数学建模-双层玻璃窗

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1、数学建模-双层玻璃窗、隔热效果、隔音效果1、条件假设12、符号说明13.1双层玻璃隔热效果探究33.1.1模型建立53.1.2、模型的应用73.2、双层玻璃隔音效果探究73.2.1、模型建立83.2.2结果讨论9参考文献101、条件假设双层玻璃隔热、隔音效果的探究中的假设：1.热量的传播过程只有传导，没有对流。即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的。2.玻璃材料均匀，导热系数是一个常数。3.室内温度和室外温度保持不变，热传导过程已处于稳定状态。即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数。2、符号说明I声强d玻璃厚度l双层玻璃中空气层厚度T温度温度差Q传导热量k热传导系数导

2、热系数t传导时间A导热面积B加权声玻璃窗户的整体隔声量,dB单层玻璃窗户封闭部分的隔声量,dB玻璃窗户上开口面积占整个玻璃面积的百分比M隔声材料单位面积的质量，Kg/为介质的吸收系数声能的衰减3、模型的建立与求解3.1双层玻璃隔热效果的探究3.1.1模型建立图1 单层玻璃窗与双层玻璃窗在本文假设中，热传导过程应满足如下的物理定律：厚度为的均匀介质，两侧温度差为，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量与成正比，与成反比，即： （1） 其中=，为热传导系数。为导热系数，为传导时间，为导热面积。如图1，对于厚度为2的单层玻璃窗，设其内外层的温度分别为、，玻璃的热传导系数为，传递的热

3、量为，由（1）式可得单层玻璃窗单位时间单位面积的热量传导为： （2） 如图1，对于双层玻璃窗，设其内层玻璃的外侧温度为，外层玻璃的内侧温度为，双层玻璃种空气层厚度为，空气的热传导系数为，传递的热量为，则由（1）式可得双层玻璃窗单位时间单位面积的热量传导为： （3）由（3）式可得： （4）由（4）式可解得： （5） 将（5）式代入（3）式可得： （6）将（6）式比上（2）式可得： （7）即得。为了得到更加详尽的比对结果，我们查阅了资料，得到常用玻璃的导热系数，不流通、干燥的空气的导热系，于是在对比双层玻璃窗与单层玻璃窗的隔热性能时，我们以最保守进行估计，取=16，将之代入（7）式得： （8）在l

4、0.0001,0.005,d0.0001,0.01的范围内用matlab7.6作图：syms l d；f=1/(8*l/d+1);ezmesh(f,0.0001,0.005,0.0001,0.01,20);图3并做l0.0001,0.0005,d0.005,0.01得局部放大和等高线图：syms l df=1/(8*l/d+1);ezmesh(f,0.0001,0.0005,0.005,0.01,20);hold onezcontour(f,0.0001,0.0005,0.005,0.01);图4将l/d看做整体，作图： clear x=0:0.1:10; y=1./(8*x+1); plot

5、(x,y,r:) grid on xlabel(l/d); ylabel(Q2/Q1); title(Q2/Q1与l/d的关系图形);图5根据图5可以看出随着的增加，的值迅速下降，而当超过了一定值后（例如4）后，的值下降速度趋于缓慢，可见只要选择一个适中的值即可。3.1.2模型的应用一般情况下，建筑规范要求4。据此模型可得3.03%，即双层玻璃窗比同样多的玻璃材料制成的单层玻璃窗节约热量约为96.97%。虽然双层玻璃窗的工艺复杂会增加一些成本，但它减少的热量损失却是相当可观的。不难发现，双层玻璃窗之所以有如此之高的功效主要是由于两层玻璃之间空气很低的导热系数，而这个前提是，空气必须是干燥且不流

6、通的。作为该数学模型假设的这个条件，在实际环境下必然是不可能完全满足的。所以实际上，双层玻璃窗的隔热功效会比模型所得的结果要差一些。另外，应该要注意到，一个房间的热量散失，通过玻璃窗常常只占一小部分，热量还要通过天花板、墙壁、地面等流失。3.2双层玻璃隔声效果探究图63.2.1模型建立噪声的危害是多方面的。噪声不但可以引起人听力的衰退、多种疾病的发作；同时，还影响人们的日常工作与学习，降低劳动生产率。引起噪声的原因有很多种，其中公路交通噪声是我们要面对的主要噪声污染源。双层玻璃窗户可以显著的改善建筑的隔声性能。其外层玻璃相当于一面玻璃声障，安装于建筑外层。当声波遇到建筑物时，其绝大部分都被外层

7、玻璃所反射，从而使进入到内层空间的噪声降低。事实上，相当一部分双层玻璃窗户的最主要的功能就在于隔声。面对城市环境中持续增高的交通噪音，双层是一种有效的对应方式，它能提供比单层更加优越的隔声效果。在双层玻璃窗户中，考虑到内外玻璃间的空气间层对于其整体的隔声量的影响，因外层而增加的隔声量可按下述公式计算:式中B加权声考虑到加权声B的计算比较复杂，我们采用了另一较为简明计算玻璃隔声量的数学模型。根据物理学知识可知，沿x轴正方向的平面波通过均匀介质，则波的强度应当是波面位置x的函数，即I=I(x)。设I(0)= ,波经过x与x+dx两平面所夹的一层薄介质后，波的强度减少了dI，即有,其中为介质的吸收系

8、数。对上式两边同时进行积分可得：即得到：波的强度按指数规律衰减，此即为朗伯（Lambert）吸收定律6由物理公式知：波能的变化为(单位B)设为玻璃的吸收系数, 为空气的吸收系数对于双层玻璃窗：=lg=lg=lg波经过双层玻璃窗后能量的变化：= lg+ lg+ lg =-()lge波经过双层玻璃窗后能量减少了：=()lge对于单层玻璃窗：波经过单层玻璃窗后能量的变化：=lg=lg=波经过单层玻璃窗后能量减少了：= lge根据以上推导的结果，当空气的吸收系数与两片玻璃的距离越大时，双层玻璃窗的隔音效果就越好。3.2.2结果讨论从计算可以明显体现双层玻璃窗户在隔音方面较单层玻璃窗户的优越性。双层玻璃

9、窗户可以给噪音环境中的建筑提供额外的噪音屏蔽，而这对于处于高分贝噪音环境中的单层玻璃窗户建筑是难以实现的。3.2.2进一步分析空气间层对其隔声量的影响实际上，双层玻璃的空气间层在隔绝噪声方面也发挥很大的作用。空气间层可以看作是与内外两层玻璃相连的缓冲层，声波入射到外层时，一部分声波通过外层的开口部分直接入射到内层;另一部分声波射到外层封闭玻璃部分，使其发生振动，此振动通过空气间层传至内层，再由内层向室内传播，由于空气间层的弹性变形具有减震作用，专递给内层的振动大为减弱，从而提高了窗户整体的隔声量。参考文献1姜启源，谢金星，叶俊.数学模型.北京：高等教育出版社，2003.2吴礼斌，李柏年.数学实验与建模.北京：国防工业出版社，2007.93王祖纬.装配式隔声套房的建筑声学设计.甘肃省建筑设计研究院.20094 56陈治，刘志刚，陈祖刚.大学物理(下).北京：清华大学出版社，2006.10