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1、第20讲 圆与圆知识纵横圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形,判定两圆的位置关系有如下二种方法：1. 通过两圆交点的个数确定；2. 通过两圆的半径与圆心距的大小量化确定。为了沟通两圆,常常添加与两圆都有联系的一些线段,如公共弦、公切线、连心线,以及两圆公共部分相关的角和线段,这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线。例题求解例1如图,相距的两点、在直线上,它们分别以的速度在上同时向右平移,当点、分别平移到点、的位置时,半径为的与半径为的相切,则点平移到点所用的时间为_.20XX嵊州市中考题思路点拨 两个动圆,移动圆心,的半径大小改变,两动圆内切或外切,故应全面讨论。例2如图,圆心
2、为、的三圆彼此相切,且均与直线相切。若的半径分别为,则一定满足的关系式为 。天津市竞赛题思路点拨 从两圆相切位置关系入手,分别探讨两圆半径和分切线的关系,解题的关键是作圆的基本辅助线。例3如图,在矩形中,点从开始沿折线一以的速度移动,点从开始沿边以的速度移动。如果点、分别从、同时出发,当其中一点到达时,另一点也随之停止运动,设运动时间为。（1） 为何值时,四边形为矩形？（2） 如图,的半径都是,那么为何值时,相外切？XX市中考题思路点拨 对于1,把相关线段用的式子表示,利用图形性质建立方程；对于2,解题的关键是分情况讨论。例4已知与相交于,且的半径为,的半径为（1） 过点作分别交和于两点,连接
3、,如图,试求的值；（2） 过点任画一条直线分别交与于,连接和,如图,试求的值。XX市中考题思路点拨 对于2,应与两圆半径相关,需构造相似三角形,利用图或构造直径或联想相交两圆的性质。例5如图,是半径为1的单位圆的四分之一,半圆在上并与弧内切于点,半圆的圆心在上,并与弧内切于,半圆与半圆相切,设两半圆的半径之和为,面积之和为。（1） 试建立以为自变量的函数的解析式；（2） 求函数的最小值。XX市竞赛题分析 设两圆、半径分别为、,对于1,通过变性把用的代数式表示,作出辅助线；对于2,因,故是在约束条件下求的最小值,解题的关键是求出的取值范围。化繁为简例6如图,圆、的半径都为1,且相互外切。圆的半径
4、都为,且圆与圆、都分别外切,圆与圆都分别外切,圆与圆都分别外切,求的值。20XX青少年数学国际城市邀请赛试题分析与解 连接圆心、连接切点与圆心,关注由此生成的三角形。如图,连接,设、相切于,则,即,解得负值已舍去。学力训练基础夯实1、 的半径为,点是外一点,则以为圆心且与相切的圆的半径是XX市中考题2、 如图,两圆轮叠靠在墙边,已知两轮半径分别为和,则它们与墙的切点、间的距离为。XX市中考题3、 如图,大圆的半径是小圆的直径,且有垂直于圆的直径,的切线交的延长线于点,切点为,已知的半径为,则； 。XX市中考题4、 如图,为四个等圆的圆心,为切点,请你在图中画出一条线,将这四个圆分成面积相等的两
5、部分,并说明这条直线经过的两个点是；如图,为五个等圆的圆心,A,B,C,D,E为切点,请你在图中画出一条直线,将这五个圆分成面积相等的两部分,并说明这条直线经过的两个点是天津市中考题第4题 第5题5、 如图,施工工地的水平面上,有三根外径都是的水泥管两两摞在一起,则其最高点到地面的距离是6、 如图,、外切于点,半径分别为、,为延长线上一点,作直线分别于、相切于、两点,则的度数为 。 7、 如图,正方形中,是边上一点,以为圆心,为半径的半圆与以为圆心、为半径的圆弧外切,则的值为 8、 两圆的半径分式和,圆心距为,若关于的方程有两个相等的实数根,则两圆的位置关系是 A. 一定内切 B.一定外切 C
6、.相交 D.内切或外切9、 如图,与相交于、两点,经过圆心,点是的优弧上任意一点,不与、点重合,连接、。1指出图中与相等的一个角； 当点在上什么位置时,直线与相切？请说明理由；XX市中考题10、 已知A为上一点,B为与OA的交点,与的半径分别为r、R,且。（1） 如图,过点作的切线与交于M、N两点。求证：；（2） 如图,若与的交点为、,C是弧上任意一点,过点作的切线与交于、两点,试问是否成立,并说明你的结论。天津市中考题11、 如图,点、在直线上,、的半径均为。以每秒的速度自左向右运动,的半径也不断增大,且半径与时间t之间的关系为。（1） 试写出A、B之间的距离与时间t秒之间的函数关系式；（2
7、） 问点A出发后多少秒两圆相切？威海市中考题能力拓展12、 已知半径分别为1和2的两圆外切于点,则点到两圆外公切线的距离为。全国初中数学联赛试题13、 如图,扇形OAB,与OA、OB分别相切于点E、F,并且与弧AB切于点,则扇形的面积与的面积之比是。XX市中考题14、如图,五个圆顺次相外切,且又都与直线、相切,如果其中最小圆与最大圆的直径分别为18和32,那么的直径为。天津市中考题15、 如图,的半径为1,正方形的边长为6,点为正方形的中心,垂直AB于P点,若将绕点P按顺时针方向旋转,在旋转过程中,与正方形的边只有一个公共点的情况一共出现 。A.3次 B.5次 C.6次 D.7次20XXXX市
8、中考题16、 如图,已知三个半圆依次相外切,它们的圆心都在轴的正半轴上并与直线相切,设半圆、半圆、半圆的半径分别是、,则当 。A.6 B.7 C.8 D.9 20XXXX市中考题17、 已知、相交于、,公共弦与连心线交于点。若AB=48,、的半径分别为30、40,那么的面积是 。A.600 B.300或168 C.168 D.600或168XX省竞赛题18、 如图,、分别以、为圆心的半圆的直径,圆内切于半圆及外切于半圆。若,求圆的面积。第19届香港中学竞赛题19、 在中,分别以AB、BC为直径作、,交于另一点D。（1） 证明：交点必在上；（2） 如图,当与半径之比为4:3时,且与相切时,判断的形状,并求的值；（3） 如图,当经过点,的延长线交于,且,求的度数。XX市中考题20、 如图,点H为的垂心,以为直径的与的外接圆相交于点P。求证：为的中点。20XX数学周报杯全国初中数学竞赛题综合创新21、 如图,已知与都过点A,是D的切线,交于点C,连接。（1） 求证：；（2） 证明：；（3） 如果求的长。XX市中考题22、 如图,已知、的半径不等,且外切于点A,不过A的一条公切线切于D,切于E,直线,且与BC的垂直平分线交于。求证：.英国数学奥林匹克试题. .
数学培优竞赛新方法九年级第21讲圆与圆
