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1、导数中的常见错误吴川一中 段东寿一、误认为导数为零的点一定是极值点 例1函数在处有极值，求,b的值 错解由题意得，且，即，解得或 分析：是可导函数在处有极值的必要条件而非充分条件只有加之附近导数的符号相反，才能判定在处取得极值，因此上述解法在解出,的值后，还应检验和分别在附近导数符号的变化情况经检验只有,符合条件 二、误认为极值只能在导数为零的点处取得 例2求函数的极值 错解：由于，于是令，得当时，；当时，所以当时，函数有极大值 分析：在确定极值时，只讨论满足的点附近导数的符号变化情况是不全面的，在导数不存在的点处也可能存在极值在上述解法中，显然忽视了讨论和处左右两侧导数的符号变化情况，从而产
2、生了丢根现象正确的结果还应包括在和处函数取到极小值0 三、判断单调性时忽视特殊情况 例3已知函数在上是减函数，求实数的取值范围 错解：因为在上是减函数，所以在上恒成立，即解得，所以的取值范围为 分析：恒成立的充要条件并不是在上是减函数事实上， 当时，则： 当时，； 当时， 而函数在处连续，因此在上是减函数同理可知当时，在上是减函数，所以的取值范围为 四、误用求导法则 例4的导数是_ 错解： 分析：应分情况求导 （）当时，；（）当时，故 例5求的导数 错解：设，则 正解：设，则 五、求曲线的切线方程时审题不细 例6求曲线过原点的切线方程 错解：，设切线的斜率为，则，所以所求曲线切线方程为 分析：“过某点”与“在某点处”是不同的，在某点处的切线表明此点是切点,而过某点的切线，此点并不一定是切点 正解：，设切线的斜率为（）当切点是原点时，所以所求曲线的切线方程为（）当切点不是原点时，设切点是，则有，又，由、得，故所求曲线的切线方程为 例7考察在点处的切线 错解：，显然在处的导数不存在，所以曲线在该点处没有切线分析：处的导数不存在，这说明曲线在点处的切线斜率趋于无穷大，倾斜角为，所以在点处的切线方程为2
导数中的常见错误
