现代控制理论实验指导书

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1、现代控制理论实验指导书 武汉理工大学自动化学院实验一 系统的传递函数阵和状态空间表达式的转换一、实验目的1 学习多变量系统状态空间表达式的建立方法、了解统状态空间表达式与传递函数相互转换的方法；2 通过编程、上机调试，掌握多变量系统状态空间表达式与传递函数相互转换方法。二、实验要求学习和了解系统状态方程的建立与传递函数相互转换的方法；三、实验设备1 计算机1台2 MATLAB6.X软件1套。四、实验原理说明设系统的模型如式(11)示。 (11)其中A为nn维系数矩阵、B为nm维输入矩阵 C为pn维输出矩阵，D为传递阵，一般情况下为0，只有n和m维数相同时，D=1。系统的传递函数阵和状态空间表达

2、式之间的关系如式(12)示。 (12)式(1.2)中，表示传递函数阵的分子阵，其维数是pm；表示传递函数阵的按s降幂排列的分母。五、 验步骤1 据所给系统的传递函数或（A、B、C阵），依据系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的关系如式(12)，采用MATLA的file.m编程。注意：ss2tf和tf2ss是互为逆转换的指令；2 在MATLA界面下调试程序，并检查是否运行正确。3 例1.1 已知SISO系统的状态空间表达式为(13)，求系统的传递函数。 (13)程序:%首先给A、B、C阵赋值；A=0 1 0;0 0 1;-4 -3 -2;B=1;3;-6;C=1 0 0;D=0;%状态空间表达式

3、转换成传递函数阵的格式为num,den=ss2tf(a,b,c,d,u)num,den=ss2tf(A,B,C,D,1) 程序运行结果:num = 0 1.0000 5.0000 3.0000den = 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000从程序运行结果得到:系统的传递函数为: (14)4 例1.2 从系统的传递函数(1.4)式求状态空间表达式。程序:num =0 1 5 3; %在给num赋值时，在系数前补0，必须使num和den赋值的个数相同；den =1 2 3 4;A,B,C,D=tf2ss(num,den)程序运行结果:A = B = -2 -3 -4 1 1 0

4、0 0 0 1 0 0C = D =1 5 3 0由于一个系统的状态空间表达式并不唯一, 例1.2程序运行结果虽然不等于式(13)中的A、B、C阵，但该结果与式(13)是等效的。不防对上述结果进行验证。5 例1.3 对上述结果进行验证编程%将例1.2上述结果赋值给A、B、C、D阵；A =-2 -3 -4;1 0 0; 0 1 0;B =1;0;0;C =1 5 3;D=0；num,den=ss2tf(A，B，C，D,1)程序运行结果与例1.1完全相同。六、 实验要求 在运行以上例程序的基础上，应用MATLAB对(15)系统仿照例1.2编程，求系统的A、B、C、阵；然后再仿照例1.3进行验证。并

5、写出实验报告。 (15)提示：num =0 0 1 2；0 1 5 3；实验2 多变量系统的能控、能观和稳定性分析一、实验目的1 学习多变量系统状态能控性及稳定性分析的定义及判别方法；2 学习多变量系统状态能观性及稳定性分析的定义及判别方法；3 通过用MATLAB编程、上机调试，掌握多变量系统能控性及稳定性判别方法。二、实验要求1 掌握系统的能控性分析方法。2 掌握能控性分析方法。3 掌握稳定性分析方法。三、实验设备1 计算机1台2 MATLAB6.X软件1套。四、实验原理说明1 设系统的状态空间表达式 （21）系统的能控分析是多变量系统设计的基础，包括能控性的定义和能控性的判别。系统状态能控

6、性的定义的核心是：对于线性连续定常系统（21）,若存在一个分段连续的输入函数U（t），在有限的时间（t1-t0）内，能把任一给定的初态x（t0）转移至预期的终端x（t1），则称此状态是能控的。若系统所有的状态都是能控的，则称该系统是状态完全能控的。2 系统输出能控性是指输入函数U（t）加入到系统，在有限的时间（t1-t0）内，能把任一给定的初态x（t0）转移至预期的终态输出y（t1）。能控性判别分为状态能控性判别和输出能控性判别。状态能控性分为一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A是对角标准形或约当标准形的系统，状态能控性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能控

7、性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。输出能控性判别式为： （22）状态能控性判别式为： （23）系统的能观分析是多变量系统设计的基础，包括能观性的定义和能观性的判别。系统状态能观性的定义：对于线性连续定常系统（21）,如果对t0时刻存在ta，t0ta，根据t0，ta上的y(t)的测量值，能够唯一地确定S系统在t0时刻的任意初始状态x0，则称系统S在t0时刻是状态完全能观测的，或简称系统在t0，ta区间上能观测。状态能观性分为一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A是对角标准形或约当标准形的系统，状态能观性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能观性分为一般判别是

8、应用最广泛的一种判别法。状态能控性判别式为： （24）3 只要系统的A的特征根实部为负，系统就是状态稳定的。式(12)又可写成： (2.5)当状态方程是系统的最小实现时，系统的状态渐近稳定与系统的BIBO（有界输入有界输出）稳定等价；当时，若系统状态渐近稳定则系统一定是的BIBO稳定的。五、实验步骤1 先调试例2.1、例2.2系统能控性、能观性程序，然后根据所给系统的系数阵A和输入阵B，依据2.3能控性、能观性判别式，对所给系统采用MATLA的file.m编程；在MATLA界面下调试程序，并检查是否运行正确。2 调试例2.3系统稳定性分析程序，验证稳定性判据的正确性。3 按实验要求，判断所给的

9、具有两个输入的四节系统的能控性。例2.1：已知系数阵A和输入阵B分别如下，判断系统的状态能控性， 程序：A = 6.6667 -10.6667 -0.3333 1.0000 0 1 0 1.0000 2; B=0; 1; 1; q1=B; q2=A*B; %将AB的结果放在q2中 q3=A2*B; %将A2B的结果放在q3中， Qc=q1 q2 q3 %将能控矩阵Qc显示在MATLAB的窗口Q=rank(Qc) %能控矩阵Qc的秩放在Q程序运行结果:Qc = 0 -11.0000 -85.0003 1.0000 1.0000 -8.0000 1.0000 3.0000 7.0000Q = 3从

10、程序运行结果可知，能控矩阵Qc的秩为3=n，所以系统是状态能控性的。例2.2：已知系数阵A和输入阵C分别如下，判断系统的状态能观性。， 程序：A = 6.6667 -10.6667 -0.3333 1.0000 0 1 0 1.0000 2; C=1 0 2; q1=C; q2=C*A; %将CA的结果放在q2中 q3=C*A2; %将CA2的结果放在q3中， Qo=q1; q2; q3 %将能观矩阵Qo显示在MATLAB的窗口Q=rank(Qo) %能观矩阵Qo的秩放在Q程序运行结果:Qo = 1.0000 0 2.0000 6.6667 -8.6667 3.6667 35.7782 -67

11、.4450 -3.5553Q =3从程序运行结果可知，能控矩阵Qo的秩为3=n，由式（24）可知，系统是状态完全能观性的。例2.3：已知系数阵A、B、和C阵分别如下,分析系统的状态稳定性。 (26) 根据题义编程:A=0 1 0;0 0 1;-4 -3 -2;B=1;3;-6;C=1 0 0;D=0;z,p,k=ss2zp(A,B,C,D,1)程序运行结果:z = -4.3028 -0.6972p = -1.6506 -0.1747 + 1.5469i -0.1747 - 1.5469ik = 1由于系统的零、极点均具有负的实部，则系统是BIBO稳定的；又因为状态方程是系统的最小实现，系统的状

12、态渐近稳定与系统的BIBO稳定等价，所以系统是状态渐近稳定的。六、实验要求在运行以上例程序的基础上，编程判别下面系统的能控性。 提示：从B阵看，输人维数m=2，Qc的维数为n(mn)=36,而Q=rank(Qc)语句要求Qc是方阵，所以先令，然后Q=rank(R)。 要求调试自编程序，并写出实验报告。实验三 系统设计：状态观测器的设计一、实验目的1 了解和掌握状态观测器的基本特点。2 设计状态完全可观测器。二、实验要求 设计一个状态观测器。三、实验设备1 计算机1台2 MATLAB6.X软件1套四、实验原理说明设系统的模型如式(31)示。 (31)系统状态观测器包括全阶观测器和降阶观测器。设计

13、全阶状态观测器的条件是系统状态完全能观。全阶状态观测器的方程为： (32)五、实验步骤1 在MATLA界面下调试例3.1程序，并检查是否运行正确。例3.1：， ， (33)首先验证系统是状态完全能观的，设状态观测器的增益阵为Kz=k1 k2T 根据题义编程:A=0 1;-2 -1;B=0;1;C=1 0;D=0;num,den=ss2tf(A,B,C,D,1); %求出原系统特征多相式denf=1 6 9; %希望的极点的特征多相式k1=den(:,2)-denf(:,2) %计算k1=d1-a1k2=den(:,3)-denf(:,3) %计算k2=d2-a2程序运行结果:k1 =-5 k2 =-7所以，状态观测器的增益阵为Kz=k1 k2T=-5 7T。则状态观测器的方程为2 实验要求已知系数阵A、B、和C阵分别如式(34)示,设计全阶状态观测器，要求状态观测器的极点为-1 -2 -3上 (34)设计全阶状态观测器，要求状态观测器的极点为-1 -2 -3。1 对系统式(3.4)所示系统，采用例3.1的思路，用MATLAB编程求状态观测器的增益阵Kz=k1 k2 k3T ；2 改变Kz=k1 k2 k3的值，测试，观察其变化，并与比较，说明变化规律。3 要求写出实验报告。