大于0，负数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.8数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂.9平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根10开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方11算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，0的算术平方根是012立方根：一般地，如果

4、一个数x的立方等于a,即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）,正数的立方根是正数;负数的立方根是负数；0的立方根是013开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方14有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数15有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数16有理数乘法法则： 17有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何非0的数都得0；除以一个数等于乘以这个数的倒数18有理数的混合

5、运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的19有理数的运算律： 加法交换律：(a, b,为任意有理数) 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(a, b,c为任意有理数) 乘法法则：（1）交换律 （2） （3） 四、【基础自测】1() ； ；= ；= 2如果“盈利10%”记为+10%，那么“亏损6%”记为（）A、16%B、6% C、+6%D、+4%3如图，是一个数值转换机.若输入数为3，则输出数是 .输入数（ ）2-1（ ）2+1输出数减去54定义一种运算，其规则为ab=，根据这个规则，计算23的值是（）A. B. C.5 D.65已知数轴上A、B两点坐标分别为3

6、、6，若在数轴上找一点C，使得A与C的距离为4；再找一点D，使得B与D的距离为1，则下列何者不可能为C与D的距离（）A、0B、2 C、4D、6五、【题型详解】例1(2013南京)-3的相反数是 ；-3的倒数是 。答案：3；-解析：负数的相反数为正数，绝对值相等，一个数的倒数是将原数分子与分母对换位置。变式：（2013常州）计算（3）= ，|3|= ，（3）1= ，（3）2= 考点：有理数的乘方；相反数；绝对值；有理数的减法分析：根据相反数的定义，绝对值的性质，负整数指数幂，有理数的乘方的意义分别进行计算即可得解解答：解：（3）=3， |3|=3，（3）1=， （3）2=9故答案为：3；3；9点

7、评：本题考查了相反数的定义，绝对值的性质，负整数指数幂，以及有理数的乘方的意义，是基础题例2（2013曲靖）若a=1.9105，b=9.1104，则a b（填“”或“”）考点：有理数大小比较；科学记数法表示较大的数分析：还原成原数，再比较即可解答：解：a=1.9105=190000，b=9.1104=91000，19000091000，ab，故答案为：点评：本题考查了有理数的大小比较和科学记数法的应用，注意：科学记数法化成a10n的形式，其中1a10，n是整数变式：（2013泰州）2013年第一季度，泰州市共完成工业投资22300000000元，22300000000这个数可用科学记数法表示为

8、 考点：科学记数法表示较大的数分析：科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数解答：解：22 300 000 000=2.231010故答案为：2.231010点评：此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值例3（2013淮安）如图，数轴上A、B两点表示的数分别为和5.1，则A、B两点之间表示整数的点共有（） A6 个 B5个 C4个 D3个考点

9、：实数与数轴；估算无理数的大小分析：根据比1大比2小，5.1比5大比6小，即可得出A、B两点之间表示整数的点的个数解答：解：12，55.16，A、B两点之间表示整数的点有2，3，4，5，共有4个；故选C点评：本题主要考查了无理数的估算和数轴，根据数轴的特点，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想变式：（2013菏泽）如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别是a、b、c，其中AB=BC，如果|a|b|c|，那么该数轴的原点O的位置应该在（）A点A的左边 B点A与点B之间C点B与点C之间

10、 D点B与点C之间或点C的右边考点：数轴分析：根据绝对值是数轴上表示数的点到原点的距离，分别判断出点A、B、C到原点的距离的大小，从而得到原点的位置，即可得解解答：解：|a|b|c|，点A到原点的距离最大，点B其次，点C最小，又AB=BC，原点O的位置是在点C的右边，或者在点B与点C之间，且靠近点C的地方故选D点评：本题考查了实数与数轴，理解绝对值的定义是解题的关键例4（2013苏州）计算：解答：解：=1+1+3=3考点：实数的运算；零指数幂分析：按照实数的运算法则依次计算，注意：（1）3=1，（+1）0=1，=3点评：此题主要考查了实数运算，本题需注意的知识点是：负数的立方是负数，任何不等于

11、0的数的0次幂是1变式：（2013菏泽）计算：解答：解：（1）原式=2+；考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值分析：求出每部分的值，再代入求出即可；点评：本题考查了二次根式的性质，零整数指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值六、【课后练习】基础巩固1（2013盐城）如果收入50元，记作+50元，那么支出30元记作（）A+30 B30 C+80 D80解：收入50元，记作+50元，支出30元记作30元故选B本题考查了正数和负数的知识，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量2（2013苏州）|2|等于（）A2 B2 C D解：根据绝对值的性质可知：

12、|2|=2故选A此题考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际运算当中绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是03（2013曲靖）实数a、b在数轴上的位置如图所示，下列各式成立的是（）A0 Bab0 Cab0 Dab0解：由图可知，2a1，0b1，A、0，正确，故本选项正确； B、ab0，故本选项错误；C、ab0，故本选项错误； D、ab0，故本选项错误故选A本题考查了实数与数轴，有理数的乘除运算以及有理数的减法运算，判断出a、b的取值范围是解题的关键根据数轴判断出a、b的取值范围，再根据有理数的乘除法，减法运算对各选项分析

13、判断后利用排除法求解4（2013南通）某市2013年参加中考的考生人数约为85000人，将85000用科学记数法表示为（）A8.5104 B8.5105 C0.85104 D0.85105解：85 000=8.5104故选A此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值是易错点，由于85000有5位，所以可以确定n=51=45（2013淮安）在1，02，1四个数中，最小的数是（）A1 B0 C2 D1解：在1，02，1四个数中，最小的数是2；故选C本题考查了有理数的大小比较，其方法如下：（1）负数0正数；（

14、2）两个负数，绝对值大的反而小6（2013常州）在下列实数中，无理数是（）A2 B3.14 C D解：A、2是有理数，故本选项错误； B、3.14是有理数，故本选项错误；C、是有理数，故本选项错误；D、是无理数，故本选项正确故选D主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，2等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001，等有这样规律的数7（2013泰州）9的平方根是 解：3的平方是9，9的平方根是3此题主要考查了平方根的定义，要注意：一个非负数的平方根有两个，互为相反数，正值为算术平方根8（2013鄂州）若|p+3|=0，则p=3解：|p+3|=0，p+3=0，解得p=3故答

15、案为：3本题考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是09（2013镇江）计算：（2）= 解：（2）=1；故答案为：1此题主要考查了有理数的乘法，关键是熟练掌握有理数的乘法法则，注意符号的判断根据有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，即可得出答案10（2013六盘水）H7N9禽流感病毒的直径大约为0.0000000805米，用科学记数法表示为 米（保留两位有效数字）解：0.000 0000 805=8.051088.1108，故答案为：8.1108此题主要考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方

16、法11（2013台湾）判断之值会介于下列哪两个整数之间？（）A22、23B23、24C24、25D25、26考点：估算无理数的大小分析：先算出与的积，再根据所得的值估算出在哪两个整数之间，即可得出答案解答：解：=，又2425，之值会介于24与25之间，故选C点评：本题考查了估算无理数大小，掌握的大约值是解题的关键，是一道基础题12（2011长沙）已知a，b20110，c(2)，求abc的值考点：实数的运算分析：因为a3，b201101，c(2)2，所以原式3124解答：当a3，b201101，c(2)2时，原式3124点评：对于实数的简单运算题，应熟练地掌握二次根式的化简、绝对值的定义、负整数

17、指数幂及零指数幂的意义、特殊角的三角函数值等知识，因是这类试题是中考的高频考题，也大都是送分题，在中考试卷中属于低档题即容易题13计算（2013连云港）计算：解：=5+16，=0此题主要考查了实数运算，本题需注意的知识点是：负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，任何不等于0的数的0次幂是1 （2013南通）计算：解：=13=3主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、绝对值、二次根式等考点的运算。（2013宿迁）计算：解：原式=12+2=12+1=0本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键是掌握

18、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值等考点的运算 能力提升14（2013咸宁）在数轴上，点A（表示整数a）在原点的左侧，点B（表示整数b）在原点的右侧若|ab|=2013，且AO=2BO，则a+b的值为 解：如图，a0b|ab|=2013，且AO=2BO，ba=2013，a=2b，由，解得b=671，a+b=2b+b=b=671故答案是：671本题考查了数轴、绝对值以及两点间的距离根据已知条件得到a0b是解题的关键15（2013潍坊）对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，例如，若，则的取值可以是（ ）.A.40 B.45 C.51 D.56答案：C考点:新定义问题.点评:本题需要学生先

19、通过阅读掌握新定义公式，再利用类似方法解决问题.考查了学生观察问题，分析问题，解决问题的能力.16(2013南京)计算：(1-)(+)-(1-)(+)的结果是 。答案：解析：设x+，则原式（1x）（x）（1x）x17（2013绵阳）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），现用等式AM=（i，j）表示正奇数M是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2013=（ ）A（45，77） B（45，39） C（32，46） D（32，23）解析第1组的第一个数为1，第2组的第一个数为

20、3，第3组的第一个数为9，第4组的第一个数为19，第5组的第一个数为33将每组的第一个数组成数列：1，3，9，19，33 分别计作a1,a2,a3,a4,a5an， an表示第n组的第一个数，a1 =1a2 = a1+2a3 = a2+2+41a4 = a3+2+42a5 = a4+2+43an = an-1+2+4(n-2)将上面各等式左右分别相加得：a n =1+2(n-1)+4(n-2+1)(n-2)/2=2n2-4n+3 (上面各等式左右分别相加时，抵消了相同部分a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + + a n-1)，当n=45时，a n = 3873 2013 ,2013

21、不在第45组当n=32时，a n = 1923 2013 ,(2013-1923)2+1=46,A2013=(32,46).如果是非选择题：则2n2-4n+32013，2n2-4n-20100，假如2013是某组的第一个数，则2n2-4n-2010=0，解得n=1+ ,3132,32n33, 2013在第32组，但不是第32组的第一个数，a32=1923, (2013-1923)2+1=46.(注意区别an和An)18（2013河北）定义新运算：对于任意实数a，b，都有aba(ab)+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如： 252(25)+1 2(3)+1 6+15=-+ （1）求（2）3的值（2）若3x的值小于13，求x的取值范围，并在图13所示的数轴上表示出来.解析：（1）=10+1 =11（2）13数轴表示如图1所示10