概率论与数理统计-第三章学习教案

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1、会计学1概率论与数理统计概率论与数理统计(sh l tn j)-第三章第三章第一页，共90页。chapter 32 nnnnnRxxxxXxXxXPxxxFn ).,( .,),(,2, 1,22, 1121元函数元函数定义3.1 如果样本空间中的样本点同时对应着n个随机变量X1，X2，,Xn，以这n个随机变量为分量(fn ling)的向量称为 n 维随机向量(X1，X2，,Xn)的联合(linh)分布函数。12(,)nXXXX 称为 n 维随机向量或n 元随机变量.下面主要讨论二维随机向量.一、 多维随机向量的概念第1页/共89页第二页，共90页。chapter 332),( ,),(Ryx

2、yYxXPyxF 称为二维随机向量(X,Y)的分布(fnb)函数或X和Y的联合分布(fnb)函数。定义3.2 设有二维随机向量(X,Y),对于任意实数x, y,记二元函数 第2页/共89页第三页，共90页。chapter 34Yo(x, y)(X, Y ),),(yYxXPyxFx联合分布(fnb)函数的概率意义:F (x, y)表示平面上的随机点(X, Y )落在以(x, y)为右上顶点的无穷矩形中的概率。如下图.第3页/共89页第四页，共90页。chapter 35 ,dYcbXaP PX, Y F()- F()-F()F()ab cdb,d b,c a,da,c可得0 a bYXdc第4

3、页/共89页第五页，共90页。chapter 3612( , )(, );F x yF x y有(4) (, )lim( , )0, ( ,)lim( , )0, (,)lim( , )0, (,)lim( , ) 1.xyxxyyFyF x yF xF x yFF x yFF x y (2) F(x, y) 分别对x和y单调(dndio)不减,即 对任意(rny)固定的y,当x1x2时， 对任意固定的x, 当y1y2时，22211211(,)(,)( ,)( ,)0.F xyF xyF x yF x y(3)F (x , y )关于 x 右连续，关于 y 也右连续.;),( , 1),(0

4、) 1 (2RyxyxF （5）对任意固定的x1x2, y1y2有12( ,)( ,);F x yF x y有第5页/共89页第六页，共90页。chapter 37相应(xingyng)地，记( ) XFxP XxxR( ) YFyP YyyR分别称为关于X、关于Y的边缘分布(fnb)函数.YYYXYXXYXX注意：如果，是一个二维随机向量，则它的分量、是一维随机变量，二维随机向量，关于、的边缘分布也就是一维随机变量、 的分布。四、边缘分布(fnb)函数随机向量中每个分量的分布称为边缘分布函数.第6页/共89页第七页，共90页。chapter 38),(lim),( yxFxFy 同理RyyF

5、yxFyFYx ),(),(lim),( 由联合分布函数可求出边缘分布函数, YxXPRxxFxXPX ),(第7页/共89页第八页，共90页。chapter 39显然，其中(qzhng)每个分量均为离散型随机变量.一、离散型二维随机向量的概念第8页/共89页第九页，共90页。chapter 310二、联合(linh)概率函数定义3.4设离散型二维随机向量（X，Y）的可能值 为(xi , yj)，其概率记为 1 1, ,2 2, ,. . . .1 1, ,2 2, ,. . . ., ,j ji i, ,p pi ij j,.2 , 1,.,2 , 1,),(),( jipyxYXPijji

6、或记为,.2 , 1,.,2 , 1, jipyYxXPijji称之为（X，Y）的概率函数，或X与Y的联合(linh)概率函数,或X与Y的联合(linh)分布律。 即第9页/共89页第十页，共90页。chapter 311称之为一维表.11122122( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ijx yx yx yx yx y11122122 ijppppp(X,Y) P第10页/共89页第十一页，共90页。chapter 312XY，的联合分布律也可以由下面矩阵表格表示称之为二维表YX1y2yjy1x11p12pjp12x21p22pjp2ix1ip2ipijp第11页/共

7、89页第十二页，共90页。chapter 313 ijijijpp1.2;10.1类似一维随机(su j)变量,二维随机(su j)向量联合概率函数有如下性质:第12页/共89页第十三页，共90页。chapter 314对于集合 (xi ,yj) | i,j=1,2, 的任意一个(y )子集A,则事件(X,Y)A的概率为(,) AP(X,Y)Aijijx yp由上式，可得（X,Y）的联合(linh)分布函数为,F( , )ijijxx yyx yp由联合概率函数可求出联合分布函数第13页/共89页第十四页，共90页。chapter 315 随机(su j)向量(X,Y)中每一个随机(su j)

8、变量X、Y的概率函数, 称为关于 X、Y 的边缘概率函数.i(1)PX=x =p,1,2,ii(2)PY=y =p,1,2,jjjX的概率函数Y的概率函数或记为, 2 , 1, 2 , 1,)2()1( jyYPppixXPppjjjiii第14页/共89页第十五页，共90页。chapter 316 y1 y2 yjp12p22.pi2. p1j p2j pij PYPX1 iiP1 iiP2 jjP1 iijP jijPx1x2.xi. YXp11P21.pi1边缘(binyun)分布边缘分布第15页/共89页第十六页，共90页。chapter 317 jjiiiyYxXPxXPp)()(证

9、证：同理，可证pjj=1,2, ., 2 , 1, 2 , 1,)2()1( jpyYPppipxXPppiijjjjjijiii jijjijpyYxX,P . 1, 0 ijijiiippp且且 1,2,.ipi 是是概概率率分分布布第16页/共89页第十七页，共90页。chapter 318（ 0,0 ） （ 1,1 ）1-p p （X,Y）P设（X,Y）只取（0,0）和(1,1)两个(lin )点,且取(1,1)的概率为p,取(0,0)的概率为1-p, （X,Y）的分布如表所示.01PY YX0 11-p 00 p1-p pPX1-pp1X、Y均服从(fcng)01分布。也可列成二维联

10、合概率分布表第17页/共89页第十八页，共90页。chapter 319例2 同一品种的5件产品中，有2件次品3件正品(zhngpn)。每次从中任取一件检验质量，连续取两次.用X、Y分别表示第一、第二次取到的次品数，分别对不放回抽样与有放回抽样两种情况，写出X与Y的联合分布并求边缘分布.解：随机(su j)向量(X,Y)的所有可能值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).不放回抽样(chu yn):0,0P XYX可能取值为0,1，Y可能取值为0,1连续两次都取到正品32300|05410P XP YX第18页/共89页第十九页，共90页。chapter 320 同样方法，可计算出3

11、230,15410P XY2331,05410P XY2111,15410P XY第19页/共89页第二十页，共90页。chapter 3210,0001,233445YYYPP XP X 3255 它与第一章学过的全概率(gil)公式是否一致？思考(sko)：联合(linh)分布及边缘分布如下表：其中 同样方法可求得其他值.第20页/共89页第二十一页，共90页。chapter 322有放回抽样(chu yn): 事件(shjin)X=i,Y=j相互独立，所以, ,0,1,0,1P X i YjP X i PYj ij 0,0 0 03 39 5 525P XYP XPY 如 同样方法(fn

12、gf)可求得其他值.第21页/共89页第二十二页，共90页。chapter 323联合(linh)分布及边缘分布见下表：注:两种情况下的边缘分布(fnb)相同.因为抽取(chu q)结果与次数无关！参见第一章例题:抽签的合理性.第22页/共89页第二十三页，共90页。chapter 3242 , 1 .|, 1,|, 0iiYiYXi求（X1,X2）的联合(linh)概率分布.解： （X1,X2）可以(ky)取(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),四个值.P X 1 = 0 , X 2 = 0 = P | Y | 1 , | Y | 2 = P | Y | 2 = 1 P | Y |

13、 2 = 1 2 ( 2 ) 1 =0.0455第23页/共89页第二十四页，共90页。chapter 325P X 1 = 1, X 2 = 0 = P | Y | 0时，如图积分线路l1分为两段( )0 xyxXxfxdye dye,0;( )0,0 xXexfxx.00( )( , )00yyyYyfyf x y dxdxe dxdxye当y0时，如图积分线路l2分为三段当y0时，f(x,y)=0,( )00Yfydx,0;( )0,0yYyeyfyy.第38页/共89页第三十九页，共90页。chapter 340 DyxDyxyxf),(0),(),( 1),( DDSdxdydxdy

14、yxf 其中D为平面上一个(y )可度量的有界闭区域，确定的值.解：由密度(md)的性质因此， 1/SD, 其中SD为区域D的面积.四、二维均匀分布第39页/共89页第四十页，共90页。chapter 341 DyxDyxSyxfD),(0),(1),( 其中D为平面上一个可度量的有界区域(qy)，SD为区域(qy)D的面积，则称（X,Y）服从区域(qy)D上的均匀分布.记为 (X,Y)UD.第40页/共89页第四十一页，共90页。chapter 342解:由定义(dngy)3.6,SD=(b-a)(d-c),有 其它其它0),()(1),(Dyxcdabyxfyxocd(X, Y )(b ,

15、 d)(b , c)(a , d)(a , c)ab第41页/共89页第四十二页，共90页。chapter 343关于X的边缘(binyun)密度函数为:当 ax b 时.)(1 )(1 ),()( abdycdabdyyxfxfdcX 所以(suy) 其它其它0)(1)(bxaabxfX的的边边缘缘分分布布密密度度同同样样方方法法可可得得关关于于 Y 其它其它0)(1)(dyccdyfY矩形区域(qy)上的均匀分布之边缘分布为均匀分布第42页/共89页第四十三页，共90页。chapter 344解: 区域(qy)D如图, 其面积SD=.由定义3.6知,(X,Y)的联合(linh)密度为 10

16、11),(2222yxyxyxf 规则图形第43页/共89页第四十四页，共90页。chapter 345D当|x| 1时,2111121),()(22xdydyyxfxfxx 因此(ync), 1|01|12)(21xxxxf 同理,关于Y的边缘(binyun)密度为 1|01|12)(22yyyyf 边缘分布(fnb)不是均匀分布(fnb).第44页/共89页第四十五页，共90页。chapter 346 (X,Y) 6,( , ); ( , ).0,x yDf x y则的联合概率密度为其它 设二维随机(su j)向量(X,Y)服从区域D上的均匀分布,2 ,(X,Y)XYDyxyx其中 是由抛

17、物线和直线所围成的区域求的联合密度及关于 及 的边缘概率密度.解:61)(102 dxxxSD0y 1 xD1第45页/共89页第四十六页，共90页。chapter 347 dyyxfxfX),()(X的的边边缘缘分分布布密密度度为为关关于于YY66(),01; ( )( , )0,;yydxyyyfyf x y dx同理关于 的边缘分布密度为其它0y 1 xD1y=x2y=x., 0; 10),(6)(2其它xxxxfX xxXxxdyxfx2),(66)(,102时时于于是是第46页/共89页第四十七页，共90页。chapter 348).()(F),F( :YX YXyFxyx价相互独立

18、与下列等式等与则若X和Y的联合分布函数(hnsh)为F(x,y),X和Y的分布函数(hnsh)分别为即PXx,Yy= PXx PYy则称随机变量X与Y相互独立. ).(, )(FYXyFx第47页/共89页第四十八页，共90页。chapter 349),1,2,j(i, ,),( ijiipyYxXP1.离散(lsn)型R.V.独立的充要条件ijij(1)(2)ijijXYP(Xx ,Yy )P(Xx ) P(Yy )ppp (i,j1,2,)则 和 相互独立的充分必要条件为即XY ()()(1)ii(2)jjP Xxp , (i1,2,) P Yyp (j1,2,),关于 和 的边缘分布分别

19、为证明(zhngmng)见教材p85.第48页/共89页第四十九页，共90页。chapter 350( )( ),XYfxfy和( , )( )( ) , ,XYx yfxfyxy XY则 和 相互独立的充分必要条件为fRR即联合密度等于(dngy)两个边缘密度的乘积.推论:独立的随机变量的连续函数也独立.如:X与Y独立,则X2与Y2也独立.第49页/共89页第五十页，共90页。chapter 351X1017/15 7/307/30 1/15X2 0 1 1570, 021 XXP又 PX2=0= PX1=0,X2=0+ PX1=1,X2=0 = 7/15 + 7/30 =0.7 类似(li

20、 s)可以算出 PX1=0=0.7显然(xinrn)PX1=0,X2=0 PX1=0 PX2=0 因此X1与X2不独立.解：由右表知，第50页/共89页第五十一页，共90页。chapter 352 YP-1 0 1 XP 0 1 第51页/共89页第五十二页，共90页。chapter 353 YX-1 0 1* * * 0 * 0PX1/21/2101PY 又由联合分布(fnb)与边缘分布(fnb)的关系 PY=-1 =PX=0,Y=-1+ PX=1,Y=-1 =1/4， PX=1,Y=-1=0 ,PX=1,Y=1=0,于是(ysh)有下表 同理可求出表中其它值.(参见下页).得PX=0,Y=

21、-1=1/41/4第52页/共89页第五十三页，共90页。XY0XPYP011 1 101P XY 11P21P00P XY 2123 0PP 12P13P22P23P0011P 13P 22P 120P 进一步可得 0因为(yn wi)PX=0,Y=0 =0,而PX=0 PY=0=1/21/2=1/4PX=0,Y=0 PX=0 PY=0X与Y不独立(dl).第53页/共89页第五十四页，共90页。chapter 355第54页/共89页第五十五页，共90页。chapter 356解: (1)由均匀分布的定义(dngy)知 其其它它0),()(1),(Dyxcdabyxf关于(guny)X的边

22、缘密度函数为:1()( )0Xaxbbafx其它关于(guny)Y的边缘密度函数为: 其它其它0)(1)(dyccdyfY显然,对于任意实数x,y有2YXR)()()()(x,y , yfxfx,yf.YX相互独立相互独立和和则则第55页/共89页第五十六页，共90页。chapter 35722222221( , )0 xyRf x yRxyR关于X的边缘(binyun)密度为：当|X|R时， RxRxxRRxfX|0|2)(222 2222222212( )( , )RxXRxfxf x y dydyRxRR同理,关于Y的边缘(binyun)密度为2222|()0|YRyyRfyRyR ,f

23、f,fYX)0()0()00(所以,X与Y不独立.第56页/共89页第五十七页，共90页。chapter 358例 5 .)Y,X(,YX),(NY),(NX222211的的概概率率密密度度求求独独立立和和且且若若 2121122222()1:( )exp,22()1( )exp.22XYx fx y fy 解XY221212122 XY( , )( )( )11 exp22( , )f x yfxfyxyx yR 由于 与 独立第57页/共89页第五十八页，共90页。chapter 359第58页/共89页第五十九页，共90页。chapter 360一、离散型随机(su j)向量函数注:等价

24、事件概率相等.（X,Y）P(x1,y1)p11(x1,y2)p12(x2,y1)p21(xi,yj)pijZ=g(X,Y)g (x1,y1) g (x1,y2) g (x2,y1) g (xi,yj) 第59页/共89页第六十页，共90页。chapter 361X-210.2 0.1 0.30.1 0.2 0.1Y -1 0 2解:由边缘分布的定义(dngy),将表中第1,2,3列相加,得到Y的边缘分布.见下表Y -1 0 2P 0.3 0.3 0.4X+Y可以(ky)取-3,-2,0,1,3共五个值.其概率分布为:PX+Y=-3=PX= -2,Y= -1=0.2PX+Y=0=PX= -2,Y

25、=2+ PX=1,Y=-1=0.3+0.1 =0.4第60页/共89页第六十一页，共90页。chapter 362X+Y -3 - 2 0 1 3P 0.2 0.1 0.4 0.2 0.1第61页/共89页第六十二页，共90页。chapter 363-1 0 2-2011/8 1/8 1/81/8 0 1/81/8 1/8 1/8XYYX-1 0 2-201-1 0 2 0 0 21 1 2Z解:Z的可能(knng)值如表所示ZP-1 0 1 21/8 3/8可得Z的分布(fnb)如表所示.第62页/共89页第六十三页，共90页。chapter 364解:用i,j,k分别表示(biosh)X,

26、Y,Z的可能取值,则, 2 , 1 , 0,!11 ieiiXPi, 2 , 1 , 0,!22 jejjYPj于是(ysh),有P ZkP XYk, 0ikYiXPki ,ij kP Xi Yj 第63页/共89页第六十四页，共90页。chapter 36512120()1212001!()!()!kiik ikkik iiiP ZkP XiP Ykieeeikii ki 可知Z服从(fcng)参数为1+2的泊松分布.12()1201!()!kik iikeki ki 12()1201!kiik ikiCek 12()12(),0,1,2,!kekk第64页/共89页第六十五页，共90页。c

27、hapter 366证:见下页第65页/共89页第六十六页，共90页。chapter 367),n, 0,1,2,( , C)P(Y),n, 0,1,2,( , C)P(X212211 jqpjiqpijnjjniniin则Z=X+Y的可能(knng)取值为k=0,1,2, n1 +n2.,0ikYiXPjYiXPkYXPkZPkikji 0ikYPiXPki knnkknnkiknnkikninkiiknikikniniinqpqpqpqp 212121212211CCCCC00命题(mng t)得证.第66页/共89页第六十七页，共90页。chapter 368第67页/共89页第六十八页

28、，共90页。chapter 3690,;1,.XYZXY求Z的概率分布.解:(X,Y)的密度(md)函数为1,( ,);( ,)20,x yDfx y其他.0( , )x yP ZP XYf x y dxdyPZ=1=1-1/4=3/4.0y1 2 x1y=x11100111()(1)224xdy dxx dx 第68页/共89页第六十九页，共90页。chapter 370,21),(2 22yxeyxf求Z=X2+Y2的密度(md)fZ(z).采用分布(fnb)函数法:由(X,Y)的联合密度f(x,y) ，求出随机变量Z的密度函数.第69页/共89页第七十页，共90页。chapter 371

29、解: 当zz = 1-PXz,Y z. 第79页/共89页第八十页，共90页。chapter 481若 X与Y相互(xingh)独立 ,则若 Z为连续型随机变量 ,则Z=minX,Y的密度(md)函数为11( )( )( )( ) ( )( ).ZZXYXYfzFzfzFzFzfzFZ(z) = 1-PXz,Y z = 1-PXz.PY z=1-1-FX(z).1-FY(z)=1-1- PXz.1-PYz = FX(z)+FY(z)- FX(z)FY(z)第80页/共89页第八十一页，共90页。chapter 382212221122211221( , )212 ()()1exp,2(1)f

30、x yxxyy ),(N)Y,X(222121 ，记记作作1212 ,其中 ， ， ，为常数,120,0,| 1,称（X，Y）服从(fcng)二维正态分布.其图像对称轴为X,Y平面上过(1, 2)且与竖轴平行(pngxng)的直线.参见右图.(教材p.101.)第81页/共89页第八十二页，共90页。chapter 3832211222211221222( )(y)2 ()()11exp2(1)21tXfxf xdyxxyydyy ，令tt)(2)1(21exp121211211221dtxx tt)(21 ()1 ( 21exp12121121122112221dtxxx ）tt)1(21e

31、xp2exp1212112212121dxx ）（定理(dngl)3.4 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布.证：第82页/共89页第八十三页，共90页。chapter 3842121122211t11expexpt22(1)21xxd（）dudtuxt22111,1 令令du2uexp2exp21221211）（原式x212112exp21）（x211(,).XN 即第83页/共89页第八十四页，共90页。chapter 385),(N)Y,X(222121 ，若若 同理，可求出fY (y). 221122 (),().XNYN，则由此，可得如下(rxi)结果第84页/共89页第八十五页，

32、共90页。chapter 3862212121211exp22xyf xy (， )（）（）221222121211expexp2222xy（）（）证：（1）充分性.由=0，代入（3-58）式，得.XYfxfy （ ） （ ）所以(suy)，X与Y独立.第85页/共89页第八十六页，共90页。chapter 387(2)必要性21212111=.2221 ,.XYfx yfxfy（） （ ） （ ）X与Y独立(dl),则对任意x,y,有特别(tbi)地,令 x=1,y= 2,则有1212,.XYfff（） （ ） （）带入式（3-58）， （3-59）， （3-60）得于是(ysh)，211,

33、 =0.所以第86页/共89页第八十七页，共90页。chapter 388221212(, ) (,),X YN 若，2222121212() (,),(,)aXbYN abababa b 且+2其中不全零.第87页/共89页第八十八页，共90页。chapter 389221212(, ) (,0).X YN ，221122 (),().XNYN若，且X与Y相互(xingh)独立，易得注意(zh y)：22221212() (,),aXbYN ababab0时有如果少了独立的条件(tiojin)，上述结论不一定成立.第88页/共89页第八十九页，共90页。感谢您的观看(gunkn)。第89页/共89页第九十页，共90页。