导数专题一：极限

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1、专题一：极限1.1数列的极限目标：理解数列极限的概念；会计算一些简单数列的极限。重点：会计算一些简单数列的极限难点：数列极限的理解一、引入： 1.战国时代哲学家庄周所著的庄子天下篇引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去（1）可以求出第天剩余的木棒长度(尺)；（2）前天截下的木棒的总长度 (尺) 分析变化趋势.2. 观察下面数列的变化趋势 共同点：存在常数，当无限增大时，无限接近于。这一类数列统称为“收敛数列”， 则为数列的极限。不具备这一条件的数列则为发散数列。如数列，均为发散数列。定义1： 一般地，如果当项数无限

2、增大时，无穷数列的项无限趋近于某个常数（即无限趋近于），那么就说数列以为极限，或者说是数列的极限记作，读作“当趋向于无穷大时，的极限等于”“”表示“趋向于无穷大” 有时也记作：当时，理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数的无限增大，数列的项无限地趋近于某个常数”的意义有两个方面：一方面，数列的项趋近于是在无限过程中进行的，即随着的增大越来越接近于；另一方面，不是一般地趋近于，而是“无限”地趋近于，即随的增大而无限地趋近于0.问题：如何用数学的语言描述数列的收敛或发散？收敛或发散的数列有什么样的性质？如果数列收敛，如何求其极限？.对于收

3、敛的数列，当充分大时，充分接近于，即可以充分的小。如数列，观察可得：；此时；即当充分大时，可以充分的小，或要使足够的小，只要让充分大即可。如要使，显然只要；如果要，只要；如果要求，只要，.一般，对于任意小的正数，要使，只要；记，则当时，必有，从而有。定义2：，当时，若有 ，则称数列 收敛，并且以为极限，记作：（或）。注：的任意小性，的存在性，且不是唯一的，一般越小，越大；的图示：以上描述极限的方式称为语言，是对数列极限的精确数学描述，有很高的理论价值，还可以用来讨论验证一些极限问题。二、几个重要极限： （1）；（2）（是常数）； （3） (为常数)。当时，；当或时，不存在。三、典型例题：例1判

4、断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由。（1）1， ；（2），；（3）2，2，2，2，；（4）0.1，0.01，0.001，；（5）1,1，1，； 2.92.72.52.32.12.012.0012.000128.41.7.296.255.254.414.044.0044.00044例2. (1) ，（2）若，则的取值范围是 。A组练习：1下列命题正确的是（ ）1.11.31.51.71.91.991.9991.999921.211.692.252.893.613.96013.9963.99964数列没有极限； 数列的极限为0；数列的极限为； 数列没有极限；A B. C. D.

5、 2.下列数列，不存在极限的是( )A. B. C.1，1，1，1，(1)n， D. 1.2函数的极限目标：1.理解当，及，时函数的极限的概念. 2. 会求函数在一点处的左右极限3.理解函数在一点处的极限与左右极限的关系重点：从函数的变化趋势来理解极限的概念，体会极限思想.难点：对函数在一点处的极限与左右极限的关系的正确理解.一、引入：1. 我们先来看函数，画出它的图象，或者列表观察.当取正值并无限增大，和当取负值并绝对值无限增大时，函数值的变化趋势. (1)函数的图象：(2)列表:11010010001000010000010.10.010.0010.00010.00001-1-10-100

6、-1000-10000-100000-1-0.1-0.01-0.001-0.0001-0.00001从图中或表中可以看出，当取正值增大时，的值趋于0；当取负值并绝对值增大时，的值也趋于0.2. 探讨函数，当无限趋近于2时的变化趋势当从右侧趋近于2时, 记为：;当从左侧趋近于2时，记为：发现（左极限）,（右极限）,因此有函数极限的定义:1. 趋向于无穷的函数极限概念：(1)当自变量取正值并且无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向于正无穷大时，函数的极限是.记作：，或者当时，.(2)当自变量取负值并且绝对值无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向于负无穷大时，函数的极限是.记

7、作或者当时，.(3)如果且，那么就说当趋向于无穷大时，函数f(x)的极限是，记作：或者当时，.注意：存在，表示和都存在，且两者相等.所以中的既有+，又有的意义，而数列极限中的仅有+的意义 2. 趋向于定值的函数极限概念：当自变量无限趋近于（）时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向时，函数的极限是，记作 3. 左、右极限：其中表示当从左侧趋近于时的左极限，表示当从右侧趋近于时的右极限 二、典型例题：例1分别就自变量趋向于+和的情况,讨论函数的变化趋势. 例2(1)讨论,当无限趋近于1（）时的变化趋势:,当从左侧趋近于1时，即时，当从右侧趋近于1时, 即时，即（左极限），（右极限） (2)分段

8、函数当的变化趋势.从的左边无限趋近于，则的值无限趋近于1.即从的右边无限趋近于，则的值无限趋近于1. 即可以看出，并且都不等于象这种情况，就称当时，的极限不存在A组练习：1.判断下列函数的极限：（1）（2） （3） （5）（6）2.求下列函数在处的极限（1）（2）1.3极限的四则运算目标：掌握数列与函数极限的四则运算法则，并会求简单的函数的极限重点：运用函数极限的运算法则求极限。难点：正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想 一、教学内容：1. 数列极限的运算法则:如果那么;特别：若为常数，则推广：上面法则可以推广到有限多个数列的情况

9、如，若，有极限，则 2. 函数极限的运算法则：如果，那么; 也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）.说明：当是常数，是正整数时:,这些法则对于的情况仍然适用. 二、典型例题：例1. 求下列极限（1） （2） 解：（1）（2）求某些函数在某一点处的极限值时，只要把代入函数的解析式中，就得到极限值。这种方法叫代入法.例2. 求下列极限（1） （2）分析：这个题目如果用代入法做，则分子、分母都为0，所以不能求解.将分子分母因式分解，利用定义域可约去公因式，化简再求极限.解：（1）（2）评析

10、：当用代入法时，分子、分母都为0，可对分子、分母因式分解，约去公因式来求极限.就是先要对原来的函数进行恒等变形.称因式分解法.例3. (1) . (2) . (3) (4) (5) 解：(1) .规律：一般地，当分子与分母是关于的次数相同的多项式时，这个公式在时的极限是分子与分母中最高次项的系数之比.(2) (3) (4) 求分析：当时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算解：(5) 求解：例4. 求下列极限（1） （2）解：（1）.（2）小结 ：.求函数的极限要掌握几种基本的方法.代入法；因式

11、分解法；分子、分母同除x的最高次幂；有理化法.A组练习：1.求下列数列的极限:（1） (2).；（3）；（4） (5). ；（6） ；2.求下列函数的极限:（1）;（2）;（3）;（4）（5）;（6）（7） （8）1.4函数的连续性目标：理解函数在一点连续须满足的三个条件的基础上，会判断函数在一点是否连续.重点：函数在一点连续必须满足三个条件难点：函数连续与存在极限的区别于联系一、教学内容：如果我们给出一个函数的图象，从直观上看，一个函数在一点处连续，就是说图象在点处是不中断的.下面我们一起来看一下几张函数图象，并观察一下，它们在处的连续情况，以及极限情况.分析图，第一，看函数在是否连续.第二

12、，在是否有极限，若有与的值关系如何：图(1)，函数在连续，在处有极限，并且极限就等于.图(2)，函数在不连续，在处有极限，但极限不等于，因为函数在处没有定义.图(3)，函数在不连续，在处没有极限.图(4)，函数在处不连续，在处有极限，但极限不等于的值.函数在点处连续必须满足下面三个条件.(1)函数在点处有定义；(2)存在；(3)，即函数在点处的极限值等于这一点的函数值.那么函数在处连续.由于区间是由点构成的，只要函数在开区间内的每一个点都连续，那么它在开区间内也就连续了. 二、典型例题：例1下面我们直接从图中，观察函数处是否连续，并说出理由. A组练习：1利用下列函数的图象，说明函数在给定点处

13、是否连续.，点2为何值时，函数，在点连续。B组选做题1.已知ab1，则的值是_.2.无穷数列（k=1,2,3,）的各项和是_.3.在数列an中，若 (3n1)an=1,则nan=_.4.设数列an，bn均为等差数列，（公差都不为零），=3,则=_.5.已知（anb）=0，则a=_,b=_.6.已知无穷等比数列an的首项为a1，公比为q且有（，则首项a1的取值范围是_.7. 数列的极限存在，则角的范围是 。8判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由。（1）无穷数列（2）9.数列的前项和为，且，求的值。10. 求下列无穷等比数列各项的和： 11求（1）（2）12. 求下列极限:（1） ；（2）13. (1)求无穷等比数列0.3， 0.03， 0.003， 各项的和;(2)将无限循环小数化为分数.