第二章z变换学习教案

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1、会计学1第二章第二章z变换变换(binhun)第一页，共94页。第1页/共94页第二页，共94页。信号和系统信号和系统(xtng)的分析方法有的分析方法有两种：两种： 时域分析方法时域分析方法变换域分析方法变换域分析方法连续时间信号与系统连续时间信号与系统(xtng) LT FT离散时间信号与系统离散时间信号与系统(xtng) ZT FT第2页/共94页第三页，共94页。 一、一、ZT的定义的定义(dngy),( :),()(21zzXnxnnznxzX)()( z 是复变量，所在的复平面是复变量，所在的复平面(pngmin)称为称为z平面平面(pngmin)第3页/共94页第四页，共94页。

2、( )nnx n zM 第4页/共94页第五页，共94页。12( )( )0 x nnnnx nn其它21Z ( )( )nnn nX zx n z其 变换：0Rocz 至少为： Re zIm jz0第5页/共94页第六页，共94页。 除除0和和两点是否收敛两点是否收敛(shulin)与与n1和和n2取值情况有关外，整个取值情况有关外，整个z 平面均收敛平面均收敛(shulin)。11(1)111( )()(1)( 1)nnX zx n zx nzxz22(1)0122(0)(1)(1)()nnxzxzx nzx n zz0 0, 021时，nnz0 0, 021时，nnz0 0, 021时，

3、nn 如果如果n20 ，则收敛，则收敛(shulin)域不包括域不包括点点 如果n10 ，则收敛(shulin)域不包括0点如果如果n10n2，收敛域不包括，收敛域不包括0 、点点第6页/共94页第七页，共94页。11( )( )0 x nnnx nnn110:0:xxnRoc RznRoc Rz 当时， 当时，Re zIm jz0 xRz 包括处10n 因果序列因果序列(xli)的的z变换必在变换必在处收敛处收敛在在处收敛的处收敛的z变换，变换， 其序列其序列(xli)必为因果序列必为因果序列(xli)阿贝尔定理(dngl)第7页/共94页第八页，共94页。0001100nnnnnna xx

4、xxa xxxx若幂级数在收敛，则在内都收敛若幂级数在 发散，则幂级数在都发散第8页/共94页第九页，共94页。220( )( )nnx nx nnn220:00:0 xxnRoczRnRoczR当时， 当时，Re zIm jz0 xR20n 第9页/共94页第十页，共94页。n为任意值时皆有值:xxxxxxRRRocRRRoc RzR当时， 当时，Re zIm jz0 xRxR10z( )( )( )nnnnX zx n zx n z其 变换：Roc: 0 xzR前式Roc: xRz 后式第10页/共94页第十一页，共94页。例例1znZT0 , 1收敛收敛(shulin)域应是整个域应是整

5、个z的闭的闭平面平面1 nnzn第11页/共94页第十二页，共94页。例例2：求：求x(n)=RN(n)的的z变换变换(binhun)及其收敛域及其收敛域Re zIm jz0X(z)=( )=( )nnNnnx n zRn z解：10=Nnnz2 1,.,1rjNzerN零点：01zN极点： （）阶: 0Rocz 122111nnnnn nqqqq111Nzz21nq 时须满足11(1)NNzzz第12页/共94页第十三页，共94页。例例3：求：求x(n)=anu(n)的变换的变换(binhun)及其收敛域及其收敛域Re zIm jz0a0X(z)=( )=( )=nnnnnnnnx n za

6、 u n za z解：0z 零点：za极点：: Rocza111az11az当时第13页/共94页第十四页，共94页。Re zIm jz0aX(z)=( )=(1)nnnnnx n za unz 解：0z 零点：za极点：: Rocza111111a za zaz11a z当时11=nnnnnna zaz例例4：求：求x(n)=-anu(-n-1)的变换的变换(binhun)及其收敛域及其收敛域第14页/共94页第十五页，共94页。10X(z)=( )=nnnnnnnnnnnx n za za za z解：10=nnnnnna za z11nnnaza zaz11/azza1011nnna z

7、az11azza例例5：求：求x(n)=a|n|，a为实数为实数(shsh)，求，求ZT及其收敛域及其收敛域第15页/共94页第十六页，共94页。Re zIm jz0a1/a211(1)1( )11(1)()azzaaX zazazazza当时，0,z 零点：1,za a极点：: 1/Rocaza1X( )az当时，无公共收敛域，不存在第16页/共94页第十七页，共94页。n左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有限极点所在圆之内第17页/共94页第十八页，共94页。Re zIm jz0abcRe zIm jz0abcRe zIm jz0abcRe zIm jz0abc第18页/共94页第十九页

8、，共94页。( )( )x nIZT X zz反变换反变换: 从从X(z)中还原中还原(hun yun)出原序列出原序列x(n)( ) ( )( )nnX zZT x nx n z第19页/共94页第二十页，共94页。mzznkzzncnmkzzXsorzzXsdzzzXjnx)(Re)(Re)(21)(111Re zIm jz0 xRxRCRe ( )() ( )rrz zrz zs F zzz F z第20页/共94页第二十一页，共94页。收敛(shulin)域内环绕原点的一条反时针方向的闭合单围线。,0,xxxxRzRRR （）( )nnxxnX zC zRzR11( )2nncCX z

9、 zdzj Re zIm jz0 xRxRC0, 1, 2,n 第21页/共94页第二十二页，共94页。11( )( )(,)2nxxcx nX z zdzcRRj 1( )( )nF zX z z( )Re ( )kz zkx ns F z( )Re ( )mz zmx ns F z 利用留数定理利用留数定理(dngl)求围线积求围线积分，令分，令 若若F(z)在围线在围线c上连续上连续(linx)，在，在c内有内有K个极点个极点zk，则：，则：Re ( )() ( )rrz zrz zs F zzz F z单阶极点的留数：单阶极点的留数：第22页/共94页第二十三页，共94页。2( ) 1

10、/44(4)(1/4)zX zzzz例1：，求其z反变换Re zIm jz0C41/4211( )(,)2(4)(1/4)nxxczx nzdzcRRjzz 解：211( )(4)(1/4)(4)(1/4)nnzzF zzzzzz其中：11( )4nF zcz 当时在围线 内只有一阶极点14( )Re ( )zx ns F z1141()4 (4)(1/4)nzzzzz415n第23页/共94页第二十四页，共94页。11( )(1)04nF zcznz 当时在围线 内有一阶极点和-阶极点4( )Re ( )zx ns F z 14441/4nzzzzz 2415ncz=4F(z)而围线 外只有

11、一阶极点，且的分母多项式阶次高于分子多项式阶次两次以上244( )(1)(2)1515nnx nu nun Re zIm jz0C41/4第24页/共94页第二十五页，共94页。2( ) 4(4)(1/4)zX zzzz例2：，求其z反变换Re zIm jz0C41/4解： 收敛域是圆的外部 lim( )1X(z)z=zX z 又，即在处收敛( )( )00 x nx nn是一个因果序列，即，( )x n是右边序列10( )c(4)(1/4)0( )0nznF zzzx n同样当时，由在 外无极点，且分母阶次比分子阶次高两阶以上，由围线外极点留数为 可得第25页/共94页第二十六页，共94页。

12、0n 当时1( )(4)(1/4)nzF zzz144cz在围线 内有一阶极点， Re zIm jz0C41/441/4( )Re ( )Re ( )zzx ns F zs F z111441(4)()114(4)()(4)()44nnzzzzzzzzzz21(44)15nn21( )(44) ( )15nnx nu n思考：n=0,1时，F(z)在围线c外也无极点，为何( )0 x n 第26页/共94页第二十七页，共94页。NMnrNkrkkikkknnzzCzzAzBzAzBzX01111)1 (1)()()( 常见常见(chn jin)序列的序列的ZT参见书参见书p.54页的表页的表2

13、-1若函数若函数X(z) 是是z的有理分式的有理分式(yu l fn sh)，可表示为：，可表示为： 利用部分分式的利用部分分式的z反变换和可以得到函数反变换和可以得到函数X(z) 的的z反变换。反变换。( )Re1,2,kkz zX zAskNrz用留数定理求系数：第27页/共94页第二十八页，共94页。1125( ) 2316zX zzzz例：，求z反变换Re zIm jz032 23353123zzX zAReszzzz 112255516623zzzX zzzzzzz解： 1252323X zAAzzzzz 12252123zzX zAReszzzz第28页/共94页第二十九页，共94

14、页。 1123X zzzz 111123121 3zzX zzzzz23z11( )1nZT a u nzaaz11(1)1nZT a unzaaz1112z2( )nu n2z 111 3z3(1)nun 3z 231nnx nu nun 第29页/共94页第三十页，共94页。例例2 2设设利用部分分式利用部分分式(fnsh)(fnsh)法求法求z z反反变换。变换。2|,)5 . 01)(21 (1)(11zzzzX5 . 031234)5 . 0)(2()(2zzzzzzzzX)()5 . 0(31234)(nunxnn解：解：第30页/共94页第三十一页，共94页。一般一般X(z)是有

15、理分式是有理分式(yu l fn sh)，可利用分，可利用分子多项式除分母多项式（长除法法）得到幂级数子多项式除分母多项式（长除法法）得到幂级数展开式，从而得到展开式，从而得到x(n)。nnzxxzxznxzX1) 1 ()0() 1()()(第31页/共94页第三十二页，共94页。降幂排列n左边序列正幂级数升幂排列xzRxzR第32页/共94页第三十三页，共94页。例例1 1111 azzX)(az ROC1:)11 az111 az1 az221 zaaz22 za. 2211zaaz111 az. 2211zaaz,.,21aanx 长除法长除法(chf)(chf)示例示例解：由解：由R

16、ocRoc判定判定x(n)x(n)是因果序列，用长是因果序列，用长除法除法(chf)(chf)展成展成z z的负幂级数的负幂级数第33页/共94页第三十四页，共94页。az ROC2:0 ,.,12aanx111 az. 221zaza)11 az1za1 221zaaz 22za. 221zazaza11 解：由解：由RocRoc判定判定x(n)x(n)是左边序列是左边序列，用长除法，用长除法(chf)(chf)展成展成z z的的正幂级数正幂级数第34页/共94页第三十五页，共94页。2( ) 1/44(4)(1/4)zX zzzz例：，求z反变换解：解：X(z)的的Roc为环状，故为环状，

17、故x(n)是双边序列是双边序列 极点极点z=1/4对应右边序列，极点对应右边序列，极点z=4对应左边序列对应左边序列 先把先把X(z)展成展成(zhn chn)部分分式部分分式161( )1515(4)()41/41/4X zzzz zzz第35页/共94页第三十六页，共94页。116( )151/44zzX zzz22233416164 44 zzzzzzzz 23144zzz1114114161 141 146 zzzzz 12111416zz第36页/共94页第三十七页，共94页。2123111( )141544X zzzzzz 1+16244( )( )(1)1515nnx nu nu

18、n201114154nnnnnnzz第37页/共94页第三十八页，共94页。1 1、线性性、线性性)()()()(zbYzaXnbynax)()(zXzNnxN)()(azXnxan)()(zXdzdznnxR1R2R|a|RR2 2、序列、序列(xli)(xli)的移位的移位3 3、z z域尺度变换域尺度变换(binhun)(binhun) （乘以指数序列）（乘以指数序列）4 4、 z z域求导域求导 （序列线性加权）（序列线性加权）第38页/共94页第三十九页，共94页。)(lim)0(zXxz)() 1(lim)(1zXzxz)1()(zXnx5 5、翻褶序列、翻褶序列(xli)(xli

19、)()(zXnx1/RR6 6、共轭序列、共轭序列(xli)(xli)7 7、初值定理、初值定理8 8、终值定理、终值定理第39页/共94页第四十页，共94页。)()()()(zYzXnynx9 9、有限、有限(yuxin)(yuxin)项项累加特性累加特性nmzXzzmxny0)(1)()(dvvHvzXjnhnxc)()(21)()(dvvvHvXjnhnxcn1)1()(21)()(ZTZT的主要性质的主要性质(xngzh)(xngzh)参见书参见书p.69p.69页的表页的表2-22-21010、序列的卷积和、序列的卷积和1111、序列乘法、序列乘法1212、帕塞瓦定理、帕塞瓦定理第4

20、0页/共94页第四十一页，共94页。1LSI ( )( )(1) ( )( )nnnh nb u nabu nx na u n例：已知系统的单位抽样响应：，求系统输入的响应。( ) ( )( ) nzX zZT x nZT a u nzaza解：1( ) ( )( )(1)nnH zZT h nZT b u nabu n1( )(1)nnZT b u naZT bu n1 zzzaazzbzbzbzb( )( )( ) zY zX z H zzbzb( )( )* ( ) ( )( )ny nx nh nIZT Y zb u nRe zIm jz0ba第41页/共94页第四十二页，共94页。)

21、()()()(jXtxsXtxaFTaaLTannsTastaaLTnaaenTxdtetxsXnTtnTxtx)()()()()()(连续信号采样连续信号采样(ci yn)后的拉氏变换后的拉氏变换LT第42页/共94页第四十三页，共94页。)()(nTxnxannznxzX)()(sTez 当当)()(| )(sXeXzXasTezsT两变换两变换(binhun)(binhun)之间的关系，就是由复变量之间的关系，就是由复变量s s平平面到复变量面到复变量z z平面的映射，其映射关系为平面的映射，其映射关系为zTsezsTln1,对比对比(dub)(dub)：nnsTaaenTxsX)()(

22、第43页/共94页第四十四页，共94页。jjs sj je ez zTereeereTTjTTjj,)(1sTez 第44页/共94页第四十五页，共94页。T 辐射线辐射线= =0 0T T平行直线平行直线 =0 0正实轴正实轴=0实轴实轴 =0Z平面平面S平面平面: :/TT: :3 /TT /3 /TT: : :第45页/共94页第四十六页，共94页。)()() 1 (sXzXa与kaksaezksaakTjsXTjksXTzXjksXTsXsT)2(1)(1| )()(1)()()()2(jXzXa与kaaTjezkTjjXTjXeXzXTj)2(1)()(| )(抽样抽样(chu yn

23、)(chu yn)序列在单位圆上的序列在单位圆上的z z变换，就等于其理变换，就等于其理想抽样想抽样(chu yn)(chu yn)信号的傅里叶变换信号的傅里叶变换第46页/共94页第四十七页，共94页。jez 在以后的讨论中，将用数字频率在以后的讨论中，将用数字频率(pnl)w(pnl)w来作为来作为z z平平面上单位圆的参数，即面上单位圆的参数，即ssfffT2所以说，数字频率是模拟角频率的归一化值，或是所以说，数字频率是模拟角频率的归一化值，或是(hu sh)(hu sh)模拟频率对抽样频率的相对比值乘以模拟频率对抽样频率的相对比值乘以2p2pkajezTkjXTeXzXj)2(1)(|

24、 )(第47页/共94页第四十八页，共94页。一、一、DTFT的定义的定义(dngy)变换变换(binhun)对：对：)()(jDTFTeXnx njnjenxeX)()(deeXnxjnj)(21)(称为称为离散时间傅里叶变换（离散时间傅里叶变换（DTFT）。）。第48页/共94页第四十九页，共94页。)()(nxenxjwn如果引入冲激函数，一些绝对如果引入冲激函数，一些绝对(judu)不可和的不可和的序列，如周期序列，其傅里叶变换可用冲激函数序列，如周期序列，其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来。的形式表示出来。第49页/共94页第五十页，共94页。二、比较二、比较(bjio)ZT和和

25、DTFT的的定义：定义：dweeXdzzzXjnxenxzXeXjwnjznnjwnezjj)(21)(21)()(| )()(1|1 利用利用ZT和和DTFT的关系的关系(gun x)可以有可以有ZT计算计算DTFT。 序列序列(xli)的傅里叶变换是序列的傅里叶变换是序列(xli)的的z变换在单位圆上的值变换在单位圆上的值第50页/共94页第五十一页，共94页。notherwise,Nn,(n)Rx(n)N010111011zzzX(z)NNnnjjNjeeeX11)(NjjjjNjNjNjjeNeeeeeeeX2)1(222222)2sin()2sin()()()()2sin()2sin

26、()(NeXj2) 1()(N ( (类似类似(li s)Sa(.)(li s)Sa(.)函数函数 ) )( (线性相位线性相位(xingwi) (xingwi) 解：解：DTFT幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性：第51页/共94页第五十二页，共94页。零极点图(N=8)Z平面11jj)(nRNn0N-11)(X022N=8N第52页/共94页第五十三页，共94页。例例2 2、已知、已知 ( ), ( ),计算计算(j (j sun)sun)其其DTFTDTFT。,)( :)()(nuanfn1a)sin)cos1 (111)(0jaaeeaeFjnjnnjFTDTZTazzFeFjje

27、zezj111)()(由此可以由此可以(ky)得到得到FT的幅频特性和相频特性的幅频特性和相频特性aaeFjcos211)(2)cos1sin()(1aatg第53页/共94页第五十四页，共94页。物理说明物理说明(shumng): (shumng): 若若 ( (语音信号处理中常用该指语音信号处理中常用该指数数 函数展宽单音信号的频谱函数展宽单音信号的频谱) ,) ,该信号该信号3db3db带宽带宽 ( (或或 ) )。具体求。具体求 解过程如下：解过程如下： 令令 即即 可解出可解出kHz, f.as89940Hzf15rad.cc006021)F(e)F(ejjC021a)(aaC121

28、cos2112rad.C0060Hz ffsc152)(nf)(jeFn022.a1121c第54页/共94页第五十五页，共94页。kaTajTkjXTjXeX)2(1| )()(kajkjXeX)2()(归一化归一化 利用利用FT与与DTFT关系关系(gun x)计算下列序列的计算下列序列的 DTFT 1)()cos()()(30210nx;nnx;enxnj例：例：第55页/共94页第五十六页，共94页。解：解：1） )(2)()(0110jXetxFTtj DTFTnjenx0)(1mjmeX)2(2)(01)()(cos000tFT )2()2(cos)(0002 mDTFTmmnnx

29、)(2)(1)(33jXtxFT DTFTnx)(3mjmeX)2(2)(32）3）第56页/共94页第五十七页，共94页。)()()()(22112211jjeFaeFanfanfa)()(*jjeXeX1 1、线性性：、线性性：)(Re2)()()(jeeXnxnxnx)(Im2)()()(joeXjnxnxnx0)()(0jnjeeXnnx2 2、实序列、实序列(xli)(xli)：实偶性：实偶性：实奇性：实奇性：3 3、时移特性、时移特性(txng)(txng)：第57页/共94页第五十八页，共94页。)()()(00jnjeXnxe)()(jeXddjnnx4 4、乘以指数、乘以指数

30、(zhsh)(zhsh)序列序列 （调制性）（调制性）5 5、序列、序列(xli)(xli)线性加线性加权权)()(jeXnx6 6、序列、序列(xli)(xli)翻褶翻褶)()(jeXnx7 7、序列共轭、序列共轭第58页/共94页第五十九页，共94页。)()()()(jjeYeXnynxdeYeXeYeXnynxjjjj)()(21)()()()()(jnd)X(e(n)x2221deYeXnynxjjn)()(21)()(*DTFT的主要性质的主要性质(xngzh)参见书参见书p.78页的表页的表2-39 9、帕色伐尔定理、帕色伐尔定理(dngl)(dngl)：(Parseval The

31、ory)(Parseval Theory)频域卷积在一周期频域卷积在一周期(zhuq)(zhuq)内积分内积分, ,称周期称周期(zhuq)(zhuq)卷积。卷积。第59页/共94页第六十页，共94页。jjd)be)(ae(I11111b,ajnjnbeu(n)baeu(n)a1111解：根据解：根据(gnj) (gnj) debeaenubnuajnjjnn)1)(1 (121)()(222200000ba|bau(n)|bu(n)aInnmmnmnnn利用利用(lyng)(lyng)时域卷积定理有：时域卷积定理有：上式卷积上式卷积n=0时就是积分时就是积分I的值。的值。第60页/共94页第

32、六十一页，共94页。00),2(20injieq 复指数序列复指数序列ejw0n的傅里叶变换的傅里叶变换(binhun)，是，是以以w0为中心，以为中心，以2p的整数倍为间距的一系列冲的整数倍为间距的一系列冲激函数，其积分面积为激函数，其积分面积为2pq 思考，思考，DTFTcos(w0n+f)、 DTFTsin(w0n+f)第61页/共94页第六十二页，共94页。2、常数、常数(chngsh)序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换iiiin)2(2)(1q 常数序列常数序列(xli)的傅里叶变换，是以的傅里叶变换，是以w=0为中心，为中心，以以2p的整数倍为间距的一系列冲激函数，其积分面的整数倍为

33、间距的一系列冲激函数，其积分面积为积为2p3、周期、周期(zhuq)为为N的抽样序列串的傅里叶变的抽样序列串的傅里叶变换换kikNNiNn)2(2)(q 周期为周期为N的周期性抽样序列，其傅里叶变换是频的周期性抽样序列，其傅里叶变换是频率在率在2 /N的整数倍上的的整数倍上的一系列冲激函数之和，一系列冲激函数之和，这些冲激函数的积分面积为这些冲激函数的积分面积为2/N/N第62页/共94页第六十三页，共94页。4、一般性的周期为、一般性的周期为N的周期性序列的周期性序列(xli)的傅里叶变的傅里叶变换换kkkNjkjkijkNkXNkNeXNkNNeXnxkNNiNneXnx)2()(2)2(

34、)(2)2(2)()()2(2)()()(2iiiNnnxiNnxnx)()()()(第63页/共94页第六十四页，共94页。1021021022)()()()()(NnnkNjNnnkNjNnkNnjkNjenxenxenxeXkXq 周期性序列周期性序列 （周期为（周期为N）的傅里叶变换是）的傅里叶变换是一一系列冲激函数串，其冲激函数的积分面积等于系列冲激函数串，其冲激函数的积分面积等于 乘以乘以，而，而 是是x(n) 的一个周期的一个周期的傅里的傅里叶变换叶变换X(ej )在频域中在频域中 2/N/N的整数倍的各抽样的整数倍的各抽样点上的抽样值。点上的抽样值。)(nx)(kX)(kX)(

35、nxq即：即：第64页/共94页第六十五页，共94页。kkNkXNnxDTFT)2()(2)(1021020201020)(1)2()(1)2()(1)2()(221)(NkknNjNknjnjNknjkekXNdekNkXNdekNkXNdekNkXNnx 满足满足mmnz0 2/Nnz0 2/N从从00之前之前zhzhinin开始抽样；开始抽样；在在22之间结束抽样；之间结束抽样；此区间共有此区间共有N N个抽样值：个抽样值：0 0 k k N1N1第65页/共94页第六十六页，共94页。周期周期(zhuq)序列的序列的DFS正变换和反正变换和反变换变换21100( ) ( )( )( )

36、NNjnknkNNnnX kDFS x nx n ex n W2110011( )( )( )( )NNjnknkNNkkx nIDFS X kX k eX k WNN2jNNWe其中：其中：第66页/共94页第六十七页，共94页。*( )()eex nxn*( )()oox nxn ( )( )( )eox nx nx n共轭反对共轭反对(fndu)称称序列：序列： 任意序列可表示成任意序列可表示成xe(n)和和xo(n)之和之和:*1( ) ( )()2ex nx nxn*1( ) ( )()2ox nx nxn其中：其中：定义：定义：第67页/共94页第六十八页，共94页。*1()()(

37、)()2jjjjeeX eXeX eXe*1()()()()2jjjjooX eXeX eXe 其中：其中：()()()jjjeoX eXeXe()jX e同样，同样，x(n)的的Fourier变换变换 也可分解成：也可分解成：第68页/共94页第六十九页，共94页。( )()jx nX eRe ( )()jex nXeIm ( )()jojx nXe( )Re()jex nX e( )Im()jox njX e第69页/共94页第七十页，共94页。Re ( )()()jjex nX eX eIm ( ) 0()0jojx nX e( )Re ()jex nX e( )Im ()jox njX

38、 e第70页/共94页第七十一页，共94页。*()()()jjjeX eX eX e实数序列的实数序列的Fourier变换满足共轭对称性变换满足共轭对称性Re()Re()jjX eX eIm()Im()jjX eX e 实部是实部是的偶函数的偶函数虚部是虚部是的奇函数的奇函数()()jjX eX earg()arg()jjX eX e 幅度是幅度是的偶函数的偶函数幅角是幅角是的奇函数的奇函数第71页/共94页第七十二页，共94页。( )( ) ( )( )( )nnY zH zZT h nh n zX z其中其中(qzhng)：y(n)=x(n)*h(n) Y(z)=X(z)H(z)系统的系统

39、的频率响应频率响应 ：()jH e()( ) ( )jjz eH eH zDTFT h n 单位圆上的系统函数单位圆上的系统函数,单位抽样响应单位抽样响应h(n)的的DTFT第72页/共94页第七十三页，共94页。H(z)须从单位圆到须从单位圆到的整个的整个(zhngg)z域内域内收敛即系统函数收敛即系统函数H(z)的全部极点必须在单位圆的全部极点必须在单位圆内内xRz1 1）因果：）因果：2 2）稳定：）稳定：( )nh n 序列序列h(n)绝对可和，即绝对可和，即( )nnh n z 而而h(n)的的z变换的变换的Roc：1z 3 3）因果稳定：）因果稳定：RocRoc：第73页/共94页

40、第七十四页，共94页。/4/4/6/60.2,0.2,0.4,2,2,1.5jjjjeeee例：一LSI系统的极点有： 问什么情况下，系统为因果系统， 什么情况下，系统为稳定系统Re zIm jz0140.2je40.2je0.41.562je62je2z 解：因果系统： 0.41.5z稳定系统：第74页/共94页第七十五页，共94页。00()()NMkmkma y nkb x nm00( )( )NMkmkmkma z Y zb zX z101101(1)( )( )/( )(1)MMmmmmmNNkkkkkb zc zH zY zX zKa zd z取取z变换变换(binhun)则系统函数

41、则系统函数第75页/共94页第七十六页，共94页。LSI311( )(1)(2)( )(1)483( )( )123y ny ny nx nx nx ny n例：已知离散系统的差分方程：（设系统初始状态为零)其中：为输入，为输出。）求系统函数，指出系统的零极点；）若该系统是因果稳定的，指出系统的收敛域；）求该因果稳定系统的单位抽样响应。第76页/共94页第七十七页，共94页。z解：1）对差分方程两边取 变换：121311( )( )( )( )( )483Y zz Y zz Y zX zz X z1112111111( )33( )3111( )1114824zzY zH zX zzzzz11

42、1, 0 , 324zz 零点：极点：系统函数：212z ）由于系统为因果稳定系统， 故收敛域： Re zIm jz00.50.2511/3第77页/共94页第七十八页，共94页。 111131131111241124zzH zzzzzz 121311112424zH zAAzzzzz 1121211103112324zzzH zAReszzzz3)H(z)h(n) 对求z反变换即得单位抽样响应， 用部分分式法第78页/共94页第七十九页，共94页。 214141173114324zzzH zAReszzzz 10733( )1124zzH zzz1: 2-12Rocz 根据，查表得 10 1

43、7 1( )323 4nnh nu n第79页/共94页第八十页，共94页。0( )jnx nen 000()( )( )( )jn mjnjmmmy nh m eeh m e00()jnjeH e第80页/共94页第八十一页，共94页。0( )cos()x nAn000( )() cosarg()jjy nA H enH e2）LSI系统对正弦系统对正弦(zhngxin)序列序列的稳态响应的稳态响应输出同频输出同频 正弦序列正弦序列幅度受频率响应幅度幅度受频率响应幅度 加权加权相位为输入相位与系统相位响应之和相位为输入相位与系统相位响应之和()jH e0第81页/共94页第八十二页，共94页

44、。( )( )* ( )y nx nh n()()()jjjY eX eH e1( )()()2jjj ny nH eX eed1( )()2jj nx nX eed其中：其中：1()2jj nX eed微分增量（复指数）：微分增量（复指数）：第82页/共94页第八十三页，共94页。1()11111(1)()( )(1)()MMmmNMmmNNkkkkc zzcH zKKzd zzd()arg()11()()()()jMjmjj NMjjH emNjkkecH eKeH eeed频率响应频率响应(pn l xin yn)：第83页/共94页第八十四页，共94页。mjjmmmcece kjjkk

45、kdedl e 11arg()arg()MNjmkmkH eKNM令令幅角：幅角：11()MmjmNkkH eKl幅度：幅度：第84页/共94页第八十五页，共94页。第85页/共94页第八十六页，共94页。( )( )nh na u n ( )( )(1) 1y nx nay naa例：设一阶系统的差分方程：， 为实数 求系统的频率响应。1z( )1( ) ( )1Y zH zzaX zaz解：两边求 变换，得 11()1(1cos)sinjjH eaeaja21/2()(12 cos)sinarg()arctan1cosjjH eaaaH ea 幅度响应：相位响应：第86页/共94页第八十七

46、页，共94页。第87页/共94页第八十八页，共94页。2( )( )(1)(2).y nx nax na x n例：设系统的差分方程(0a1)：110(1)()MMkkax nMa x nk1MM这就是个单元延时及个抽头加权后相加所组成的电路，常称之为横向滤波器，求其频率响应。第88页/共94页第八十九页，共94页。21,2,.,1jiMizaeiM零点：，1110( )( )z1( ) 01()MMMMMkkMkx nna zzaH za zzazzza解：令，两边取 变换( )( )01( )0nnh nanMh nn当输入为，则输出为其它0(1)zMza极点：， 阶，处零极点相消第89页

47、/共94页第九十页，共94页。第90页/共94页第九十一页，共94页。有限有限(yuxin)长单位冲激响应（长单位冲激响应（FIR）系）系统：统： 单位冲激响应单位冲激响应h(n)是有限是有限(yuxin)长序列长序列第91页/共94页第九十二页，共94页。0001( )1MMmmmmmmNNkkkkkkb zb zH za za z0ka IIR系统：至少有一个系统：至少有一个0ka FIR系统：全部系统：全部0b全极点系统全极点系统（自回归系统，自回归系统，AR系统系统） ：分子只有常数：分子只有常数项项0b零极点系统零极点系统（自回归滑动平均系统，自回归滑动平均系统，ARMA系统系统）:分子不止常数项分子不止常数项收敛域收敛域 内无极点，是全零点系统内无极点，是全零点系统0z （滑动平均（滑动平均(pngjn)系统，系统，MA系统）系统）第92页/共94页第九十三页，共94页。00( )()()MNmkmky nb x nma y nk0ka IIR系统：至少有一个系统：至少有一个有反馈环路有反馈环路(hun l)，采用递归型结，采用递归型结构构0ka FIR系统：全部系统：全部无反馈无反馈(fnku)环路，多采用非递归环路，多采用非递归结构结构第93页/共94页第九十四页，共94页。