数学几何与图形讲座文字稿

《数学几何与图形讲座文字稿》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学几何与图形讲座文字稿（25页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、玩中学数学 开课讲座几何与空间（一）文字稿各位老师，大家好，我们这个学期的网络数学培训活动又开始了，那么我想我们这个课程主要围绕的就是是从数学各个领域的核心经验的梳理，作为一个框架结构来跟大家探讨我们幼儿园的数学教育的实施，我们上个学期的主要的核心经验的梳理是围绕着第一个模块，就是我们这张表当中的第一个模块，数与运算，那么实际上在这个模块当中，我们涉及到了两个部分的核心经验的梳理，一个是数概念，一个是运算，那么这个学期我想我们还要围绕另外一个，在这个图形当中的这个部分，就是几何与空间，几何与空间的这个部分来跟大家一起进行核心经验的梳理，以及我们幼儿园数学教育实施的一些案例的分析和探讨，跟大家一

2、起来分享。这次我想这个集合与空间的这样的一个模块当中我们也会分为两讲，第一讲，我们主要围绕的是几何，几何图形，大家也知道这个几何与空间实际上可以说它是两个部分，但是也可以说它是统一在一起的一个部分，为什么我们会把数和运算放在一起，而不把数和几何放在一起，就是因为数和运算它们从数学这个角度，从数概念的这个角度它们之间是有着密切的联系的，那么几何就是我们讲到的几何的图形，而空间我们在幼儿园阶段学前阶段主要指的是空间的一些方位的认识，但是从几何来说，它和空间，整个的空间，因为可以包含了空间图形，也包含了空间的方位，所以几何和空间它也是有着内在的联系，这就是为什么要把几何和空间放在一个大的模块当中。好

3、，今天我们主要跟大家讨论的是几何图形，大家都知道我们数学历来是分为两个主要的部分，如果我们说数学是一棵大树的话，那么我们知道这棵大树的最主要的两个枝干、最粗的两个枝干，一个就是数，一个就是形，大家回忆一下从你自己的这个学习的成长经历上来说，你在中学阶段小学阶段，你学数学这样一门基础学科的时候，我们学到初中，我们的数学就分家了，就分为了几何和代数，所以数学本身它是有数和形这样两个最主要的分支所构成的，那么作为其中的一个分支，就是几何，应该说它也是我们数学概念结构当中的一个很重要的方面，它是一种数学的语言，或者我们更亲切的说它是一种几何的语言，它跟代数的语言不一样，它是对客观的物体形状的一种抽象一

4、种概括，应该说，这样的几何图形，这样的一种概括和抽象是具有普遍性的，当然也是具有典型性的，图形之间它是有着差异的，那么这是我们对图形的最基本的认识，那么我们知道，对学龄前阶段的儿童来说，他的这个图形的认知，应该说在他的数学认知的结构当中也是一个最主要的分支，如果我们从早期儿童数学认知的几个大方面来看的话，我们通常会把它分为数、运算、几何与空间，然后还有模式，还有测量这样五个最基本的分支的结构，所以应该说几何的图形是一个单独的部分，那么儿童在这个阶段他的几何的概念的学习能够达到一些什么样的作用？应该说，第一个，它是能够帮助儿童去辨认和区分一些形状，那么在这样的一种辨认和区分当中，就是帮助儿童从形

5、体的角度它能够去理解去分析，同时也是去表征周围的世界，因为当你看这个儿童他是在搭这个积木，但是在搭积木的过程当中，他就会用几块不同形状的图形来构成一个表征一个物体，这就是他的几何空间的表征能力，这个过程当中也发展了他们一种空间的知觉和空间的想象，为什么有的儿童他通过几块形状的组合他就可以完成一个新的图形，这个表征，但是有的儿童就比较困难，这个当中就涉及到了它是一个空间想象能力和它的一个空间知觉能力的发展，当我们说这样一些形体的一些最基本的学习对他后续的进一步的数学方面的学习来说也是打下了更好的基础，所以这是我们讲的关于几何的这个部分图形的学习，对儿童发展它的一个价值，它的一个意义，我很简单的归

6、纳一下。好，我们来看一下在我们最新颁布的，国家颁布的三到六岁儿童学习与发展指南当中，对于我们数学，它是放在科学这样一个大领域当中的，科学这个大领域当中分为两个部分，一个是科学的探究，一个是数学的认知，如果我们老师你手头已经拿到了这本指南的话，你可以看一下，在我们指南当中对我们数学认知的这个部分主要是三条目标，就是很核心的三条目标，那么在这个第三条目标当中，实际上就跟我们今天要讨论的这个主题是有关，第三条目标是感知形状与空间关系，这里就是我们讲的几何与空间，那么在这里我三到四四到五五到六岁都有一些典型性的表现的描述，这个描述我用红颜色的字体的部分已经给大家显示出来，大家可以看到这个当中它描述的是

7、一些在这个年龄阶段孩子他对于几何图形的特征的一种认识，他的一个描述，他能够去辨别，同时他能够根据这样的一些对几何图形形状的基本的认识，他能够进行分类，当然，到了年龄大一点，他还要能够去组合，能够去表征，能够更好的去创造性的去搭建一些物体，所以这个实际上就是我们今天要讨论的一个很重要的主题，就是几何图形。好，下面就要跟大家一起进入我们今天的核心经验的讨论，几何图形实际上我们现在一直讲几何图形对于学前儿童来说他可能应该让儿童接触的是分为两个方面，一个是两维的空间，一个就是三维的空间，所谓我们讲的平面图形和立体图形，这都包含在我们学前儿童几何图形认识的这样一个范畴当中。那么不管是两维平面图形还是三维

8、的立体的图形，实际上对于儿童在几何图形的这部分的学习和认知当中，老师都需要非常清晰的知道从几何这个角度出发，给儿童的最关键的核心经验要点是什么，我想作为一个老师应该很清晰的能够把握住，这就是我在这里用这张图给大家显示出来的这样的三个部分。对于图形的认知来说，三个要点，第一个要点就是对图形特征的把握，就是说老师应该明白，当一个儿童，他真正的去认识这个图形的时候，并不是说你问他，宝宝，这是什么图形？你拿了一个三角形问他，这是什么图形？他告诉你说这是三角形，然后你心里就很OK的说，这个孩子图形认知是没有问题的，并不是这样的，他告诉你这是三角形，仅仅表明他知道这个图形的名称，但是并不表明他已经真正的认

9、识了这个图形，所以关键就是要看儿童对这个图形特征的一种把握，那么这种把握就反映在他的语言描述当中，也反映在他的这个形状，比如说你让他分类，你让他找出来，或者说你让他用三角形进行不同的图形的表征，等等。所以我想这个图形的特征的认识是老师应该知道的，在儿童图形的学习当中的第一个要点，第二个要点就是图形是可以分解和组合的，我们在跟儿童进行有关图形的学习活动的时候，一定要有这样的意识，就是给儿童适当的提供一些这样的任务，让他去对图形进行分解，进行组合，在这个分解和组合当中，你就可以辨别出这个儿童是不是真正的掌握了这个图形的特征，他能够变幻出一种新的图形，或者由一种图形把它拆分成若干个其他的图形，因为这

10、个就是对他图形特征认识的进一步的水平的反映。那么第三个很关键的要点是什么，就是图形的变化，什么叫图形的变化？就是说一个图形不管它是一个以一种标准的样式出现，还是以一种不太标准的样式，比如说，它是倒过来了，还是斜着放了，还是旋转了，在儿童的头脑当中都能够认为它是一个什么？它是一个梯形，不是因为它是一个标准的等腰的梯形它才是梯形，而是它变成了一个其他形状的斜放的，儿童可能就认识不出这个梯形了，所以这也是儿童在认知当中的几何认知当中的一个难点，所以我想下面就围绕着这三个核心经验要点跟大家进一步的进行分析，第一个就是图形特征，这是最基本的，那么为什么我们说图形特征在儿童几何学习当中是很重要的呢？因为对

11、图形特征进行分析和比较能够帮助我们对图形进行一个最基本的定义，就好比我们在跟孩子说三角形的时候我们往往会跟孩子这样描述，三角形就是有三条边三个角组成的这样子一个图形，我们说圆形的时候，会说，圆形它的特征是什么，是圆圆的，摸上去很光滑的，它的边是弯弯的，它没有角的，所以这样的一些都是对这个图形特征的一种描述，在这样的一种把握当中，儿童就能够对图形进行分类，进行一定的语言上的定义和描述，那么我们知道，对于学龄前的孩子来说，他对于形状的认识和辨别，实际上很小的孩子，从他婴儿期开始，他已经有了这样的一种生活的经验，他对于形状的辨别最初他是把这个形状的认识圆的方的，尖尖角的，他是跟他所熟悉的物体是对应起

12、来的，联系起来的，而且他往往容易把这样的图形的认知，就是比如说圆形他看到的是太阳，看到的是盘子，可能仅仅会定义成或者说是把它认知成是一个具体的某一个物体，他还没有脱离的一个完全是在抽象层面上一种认知，那么随着他生活经验的增长，随着他年龄的增长，他对这个图形的一种识别， 和一种再现的能力表征的能力才慢慢慢慢走向抽象化，也就是说他能够不是光光局限于具体的物体，而能够抽离出它抽象的特征。好，那么这就是我们来看到儿童在这个几何图形的发展当中认知当中，他有一些发展性的特点，这是发展心理学家为我们所研究归纳出来的，皮尔杰的研究就告诉我们儿童对于几何图形的认知和发展它有一个从拓扑图形到欧式几何的这样一个发展

13、的过程，可能大家对这两个词，拓扑图形有点陌生，欧式几何我想大家应该能够回忆起来，就是我们在初中时候学的欧吉利的几何我们称为欧式几何，就是标准的几何，它是有直线和曲线、封闭和开放之分的图形，那么拓扑图形指的是什么，就是在儿童很小的时候，他认知这个图形的时候，在他的眼中，三角形、正方形还是圆形，这些图形它是没有封闭和开放之分的，只有直线和曲线之分，所以这样的认知实际上就是一种，我们形象化的把它称之为叫做橡皮几何，也就是说在他的眼里看起来，这个三角形跟这个正方形他似乎是一样的，都是这样一个封闭的图形，直线和曲线是不清楚的，封闭和开放之分，而没有这个直线跟曲线之分，我刚才那里讲错了，是指这个只有封闭和

14、开放之分，而没有直线和曲线之分，所以这个边和角是不清晰的，这就是为什么年龄很小的孩子，你去跟他讲边和角的特征，他会不是从边和角的特征去认知这个东西，那么我们也可以看到，儿童在图形的几何图形的认知当中它的发展性特点，一个是从拓扑图形，就是慢慢的走向直线与曲线之分的欧式几何的图形的认知，另外一个，我们也可以从研究当中得到儿童在平面图形和立体图形的认识当中它也有一些发展的趋势，当然我们这里给大家归纳出来的这个发展趋势是蛮早的时候研究的一些结果，我在这里想说的是，它可能并不表明你所对应看到的儿童他一定是这样的过程，因为这是研究的结果，往往会受它的取样，会受它的时间，会受它的地域的一些，包括儿童本身样本

15、所带来的一些因素的影响，但是我想这个可以为我们提供一些一般的这样一些分析，就是儿童在平面的图形的认知当中他往往可能是圆形正方形三角形他是最先认识的，慢慢过渡到长方形椭圆形梯形，当然这里面还有一个半圆形，半圆形可能是在椭圆形和梯形之前，还有就是立体图形的认识和顺序，我想这个可以为我们提供一些参考，但是并不表明它是完全绝对化的。刚刚我们讲到了图形的特征，因为我们说这个是老师在跟儿童进行几何图形的学习当中的第一个要点，就是图形的特征的把握和分析，那么对于图形特征的认识，对于儿童来说，我们所给到的任务，实际上可以看到儿童对图形特征的一种认识和把握实际上是有三个层面的，第一个最粗浅的称为是匹配层面，或者

16、我们也称为叫做对应层面，有的时候我们的要求是涉及到了指认的层面，有的时候我们的要求涉及到了命名的层面，我想这个老师一定心里要做到心中有数，否则的话你就会很直白的去要求一个孩子，你给他一个图形你就说，你说说看这是一个什么图形，直接进入了命名的这个层面，应该说最初我们所提供的一些任务，可能你会看到年龄很小的孩子，三岁的孩子或者三岁不到的孩子，他已经能够匹配了，这个所谓的匹配就是说你给他一个图形，你让他在一堆图形当中找出一个跟你手里的这个图形一样的图形，这实际上就是一个匹配的任务，那么指认你就是说你让他在一堆图形当中你去指哪一个是你手里拿的这个正方形，那么命名当然就是需要语言的归纳，正方形，是什么样

17、的这个图形，要对他进行命名和归纳，所以在这里我们可以看到儿童图形特征的把握，从匹配到指认再到命名它是有一个发展的过程的，尤其是对于小年龄的孩子，我这里要讲的是尤其对于小年龄的孩子，因为在我们幼儿园老师的头脑当中一定有这样的印象，我们知道小班孩子我通常要求他掌握三种图形，中班孩子我要他掌握到六种平面图形，实际上我们说这也仅仅表明是一个大致的范围，但并不表明孩子在几何平面几何图形的认知当中一定是局限在小班的孩子我就不能认识第四种图形或者第五种图形，但是我想这个当中可以让我们看到一些最一般的年龄的发展性的特点，哪怕是三种图形，就是圆形正方形三角形，这三种图形，他对图形特征掌握的层次也是不一样的，你要

18、求他去指认要求他去命名，要求他去匹配，这个所对儿童所认知的挑战是不一样的，那么这里我们再总体的归纳一下，我就是把刚才讲的，我们再归纳一下，我们可以看到这个三到四岁，他一般来说，这里讲到的就是匹配的能力，这个对儿童来讲是最基础的，我这里讲的都是保底，就是说是最基本的东西，当然你会发现发展的好的孩子他已经超过了，完全有这个可能，那么对于三到四岁，也就是说到了小班，一般来说他必须要有图形的一种匹配的能力，那么到了中班，可能他对这个平面图形的特征，他的掌握应该说是要达到更高的层次，那么五到六岁的话，注意我们在这里写的能理解图形的典型特征，并在头脑中形成某种图形的标准样式，这个所谓的头脑中形成某种图形的

19、标准样式，这也就是他的一个空间的想象的认知。也就是说，他能够很清晰的抓住一个图形它的一个最基本的典型的特征，就是它的边和角的特征，那么另外一个就是他对这个立体图形的认知，而头脑当中的标准样式，我等会会给大家看案例，通过这个案例我们就会发现为什么对于小年龄的孩子这个头脑当中的标准样式就是困难的，你让他拼图，他为什么在这里会拼来拼去拼不出来，实际上就是在他头脑当中没有关于这个图形的标准样式，就是这个典型的，比如说是一个梯形，在他的头脑当中的构建它不是一个完全的绝对化的一个图形，这个等腰的梯形，任何倒过来旋转过去翻转过来都是这个梯形，所以这里就涉及到不同年龄阶段的孩子他对图形的这个特征的认识是有差异

20、的。好，那么接下去，我想就给大家一起来分析一个案例，我请大家看一段视频，是一个中班孩子的活动，在这个活动当中，截了有四五分钟的时间，可能是五分钟的时间，请老师们看一看，在这个案例当中，这位老师这个案例叫猜图形，这位老师他是怎么样来体现在她的教学当中，她在跟孩子的互动当中，她是怎么样来体现对这个图形特征的关注，我今天跟大家讲的第一个要点是这个图形特征，我刚才讲了这么多，我想这些有的老师可能会觉得，这些我好像似乎已经也知道，或者说这些东西我头脑当中模模糊糊觉得听了以后我也觉得并没有什么难的，这个不是关键，关键是什么？就是图形特征，我想这一句话老师一定看得懂，或者看了以后也觉得这句话也没什么，但是关

21、键是看你的教学，你在你的教学当中，你怎么样去体现这个要点，就是你怎么做的，那我想这个案例当中，请大家仔细的去观察，这位老师她的教学行为，在她的跟孩子互动当中，她是怎么样来抓住这个图形特征的，这样一个核心经验的要点。好了，孩子们，今天我带来了一些特别的图形，你们认识图形吗？认识。好，那请你看看，这是什么图形？三角形。为什么它叫三角形？我。来你来说说看。因为它有三个角。你指给我们，哪里有三个角？这边。一，二，三，几个？三个。真的是三个角，那还有没有。三条边三条角。你说了，还有一个特点就是它有几条边？说出来几条？三条边。那谁能帮我画出来？把它画出来，哪里三条边？来，你帮我画画看，一条，我们跟他数数看

22、，两条，三条，你看三条边，三个角，所以它叫三角形。好，第二个图形，认不认识？圆形。圆形，它有没有角？没有。它没有这样的角，那它的边怎么样？圆圆的。圆圆的，弯弯的对不对？对。像什么，像什么圆形？汽车的轮子。轮子，车轮。方向盘。方向盘，足球，还像什么？石头。有些圆形的石头，是吗？饼。饼，对，圆圆的饼，你看，皮球、车轮，这些东西都会滚来滚去，对，披萨，它没有角，弯弯的边，好。还有圆子也是圆的。对，接下来这个图形，是什么？椭圆形。椭圆形有没有尖尖的角？没有。也没有，那它的边怎么样？你放反了。那它的边怎么样？这样放是椭圆形，这样放是不是椭圆形？也是椭圆形。也是椭圆形，不管怎么看，都是椭圆形，那它的边怎么

23、样？没有边。没有边，这个就是它的边，它的边怎么样？来，肖晓楠。这个是椭圆形的边。它的边有角吗？没有。跟圆形一样它没有角，它的边是？圆圆的。圆圆的，弯弯的，对不对？对。那为什么它不叫圆形，它要叫椭圆形。因为它像鸡蛋。像鸡蛋。因为没有比它圆。它是扁扁的，对不对？压扁了。有点压扁了所以是椭圆形，它没有被压扁，椭圆形被压扁了。好，接下来这个图形，你们应该也认识的吧？半圆形。声音好响，半圆形的边怎么样？它的边怎么样？来，你说说看，豆豆。半圆形有两个边。有两条边，怎么样？有两个角。你觉得认识它的角，那你就说说它的边怎么样，边怎么样？下面是直直的，上面是弯弯的。太棒了，她发现两条边不一样，一条边是？直的。直

24、的，还有一条边是？弯弯的。不像椭圆形和半圆形，都是弯弯的边，半圆形有一条弯弯的边，但是也有一条直的边，对不对？对。所以是半圆形，好了，接下来这个图形，看好了，大大的。正方形。对了，什么形？正方形。正方形，正方形有角吗？有四个角。有四个角，在哪里？一二三四。好的，四个角，几条边？四个边。四条边，我来画画看，一二三四，四条边一样长吗？一样。一样长，四个角，四条一样长的边是正方形，这是什么图形？长方形。长方形有角吗？有。也有角。四个。还是四个角，那有几条边？四个边。还是四条边，四个角四条边，为什么不叫正方形，要叫长方形？来来来，这次谁能举手说说看？好，你说说看。因为这上面有点长，这下面有点短。它有两

25、条边怎么样？这两条边是？长长的边。有长长的边，但这两条边是？短短的。它有两条短的边，有两条长的边，不是一样长，所以不叫正方形，叫长方形。长方形。长方形也是四个角。一样长的才是正方形，两条长两条短的是长方形，那接下来这个图形，可能你们就不认识了，准备好了？嗯。这叫什么图形？梯形。好，你们认识它？这个梯形你看看有角吗？像一个梯子。像梯子。有四个角。有四个角，我来数数看，一二三四，四个角几条边？四条。也是四条边，我来画画看。金老师，这里也有一个梯形。来，一二三四，四个角四条边，四个角四条边，都是四个角四条边，那为什么叫梯形，它的边有别的什么别的不一样的地方？有吗？你说说看。它像梯子。那个地方像梯子？

26、哪个地方，哪条边像梯子？这条边。这条边，这条边你看看，是怎么样的？怎么样的？是竖的还是横的？还是？有点斜。那个叫斜，对不对，斜，它有两条斜的边，所以叫倾斜的，对，好，接下来最后一个图形了，很难。我知道五边形还有五角形。五边形，大概就有五条边的形状是吗？到底是什么形状，我们拿出来一起看看。五边形，菱形。这下完蛋了，搞不清了，搞不清了，它有几条边？你说。多边形。你觉得有很多条边，对不对？那你数数看好不好？几条边？边是长长的，我们长长的画，一二帮她一起数数看三四五，几条边？一共几条边？六条。六条边，那你猜它叫什么形？五边形。六条边。六边形。它是六条边的，所以叫六边形,现在能数的清有几条边？六边形。对

27、，数的清有六条边，所以叫六边形，好了，图形朋友们都已经出来了，接下来它要来跟我们做个游戏。什么游戏？对，它们要悄悄的躲进我的盒子里，在我的箱子里就有这些图形，等会儿请你来摸一摸，好不好？好。好，来，我来说一下游戏规则，看箱子里面有很多图形，坐下来看，坐下来看。看不见。坐下来看能看得见，等一会请一个朋友到我的旁边，用手伸进去摸一下，别的小朋友看好了，但是要保持安静，要摸的小朋友说说看自己摸到了什么图形，然后你们来告诉他是对还是错，明白了吗？明白了。好，来，青青，好，青青先摸。圆形。还是圆形，它的边怎么样？半圆的。到底是圆形还是半圆形？它的两个边是半圆的。是弯弯的边。是吗？有没有直的边？没有。没有

28、，那你确定一下是圆形还是半圆形。圆形。好，拿出来看看，拿出来看看，对不对？再接下去，来，曹千来。还是圆形。图形说都被你们摸出来了，图形说不行，它们还想再玩一次，但是这一次，它们跟摸箱说好了，它们要躲在里面，但是什么都不让你们看见，然后请你们重新来摸一次，行不行？行。好，那听好了，这次玩的时候，请你摸的小朋友，不要告诉大家，你摸到什么图形，你只能说说，感觉怎么样，然后我们来猜一猜你摸到的是什么图形，好不好？好。那这次从我开始好不好？不行。不行，你们先来猜猜看，看看你们会不会猜，好，从我开始，试试看，我先来摸一个，好，我摸到一个图形，这个图形好像有角的，有几个角？四个角还是三个角，让我数数看，三个

29、角。三角形。是吗？我拿出来看看，对不对？对。好，摸出一个，那接下来轮到你了好不好？好来，不用站起来，坐下来，来。感觉圆圆的。先是弯弯的是吗？嗯。什么形状？半圆形。有人猜半圆形。应该是圆形。不能说出图形名称，那你告诉他们有没有直的边？没有。没有直的边。圆形。圆形，确定吗？确定。来，拿出来看看。好，我想老师们刚刚就看了这个几分钟的视频，那么从这个视频当中，老师跟孩子的互动当中，我想大家一定能够去把握住一些这个老师，就刚才留给大家这个问题，这个老师是怎么样来体现这个图形特征这样一个要点的把握的，我们分析一下她调动了哪些教学手段，好，我在这里给她归纳一下，我想因为我们是网络的关系，我不可能听到大家的声

30、音，所以我想有的归纳可能是你已经想到了，所以我想我把它再梳理一下。老师在图形特征帮助儿童去把握这应该出现的大概是有七八种的平面图形，包括了半圆形，包括了好像还有一个六边形，这个对孩子来说，这样的图形的认识都不是困难的，因为现在的孩子他在生活当中接触图形的机会更多了，所以我们也看到孩子确实是不是太困难，但是你是一个仔细的老师，你一定看到了，在这一群孩子当中，就有一些，小年龄孩子的特点，你们记得有一位孩子的表现吗？老师出示一个椭圆形的时候，他手伸出去把这个椭圆形怎么样？老师放的是一个横的，老师把它放过来竖的时候，他说这样放就不是椭圆形了，老师特地看到他这里的小动作以后，老师把它倒过来放了一个然后再

31、问他，这样放是不是椭圆形的，这实际上就是一个孩子的年龄特点，如果你是反应很快的老师，你应该想到，这就是我刚才讲的，三个要点当中的哪一个要点，后面要讲的要点，这就是老师要从孩子的行为当中去分析儿童的认知的发展，那么在这个图形特征的每一个，这六七种，七八种的图形特征的把握当中，我们注意到，这个老师她很好的体现了这样一些教学互动当中的很关键的要素，第一个就是，这里没有顺序，我就随便说了。第一个就是关注典型特征，什么叫典型特征？这里所谓的典型特征就是边的特征，角的特征，你们注意到老师一直在孩子描述的时候，它有几条边？你摸摸看它有几条边，它有几个角？来摸一摸，来说一说，那么对这个图形特征的把握，她也是牢

32、牢地抓住了典型的特征，就是边和角，而不是其他的无关的特征，一个具体的图形它有很多特征描述，但是从数学的角度去解读它的话，一定是从最关键的典型的特征，就是边和角。第二个很好的手段就是什么？她调动了儿童多感官的感知，不仅仅是让他看，看，她还让他怎么样？摸，通过让孩子自己用手去触摸边和角，让他得到一个更直观的感知，我想这个大概是我们老师通常会用的一些手段。第三个就是她的语言的描述和表征，她都试着要去，因为是中班的孩子了，所以她试着要让孩子去怎么样？去描述一下，那么我们会发现，你让孩子描述的时候，你就会看出孩子之间是有差异的，有的孩子他能够很清晰的描述出图形的特征，而有的孩子他还停留在什么？停留在指认

33、的水平，也就是说，它能够指出来但是他不一定能够用语言表征出来，所以，这个就是一个他的数学，对图形的认知的一个更高水平。第四个很好的老师在这个活动当中反映出来的一个因素就是她很注意拿图形之间进行对比，这是一个很重要的，当你在讲一个圆形的时候，你不是孤零零的在讲一个圆形，你会把它和椭圆形进行比较，你在讲一个正方形的时候，你会把它跟长方形作比较，你在讲梯形的时候，你会把它跟正方形或者说长方形作比较，那么通过这个图形之间的比较，实际上就让儿童，一个是对可能产生不同的，就是说可能产生对它的图形认知有干扰的一些相近的图形进行进一步的区分，同时也是帮助儿童能够更清晰的去把握住这个图形的它的最具有区分度的这样

34、的一个典型的特征，所以，我们看这个老师在这个活动当中看似是很轻松的，是比较随堂的这样的一场活动，但是实际上在老师跟孩子的互动当中，老师是很好的抓住了这样一些要素，而这些要素，它指向的就是一个什么？图形的特征，这个对儿童来说是，图形学习当中最关键的最基本的东西。那么我们从刚才的这个四个方面的小结当中，我们就可以看到，儿童在几何图形的发展的过程当中，它不仅是有一个从拓扑图形到这个欧式几何图形的这样一个发展的特点，同时，他在图形的辨别和认知当中，他也有一个发展的特点，就是从局部的粗糙的一种感知到慢慢的形成一种比较完整的细致的辨认，这个当中，就是小年龄到大年龄孩子的差异，我们会发现大班的孩子基本上你让

35、他去描述，三角形、正方形、圆形的时候，他都可以很清晰的描述出它的典型特征，但是小班孩子就怎么样？就很困难，他对一个图形的辨别，可能仅仅是一个，最粗糙的最大概的，最模糊的认知，他觉得是圆圆的东西，他就觉得是什么？是圆形，尖尖的，他可能就认为他是三角形，可能，他只看到了三个尖尖的角，他还没有注意到三角形的其他的特征，数量的边的特征，所以我想这就是我们在图形的认知当中，图形特征的把握当中，尤其是在小年龄阶段，老师要特别关注的要点。那么总结一下，我想给老师提两点建议，在你帮助儿童认识图形特征的要点当中，我给你两个建议，教育的建议。第一个建议就是你要帮助儿童去关注图形的具体特征，而不是整体的外形，也就是

36、说，你跟儿童讲一个圆形的时候，你不能跟他说看上去是圆圆的，看上去是很光滑的，那可能就好了，就是一个整体的外形，要关注它具体的特征的话，你就是要关注到它的，说得具体更一点就是边和角。那么圆形的话，你就要让他知道摸上去光滑是什么，它是没有角的，它的边，如果你要摸它的外面一圈边的话，它不是直直的，而是什么？弯弯的。所以我想这个就是老师在给儿童最初的一个图形认知的时候，你要抓住关键，这是第一个给老师的建议。第二个给老师的建议就是，当你给儿童提供图形的认知的样式的时候，你一定要注意多种变式，我在这里的关键词，下面这一条的关键词是多样的变式，多种的变式，或者是反例，这个大家应该明白，也就是说我可以找一些梯

37、形，当他认识梯形的时候，我可以找一些跟他看上去像梯形，而又不是梯形的图形，一些反例或者说是什么，或者说梯形各种颠来倒去的，正放、反放的、倒放的梯形让他去进行辨识，而不是只给他提供一个标准的一个样式的梯形，这就是帮助他去更好的抓住它的最典型的特征。我想这个是给大家在第一个核心经验要点当中的做的小结，最后提的两点建议。接下去我想跟老师们讨论第二个核心经验的要点，就是我们刚才讲到的图形的分解和组合。图形的分解和组合这一句话，我也是在这里下面有这样一个解释，我想老师们一看这个话肯定也一下子就明白了，这个是不同的图形可以组合成一个新的图形，或者分割成其他图形，一个就是组合，一个是分解。这句话一点也没有什

38、么难理解的地方，但是我想老师在对于这个核心经验的，这样的一个要点的认识上面、把握上面，在教学当中还是有一些偏差的问题，下面我举例子来讲。我们说图形的分解和组合，这样的这个活动，实际上它的价值是什么？就是说它能够进一步地，我刚一开始就讲了，它能够进一步地去帮助儿童感知，图形之间的关系。那么在这种图形之间关系的感知的过程当中，实际上他对于某种图形来说他的认知也是加深，同时儿童的思维也就更具有变通性和灵活性。下面我想让老师们来看看什么叫分解和组合，我想这个老师们一看，这张图你们一看就明白了，这是一个六边形，对吧？这个六边形他这里提供了就有很多种不同的组合，对吧？你看，一个六边形它可以分为六个三角形，

39、组成这个六边形，它也可以三个三角形，一个梯形来组成六边形，或者是两个三角形、两个菱形来组成六边形，还有很多种，那么这就是一种图形的组合，也就是说几个图形拼在一起它又成为一个新的图形，或者一个新的图形可以分解成几个不同的图形。关于组合，我们再来看这样几张照片。这个是不是图形的组合呢？它是不是图形的组合？我们看到的它也是什么？三角形、圆形、正方形组合在一起，成为一种新的（图形），但是这样的一种图形的组合，和刚才我们图形的组合它就有很大的不同，这个不同就在于，前面他说图形的组合是形成一种新的图形，而在这里的组合是形成一个图案，也就是说它是利用这些图形，它表征出一个具体的物体。这个就涉及到在图形认知当

40、中的两类活动，一类活动是，我们称为真正意义上的图形的组合和分解，而后一类的活动，我们说是儿童的一种自由的想象。那么我在这里想说的是，这两类活动都有它的价值，但是至少在幼儿园我是看到有一些这样的情况，就是老师很简单地把图形的分解和组合，就理解成我们这里讲的第二种。就是我给孩子一堆图形，让他去拼他会拼出什么东西，拼出一朵花，拼出一棵树，就是他就会组合了。实际上并不是这样，从儿童空间图形的认知上来说，更难的是前面一种，就是他的图形通过不同的组合变幻出各种各样不同的新的图形，所以我想在我们老师头脑当中，同样要有这样的一种要点的认知，或者说我们对于年龄更大的孩子，我们就要倾向于给他提供这样的任务，就是让

41、他由一个图形分解成很多不同的其他图形，或者是组合成新的不同的图形的，一个不同的组合方式。那么下面我同样也要请老师们，看一段视频的案例，这是一个大班的活动，你们会发现，这个大班的孩子怎么还是拿着三角形、正方形、圆形，这些图形在拼？你会认为这个是小年纪的孩子就已经完成的任务，但是这个活动你看了以后你就明白，为什么它只能到大班进行，所以在我们头脑当中一定要打破，我们以前一说到几何图形的话，老师头脑当中就知道，几何图形就是小班三种图形，中班六个图形，大班立体图形。这就是我们原来对几何图形的学习的一种传统的认识，而这种认识是完全不够的。我们应该知道对儿童在学前阶段的几何部分的学习，更大的价值是在于帮助他

42、，真正意义上去理解图形的特征，他能够去表征它，他能够很清晰地去组合和分解成不同的样式，而且这个图形在他的头脑当中不管怎么变换，他都能够去认知它。在这段视频案例当中我们看到就是，就是拿了我们小朋友已经认识的几种图形，六种图形，然后老师让几个孩子一组，几个孩子一组，玩一个拼的游戏，拼图的拼拼乐的游戏，就是我提供给你四个三角形，看你们用四个三角形能够拼出什么样的新的图形。在拼的过程当中，我因为给大家截了就是这样几分钟的一段视频，刚开始的时候我们就会发现，有的孩子他不理解老师讲的意思，他就是把四个三角形拼成一棵树，我想这个一定适合什么？这个孩子一开始在幼儿园他所接触到的，比如说区域的活动，老师给出的学

43、习性的任务，往往就是让他自由拼搭有关系的，因为我们说孩子的学习，他的发展一定是基于他的已有经验，他这个已有经验可能是从生活中来的，也可能是从幼儿园当中来的。所以我想这个当中，我们就会发现孩子他对任务的理解，实际上是跟他的已有经验是有关系的，那么老师更清晰的告诉孩子，四个三角形拼出来的是一棵树，还是像一棵树，现在我们要把这四个三角形变出一种图形。那么孩子知道了这个任务以后，然后开始在拼了。在拼的过程当中，实际上我们知道，就涉及到对图形的一个分解和组合的，这样一个关键经验的要点。那么我们会看到刚才在这段视频当中就可以看到，儿童是他是有一些什么样的学习的困难，我想大家可以来看一下，你们可以发现一下其

44、中的一组孩子他的困难在什么地方。拼出这么多图形来，现在四个，只能拼出梯形和长方形吗？你们不是说也能拼出三角形的吗？也能拼出正方形的吗？他们说我们拼不出来，你们试试看，好吗？转转转，把自己转出和上面不一样的图形就坐下去，好，开始，来，别着急，四个人一起合作。转转转。好，好，请坐。这个图形上面没有，好，请坐。好，现在转出什么新的图形要我记录吗？要。要记录哪一个？好，谁能告诉我正方形是两个什么样的图形合起来的？两个大三角形。两个大三角，我先来合一个，我动作快一点。来，两个大三角，还有两个大三角谁来，你来，妹妹，你不说话，你来了。一个三角形，转转转，转不过去，转转转。转转转。先转出一个三角形。转转转。

45、先一个站上去。所以在下面声音太响会影响他思考。好，三角形怎么转出来的？谁能告诉我中间是一个什么？正方形，梯形。是这样的，是这样放呢还是这样放？这样放。好，这是什么？菱形。菱形，它是一个很特殊的对吧？来了，三角形的上来，先这样放，好，两边还有谁没上来过？我。你没来过，那两个都给你，来，看看，三角形。好，行了吧？三角形，一边两个怎么样？多。更怎么样？更大了，四个更大了，看见了吗？两个小一点，四个三角形更大了，还有吗？你难道四个就只能，平行四边形，你们就拼不出我来了吗？能拼出来吗？能。要么再给一次机会，你们转转转试试看好吗？好。赶快转，有的小朋友很聪明，他看看上面，有的时候也是蛮好的一种办法，你放在

46、这里，转转转，转转转转转转。这里是梯形吗？好，他们转出不一样的了，赶快，赶快，不着急。四个人都我来我来，结果会怎么样，请坐，请坐，请坐。你现在不要变，你变出来了人家等会看不出你们变出什么图形，好了吗？你的放这里，请坐，快，好，放在这里，请坐。好，刚才我们看了这段视频，我想老师们大概已经找到了，在这个过程当中我们看，三组的孩子是同时上来的，但是，四组孩子吧，有的组的孩子他就很快，但是有的组的孩子在反复拼的过程当中，当老师再提出一个新的学习任务的时候，因为他们起初四个图形都拼出来了，比如说拼出一个长方形，这是很简单的，四个图形。拼出一个大的三角形，这也是很简单的，有的也拼出梯形了。但是老师再给他们

47、一次挑战，说再拼一次，要刚才拼过不能拼的时候，还有没有其他新的图形拼出来的时候，我们会发现有的孩子在这个挑战当中，他有新的一个成果作品显示出来，但是有的组的孩子就是反复，就是纠结在前面的那种图形里面，他不行。那这是为什么呢？我想这个就跟我们下面一个要讲要点是很有关系的，儿童在对图形的认识当中，他的头脑当中不是完全已经认知到了它的变幻。也就是说，它的三角形总是尖尖角朝上，他是这样固定好，他不会把它翻转倒过来，那么就构成不了新的另外的一种图形。好，那么归纳一下的话我们就可以看到，儿童在几何图形的发展当中，他也体现出这样一个趋势，发展的趋势，就是一开始他总是对某一种图形是一个基本的变式，不管是三种还

48、是六种还是七种，它是一个基本的变式，慢慢慢慢要发展出他的不仅能够辨识，不管你这个图形怎么变化，我都能够很好地去认识这个图形，并且我再现出来，我的拼搭，我的这个组合，实际上就是一种再现和表征的一种显现，所以我想这个就是老师应该明白的孩子的发展的一个续。所以在这里我们提醒，我在这里建议老师要多做这样的活动，就是让儿童操作，让儿童拼搭和建构。图形认知，怎么样提高他的空间图形认知能力，我们说数学都是有差异的，有的孩子天生数学认知要发展得快一点，有些孩子要迟缓一点。但是我们数学教育，尤其是幼儿园的数学教育不在于教他们，而在于怎么样给他提供，大量的适合他们的学习的活动、材料，让他们能够更好地在自己原有的基

49、础上，去发展、去提高。所以我这里建议的，不是说急功近利地告诉他们，认识几种图形名称，而是提供给他大量的材料，让他去操作。在大量的操作的过程当中，不断地去积累这个经验以后，他的空间认知能力会慢慢慢慢的发展起来。我在这里给大家看一些照片。在这里，首先我要说的就是搭积木。我们看这个积木建构的活动，为什么说它是一种很好的帮助儿童去，得到加强他的空间几何的认知的一种很好的活动。因为我们知道，积木这种建构的活动它是很灵活的，我想不管在什么样的地域，什么样条件的幼儿园当中，获得这样的机会应该说都不是太难的事情，所以某种程度上来说，它是一种很好的，具有灵活性的、开放性的一种材料。同时我还要说的，不仅是有灵活性

50、、开放性，它还有多元性。这个多元性指的是什么？就是它数学功能的多元性。也就是说，在积木建构的活动当中，看起来他是拿着不同形状的积木在搭一艘船，在造一个房子，实际上好像是一种空间认知。但是我们在这样的积木构建的活动当中，实际上是对儿童的数的概念，他的单位的测量的概念、他的类别，我们上学期的活动当中，有分类、有模式的活动都是有关系的。比如说这张照片，大家看到的右边这张照片，孩子在搭一个最基本的桥，这个桥，他上下都用的是这个长方体的这个积木，但是从另外一个角度你就可以看出，这就是儿童最简单的一种模式，他已经知道用最有规律的这个单位，来表现出一个重复性的模式。所以儿童在建构活动过程当中，跟数学都有关系

51、。那么除了我们说的这个积木建构材料之外，我们还可以特别地在我们的数学区脚当中提供一些操作性的材料。比如说我们来看看，这些拼搭性的材料，就可以给小年龄的孩子提供，我们一看，这个就是图形的彩色的，它是镶嵌，这个也是的很简单，就是镶嵌，把它配对配上去，所以这就是我们讲的第一层次的任务。这样也是拼图，因为它是有一个最基本的图形组合的底板，然后让孩子覆盖在这个底板上，这和看到一个图形让他在另外的一个白板上面拼出来，这是不一样的要求。一个是完全靠他的空间认知，一个仅仅是匹配。在这里我想提示我们老师，这种操作材料你要注意，它有一个层级的梯度。比如说拼板，我们看看这些拼板，拼板的本身它的要求，是单维颜色的和多

52、维颜色的，它对孩子的挑战是不一样的，无疑单维颜色的就要更困难，因为他要排除掉颜色的因素，直接关注到它的形状特征。而这个彩色的他可以借助于形状进行区分。另外一个就是它的底板，我们可以看到底板当中，是有这个划分线的还是没有划分线的，对儿童的这个挑战也是不一样的。所以我们可以来看看，难度一二三四。难度一的话就是有形状分割的，同时也有颜色提示的。这个显然是给很小年龄的孩子就可以用的，两三岁的孩子就可以用，它很简单，因为他哪怕完成了，你也很难说他因为对形状有认知，他有可能就是借助于颜色，他颜色区分得出他就可以了。第二个难度就是有形状的分割，但是没有颜色的提示，有形状分割没有颜色的提示。第三种难度就是有颜

53、色的提示，但是没有形状的分割的提示。因为我们知道形状和颜色相对，这两个因素对儿童来说，往往颜色要更简单一点，他更能够关注到的是颜色的差异。那么第四种难度就更难一点了，就是它既没有颜色也没有形状的分割的提示，都没有。那么这个完全就是要靠儿童空间的一种想象，空间的一种拼搭他来进行这个组合的。所以我们看同样一套材料，在这里老师拿了这一套材料，他在这里面自己就做加工了，加工了以后他在投放在区域的时候，它就可以怎么样来体现，儿童在图形的组合和分解，这样一个核心经验要点上面的一个能力的提升。大年龄的孩子我们可以看，我们就可以提供一些更加有挑战的材料。比如说这个六边形的拼板，这个拼板就让他来接龙，这个接龙里

54、面就是他要关注到，里面根据颜色他要能够拼起来，因为都是六边形，统统拼好以后就会成为一个大的形状。还有就是我们可以设计一些四连板，比如说这里有四块的、有两块的、有三块的图形，让他按照这下面的底板进行拼搭和构图，这个对孩子来说，我们就可以看到，老师提供的材料里面，有一颗星、两颗星和三颗星，它的难度就不一样了。就是要用这些原始材料来，来拼搭出这样的图案，这个也是涉及到他的空间的认知。再比如说大年龄的孩子我们可以给他提供这种，我们称为魔术拼板，这是它的底板，这个是提供的材料，在这里我们要让大年龄孩子完成任务，就不是把它怎么样？拼搭上去、覆盖上去，而是看着这个形状要拼出这个形状。所以这就是完全要靠他的空

55、间的认知，而我们注意到，在这样的图形当中，图案的形成都是一个很重要的数学的几何上面的一个要点在里面，就是对称。如果当一个孩子他能够捕捉到里面的对称性的时候，他完成这个图形就不太困难了，他一定不会从外面开始从上面开始，一块一块这样拼下来，他一定是从里面，一层一层剥出去，这就是一种中心对称，我们讲的中心对称。中心定好以后，然后最里面的一圈菱形，然后再外面一圈梯形，然后再外面一圈菱形，然后最后一圈是三角形。这个图案完全它也是一种模式，但这种模式对于我们小年龄的孩子来说是有点难。我想这样一个活动，从操作材料上来说，它体现层级性，而不是说一开始就给孩子这样的材料，那显然是不可能的，对孩子来说挑战太大。最

56、后我想要跟老师们讲的是，今天我们要讲的第三个核心经验的要点，就是图形的变幻。图形的变幻实际上我们刚才已经讲到，图形的变幻指的是什么呢？就是这个图形，包括这个移动，就是这个图形移动过了，或者这个图形翻转过了，倒过来了，或者是这个图形旋转起来了，在旋转的过程当中，在你的头脑当中，都能够建构起对这个图形的一种认知和概念，那这就是我们讲的，在你的头脑当中形成对这个图形的标准样式。也就是说你是不受这些因素的干扰，在你对图形的认知当中，这个图形它不是一成不变的，它是可以旋转的、翻转的、变化的，这个就是图形的变幻。这就是为什么刚才我留了一个小疑问给大家，我说你们看到的第一段的视频当中，为什么一个男孩子会跟老

57、师说，这个不是椭圆形的，这就是这个特点，在他的头脑当中这个椭圆形是翻不起来的，他把它这样放，他就跟老师说，这个不是椭圆形，一定是这样放的才是椭圆形，这就是小年龄孩子的特点，而且在有些孩子身上，这样的特点会表现得更明显，这就是他在图形认知上的困难比其他孩子要显得大。下面我要给你们再看一段视频，是一个区角当中的一个女孩子，在拼一个三角形的图形的组合，就是让她用几块三角形拼出一个大的三角形，让她进行这样的一个拼搭任务，而这个三角形的块数是给她限定好的，就是这几块，然后拼出一个三角形，那么大家来看看，在这样的拼搭活动当中，这个女孩子遇到了什么样的困难，如果你是老师，你怎么样回应儿童在学习当中的一种困难

58、。我们现在一直在讲，一个好的老师是应该能够真正地去跟孩子，在他已有的自己的一种发展的水平上，去做积极的一种回应和互动的老师，我想要做到这样的老师的话，一定有一个前提就是说，你必须看得懂孩子他在当下的学习中，他有什么样的表现，他有什么样的困难，你来判断他有什么样的需要，然后你再跟他做互动，我们来看看这个视频当中，这个孩子的表现。这样拼可以了，怎么回事呢？这个好难拼，要找到一样的拼，我的格格搭错了，我搭好了，好像不对，不是这样搭的，这个加在哪里？这个加在这里。好，在这段视频当中我想老师们大概已经看到了，这个女孩子在30分钟的时间里面，她始终纠结在，三角形的拼搭的任务当中，她没有完成，她非常困难，我

59、这个录像就截取了三五分钟，实际上孩子在这个区角材料里面，她一共玩了9分钟，她最后还是没有成功。这为什么呢？这是因为在这样的一个学习任务当中，涉及到一个很重要的核心经验要点，就是图形的变化。这个三角形必须在她的头脑当中，是能够翻转移动变幻的，她才能够拼得出来，否则她是完不成这个任务的。同样我们记录了另一个孩子的学习，另外一个男孩子，这个男孩子在完成这个操作材料的时候，他只用了两分钟，就唰唰唰唰OK了，就走了，而这个女孩子玩了九分钟还没有成功。所以这个当中就可以发现，儿童在图形变幻的这个要点上面是有差异的。那么对于这样的孩子我们老师怎么样来做互动呢？我想这就是我们引出一个很重要的话题，当然我们今天

60、不是着重来谈个别化学习的当中教师的师幼互动，但是我想从这个案例的分析当中，我们也可以做一些归纳，这个归纳我想我在这里讲这样三点，我想这三点不仅基于我们的数学学习，我想对于其他学习也同样适用。第一句话叫做儿童在前教师在后。就是老师还是要有一个这样最基本的认识，就是儿童的学习应该把儿童推在前面，而不是你去看到他不行了你就去教他，你就去提示他，或者是你明确地给他一个指示、指令。我想这样的一种强加式的学习、覆盖式的学习，可能对儿童，暂时你看到的是一个明显的效果，但是实际上它是没有价值的。因为你会发现，当换一个学习情境的时候给他的他还是不行。因为它没有在孩子真正的，我们所谓讲的叫做最近发展趋势上让他去得

61、到经验，所以老师一定要学会首先是一个，你让儿童自己去操作，你跟在后面仔细地看。第二句话是基于观察的分析和评价。并不是说老师只要让儿童自己去干，自己去探索，然后老师在边上看就行了。你一定是要进行积极的思维活动，你要看，看这个儿童的行为，他是一个什么样的情况你要去分析他，然后你要去做一定的评价。我想老师们如果看到刚才这个女孩子的操作活动的话，如果你头脑当中是有我刚才讲的，这一个核心经验的要点的话，我想你一下子就能够判断出来，她的问题就在于图形变幻不起来，她第一个三角形放好了以后，她很快，一分钟也不到，第一个三角形位置就放好了，但是她下面当中的第二个三角形她始终是，就问题就卡在这里，而关键是什么，她

62、的这个三角形，她始终把它定位成尖尖角朝上的这个三角形，而这个拼图，老师如果你仔细看一下，一下子就会发现，一定是这个三角形，第二块三角形必须倒过来，一个边朝上，然后下面两块很快就放好了。所以在这个女孩子的头脑当中她的问题就在于三角形是倒不过来的，只能是这样的三角形才是三角形。所以如果你基于这样的观察和分析，而且你会发现，你等待在边上，你一直在看这个孩子，她尝试了N次，若干次以后，还是不行的情况下，你就要介入和支持了。因为我们从镜头里面可以看到，这个女孩子实际上到最后的时候，她已经不能坚持了，因为她反复在尝试的都是挫败的，她很可能要选择的是放弃，但是因为看着摄像机镜头对着她，所以这个女孩子还是乖乖

63、地，她还是在做，但是这个时候她已经是非常，对这个材料已经丧失了信心。所以在这样的过程当中，老师就应该进去了，老师应该这个时候给她适当的暗示，宝宝你可以试试看，把这个三角形倒过来你试试看，如果她有了这个提示以后，她就会发现一倒过来怎么样？就这个三角形就拼好了，当然通过这样的一个行为，也不可能说她一下子就知道要到过来，但是老师一定要给她一个正强化，再给她补一句，你看，你知道图形它有的时候也可以怎么样，倒过来，倒过来放的时候它还是三角形，正过来放是三角形，倒过来放还是三角形，她以后在这个拼搭的任务当中，有了若干次这样的刺激了以后，她自然的就会得到一个什么？图形是可以翻转的，变化和移动的，这样子的经验

64、，核心经验的要点。所以我想作为老师来说，适当的时候还是要介入的，还是要支持的。否则的话对孩子的学习来说，他可能在这个区域材料当中，除了尝试到的是挫败之外，可能没有其他的更多的收获。好，那么今天我想我借助这样三个案例，短的视频的案例，来帮助老师们一起梳理了一下，在我们几何图形的学习过程当中，老师头脑当中应该明白的三个要点，核心经验的要点。我在这里最后还是在这里还是把三个要点，在文字上再做这样一个总结。首先第一个，这三个要点之间它也是有关系的。为什么要点一不是图形变化，要点一是图形特征，因为第一个是基础。图形特征认识比较是基础，然后才尝试进行图形的分解和组合。在图形的分解和组合当中，实际上就是反映

65、了儿童对图形的一种，更持久的、永恒的一种认识，就是图形是可以变化的，图形不管怎么样变换，它始终是原来的这个图形，它是多种变式的。所以我希望我们老师在涉及到几何图形的学习活动的设计和实施的过程当中，在你们的头脑当中，能够很清晰地把握住这三个的基本的要点，然后从这三个基本要点里去看儿童，你会发现，儿童有这样的学习方法是很自然的，为什么这个儿童他表现出这样的一些学习问题，你就很能够释然，而不是觉得很奇怪的，为什么我反复教他还不会，实际上很正常，因为在他的发展当中，就要经历这样的阶段。当然我想这个活动的形式，我们还是要注意到，我们一直碰到的数学活动当中的，不要把它规定起来，应该和我们的运动，和其他的一些语言活动，因为我也知道有蛮