不定积分学习指导书

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1、第？章 定积分一、本章知识结构不定积分不定积分的概念不定积分性质不定积分的计算二、本章学法指导定积分的学习要点在于把握不定积分的概念，认识到不定积分与微分之间的联系。三、本章教学目标1 知识目标：理解不定积分的概念、性质、几何意义；理解不定积分与微分的关系；2 能力目标：会用不定积分的换元法与分部积分法求不定积分；四、重点难点指导1.重点 不定积分的概念的理解；不定积分与微分的关系的理解；三类积分法的运用；2.难点 换元积分法与分步积分法的运用。例1 求下列不定积分：； ； .分析： 此类积分形式比较简单，只需经过三角恒等变形或代数运算，就可利用基本公式求解。解 例2 计算.分析： 被积函数是

2、绝对值函数或分段函数，求其不定积分，应先分别求函数在各段上相应区间内的不定积分，然后利用原函数的连续性，确定各任意常数间的关系，最后用一个任意常数表示其不定积分。解 因为 于是 由被积函数的连续性，有，即，所以 例3 求下列不定积分：； ； ； .分析： 使用第一类换元法的关键是“凑”出函数的微分，方法是利用一些常见函数的微分形式。但如果不易直接得到，则可应用拆项、加项、减项、同乘除因子、三角恒等变形等方法将被积函数变形，化简成简单函数后再求不定积分；也可以从被积函数中取出部分表达式，求其导数后寻找规律，再确定如何凑微分。解 注意到，且，所以 降幂法与化同名三角函数是求解形如形式不定积分的基本

3、方法。一般地，若两个函数都是偶次幂，则通过半角公式降幂；若至少有一个函数为奇次幂，则将奇次幂分为一次幂与偶次幂的乘积，化为同名三角函数求解。对本题，由于是奇次幂，且，故原积分可以化成形式，所以 .将被积函数分成两部分，第一项凑微分得，第二项凑微分得，则 .这是一个有理函数的积分，但将被积函数分解为部分分式很麻烦，若将分子的1写成，再加一个因式，同时减去该因式，可与分母的两项联系起来；若注意到分母次数高于分子次数，作倒代换，也可简化被积表达式。方法1 .方法2 令，则 本题分母有两项，对分子分母同乘一个因子，可将分母化成单项；也可以用倍角公式将分母化为单项。方法1 = .方法2 .因为，即，所以

4、 .3.第二类换元积分法例4 求下列不定积分：； ； ； .分析： 有些不定积分，不能通过凑微分利用基本公式求解，但可利用变量代换转化积分形式后利用基本积分公式求解。常用的代换方法有：三角代换与双曲代换。这类代换针对某些特殊的无理根式，如对题作代换或可消去根式。注意作三角代换后应利用辅助三角形进行变量还原。根式代换。对某些含有根式的被积函数，通过根式代换可将其转化为有理函数积分，方法是取同形根式中方幂的最小公倍数作为代换形式。如对题作代换.指数代换。当被积函数中含有指数函数时，用代换可转化积分形式，但常常需要配合其他变换。倒代换.如果分别表示被积式中分子分母变量的最高次数，则当时，用倒代换较简

5、。解 方法1 令，则方法2 由被积函数的特点，作倒代换，则.方法1 该被积表达式带有根号，作变量代换，先去掉根号。令 =t，则x=, .方法2 将被积函数分子有理化，再令，则 .为去掉被积函数中的根号，令，则 .方法1 被积式中含有指数函数，令，则 ，再令，于是 .方法2 第二类换元积分法主要是去掉根式，为此令，则 .方法3 变量代换往往不惟一，令，则 .注意到分母中的次幂高于分子中的次幂，令，则 .对第二类换元积分法，除了常用代换外，有时根据被积函数特点采用特殊代换，也可以简化积分。对本题，令，则 .例5 求下列不定积分：已知的一个原函数是，求； ； ； .分析： 分部积分法适用于被积函数为

6、两种不同类型函数乘积形式的不定积分，使用的关键是恰当选取与（或）.分部积分法常与换元积分法交替使用，或者数次使用才能算出结果。注意在反复使用分部积分法的过程中，每一次都应选取同一类函数作为及，否则就会产生循环，致使解不出结果。另外，在用分部积分法求不定积分时，若在计算过程中出现循环现象，常常可通过解方程求出结果。常见积分类型有，对题令，即为这种形式。解 由条件可知，注意到，用分部积分法，有 这是对数函数与幂函数乘积形式的不定积分，取，则，于是 .这是幂函数与指数函数乘积形式的不定积分，取，则，于是 .这是幂函数与三角函数乘积形式的不定积分，取三角函数为，幂函数为，应用分部积分公式。注意到被积函

7、数带有根号，为去掉根号，令，则 .方法1 这是幂函数与复合函数乘积形式的不定积分，取，则，于是 .解方程得 .方法2 令，则.解方程得 ，所以 .例6 求下列不定积分：； ； .分析： 特殊函数的不定积分是指有理函数、三角有理式、简单无理式的不定积分，求解的一般方法是通过万能代换或第二类换元先将三角有理式及无理根式转化为有理函数，再利用有理函数求不定积分的方法求解。解 因为 ，于是 .因为，将被积函数拆成部分分式，得 ，于是 .本题不易用三角公式变形化简，不得已利用万能代换化为有理函数的积分。令，则，故 .由于 ，令，则，于是 .例7 求下列不定积分：； ； .分析： 视被积函数特点交替使用换

8、元法与分部积分法，也是计算不定积分的基本方法，对某些复杂形式的不定积分，将原积分拆项后，分项积分有时会使未积出部分抵消，从而求出不定积分，注意用此方法求解时，不要丢掉积分常数C.解 为去掉被积函数中的根号，需设，则，于是 .因为，所以 .令，则，故 ，故 .注意到 ， ，则 =. 例8 设，求.分析： 已知求，一般有两种方法：先由已知表达式求出，再计算.先求不定积分，再求函数的表达式。解 方法1 因为 ，所以 ，从而 .方法2 因为 ，所以.例9 建立下列不定积分的递推公式（n为整数）： （）； .分析： 对含有参数n的不定积分，一般由分部积分公式可导出一个递推公式，但要使递推公式完整，必须给出递推的初值公式，注意初值公式的个数由递推的步数决定。解 这是幂函数与指数函数相乘形式的不定积分 ，初值.由三角恒等公式与导数公式有 .初值； .例10 计算不定积分.错解 当时，=；当时，=，所以 =分析 该解法忽略了原函数在所论区间内的连续性，事实上，由，知原函数在上不连续。正解 当时，=；当时，=因为原函数连续，所以=，故，所以 =