《重积分计算方法》word版

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1、这里讨论的计算方法指的是利用现有的MATLAB函数来求解，而不是根据具体的数值计算方法来编写相应程序。目前最新版的2009a有关于一般区域二重积分的计算函数quad2d（详细介绍见），但没有一般区域三重积分的计算函数，而NIT工具箱似乎也没有一般区域三重积分的计算函数。本贴的目的是介绍一种在7.X版本MATLAB（不一定是2009a）里求解一般区域二重三重积分的思路方法。需要说明的是，上述链接里已经讨论了一种求解一般区域二重三重积分的思路方法，就是将被积函数“延拓”到矩形或者长方体区域，但是这种方法不可避免引入很多乘0运算浪费时间。因此，新的思路将避免这些。由于是调用已有的MATLAB函数求解

2、，在求一般区域二重积分时，效率和2009a的quad2d相比有一些差距，但是相对于延拓函数的做法，效率大大提高了。下面结合一些简单例子说明下计算方法。譬如二元函数f(x,y) = x*y，y从sin(x)积分到cos(x)，x从1积分到2，这个积分可以很容易用符号积分算出结果1. syms x y2. int(int(x*y,y,sin(x),cos(x),1,2) 3. 结果是 -1/2*cos(1)*sin(1)-1/4*cos(1)2+cos(2)*sin(2)+1/4*cos复制代码如果你用的是2009a，你可以用1. quad2d(x,y) x.*y,1,2,(x)sin(x),(x

3、)cos(x),AbsTol,1e-12)复制代码得到上述结果。如果用的不是2009a，那么你可以利用NIT工具箱里的quad2dggen函数。那么我们如果既没有NIT工具箱用的也不是2009a，怎么办呢？答案是我们可以利用两次quadl函数，注意到quadl函数要求积分表达式必须写成向量化形式，所以我们构造的函数必须能接受向量输入。见如下代码1. function IntDemo2. function f1 = myfun1(x)3. f1 = zeros(size(x);4. for k = 1:length(x)5. f1(k) = quadl(y) x(k)*y,sin(x(k),co

4、s(x(k);6. end7. end8. y = quadl(myfun1,1,2)9. end复制代码myfun1函数就是构造的原始被积函数对y积分后的函数，这时候是关于x的函数，要能接受向量形式的x输入，所以构造这个函数的时候考虑到x是向量的情况。利用arrayfun函数（7.X后的版本都有这个函数，不了解这个函数的朋友可以查看帮助文档，或者搜索本版）可以将IntDemo函数精简成一句代码：1. quadl(x) arrayfun(xx) quadl(y) xx*y,sin(xx),cos(xx),x),1,2)复制代码上面这行代码体现了用MATLAB7.X求一般区域二重积分的一般方法。

5、可以这么理解这句代码：首先1. (x) arrayfun(xx) quadl(y) xx*y,sin(xx),cos(xx),x)复制代码定义了一个关于x的匿名函数，供quadl调用求最外重（x从1到2的）积分，这时候，x对于1. arrayfun(xx) quadl(y) xx*y,sin(xx),cos(xx),x) 复制代码就是已知的了。而1. (xx) quadl(y) xx*y,sin(xx),cos(xx)复制代码定义的是对于给定的xx,求xx*y关于y的积分函数，这就相当于数学上积完第一重y的积分后得到一个关于xx的函数而1. arrayfun(xx) quadl(y) xx*y

6、,sin(xx),cos(xx),x)复制代码只是对1. (xx) quadl(y) xx*y,sin(xx),cos(xx)复制代码加了一个循环的壳，保证“积完第一重y的积分后得到一个关于xx的函数”能够接受向量化的xx的输入，从而能够被quadl调用。有了这个模板，我们可以方便求其他一般积分区域（上下限是函数）形式的二重积分，例如被积函数f = (x,y) exp(sin(x)*ln(y)，y从5*x积分到x2，x从10积分到20。用quad2d,上面介绍的方法，还有dblquad帮助文档里给的延拓函数的方法1. tic,y1 = quad2d(x,y) exp(sin(x).*log(y

7、),10,20,(x)5*x,(x)x.2),toc2. tic,y2 = quadl(x) arrayfun(x) quadl(y) exp(sin(x).*log(y),5*x,x.2),x),10,20),toc3. tic,y3 = dblquad(x,y) exp(sin(x).*log(y).*(y=5*x & y=x.2),10,20,50,400),toc4. y1 =5. 9.368671342614414e+0036. Elapsed time is 0.021152 seconds.7. y2 =8. 9.368671342161189e+0039. Elapsed ti

8、me is 0.276614 seconds.10. y3 =11. 9.368671498376889e+00312. Elapsed time is 1.674544 seconds.复制代码可见上述方法在2009a以外的版本中不失为一种方法，起码效率高于dblquad帮助文档里推荐的做法。更重要的是，这给我们求解一般区域三重积分提供了一种途径。由于时间太晚了，求一般区域三重积分的方法留待下来有时间再写。matlabmatlab计算定积分方法问题描述：使用matlab命令int计算定积分，提示错误：Warning: Explicit integral could not be found.

9、 问题原因：符号积分int，要求被积函数的原函数能用初等函数表达。这点办不到或者不容易办到，这就有必要考虑近似计算的方法解决方法：定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法、抛物线法（对于定积分的近似数值计算，Matlab有专门函数可用）1。quad()：抛物线法求数值积分格式： quad(fun,a,b) ，注意此处的fun是函数，并且为数值形式的，所以使用*、/、等运算时要在其前加上小数点，即 .*、./、.等例：Q =quad(1./(x.3-2*x-5),0,2);2。 trapz()：梯形法求数值积分格式：trapz(x,y)其中x为带有步长的积分区间；y为数值形式的运算（相当于上面介

10、绍的函数fun）例：计算x=0:pi/100:pi;y=sin(x);trapz(x,y)3。dblquad()：抛物线法求二重数值积分格式：dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)，fun可以用inline定义，也可以通过某个函数文件的句柄传递例1：Q1 = dblquad(inline(y*sin(x),pi, 2*pi, 0, pi)，顺便计算下面的Q2，通过计算，比较Q1 与Q2结果（或加上手工验算），找出积分变量x、y的上下限的函数代入方法Q2 =dblquad(inline(y*sin(x), 0, pi, pi, 2*pi)例2：Q3 = dblquad(integrnd,pi, 2*pi, 0, pi)这时必须存在一个函数文件integrnd.m：function z = integrnd(x,y) z = y*sin(x);