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1、第一部分 数列的基础知识等差数列一 定义式： 二 通项公式： 一个数列是等差数列的等价条件：(a，b为常数)，即是关于n的一次函数，因为，所以关于n的图像是一次函数图像的分点表示形式。三 前n项和公式： 一个数列是等差数列的另一个充要条件：(a，b为常数，a0)，即是关于n的二次函数，因为，所以关于n的图像是二次函数图像的分点表示形式。四 性质结论1.3或4个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置，如：3个数a-d,a,a+d； 4个数a-3d,a-d,a+d,a+3d2.与的等差中项；在等差数列中，若，则；若，则；3.若等差数列的项数为2，则；若等差数列的项数为，则，且，4.凡按一定规律和次
2、序选出的一组一组的和仍然成等差数列。设，则有； 5.,则前(m+n为偶数)或(m+n为奇数)最大 等比数列一 定义：成等比数列。二 通项公式：，数列an是等比数列的一个等价条件是：当且时，关于n的图像是指数函数图像的分点表示形式。三 前n项和：；(注意对公比的讨论)四 性质结论：1.与的等比中项(同号)；2.在等比数列中，若，则；若，则；3.设， 则有求通项公式的基本方法一 构造等差数列：递推式不能构造等比时，构造等差数列。第一类：凡是出现分式递推式都可以构造等差数列来求通项公式，例如：，两边取倒数是公差为2的等差数列，从而求出。第二类：是公差为1的等差数列二。递推：即按照后项和前项的对应规律
3、，再往前项推写对应式。例如【注: 】求通项公式的题，不能够利用构造等比或者构造等差求的时候，一般通过递推来求。求前n项和一 裂项相消法：、二 错位相减法：凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法，求：减得：从而求出。 错位相减法的步骤：(1)将要求和的杂数列前后各写出三项，列出式 (2)将式左右两边都乘以公比q，得到式 (3)用，错位相减 (4)化简计算三 倒序相加法：前两种方法不行时考虑倒序相加法例：等差数列求和： 两式相加可得：第二部分 数列通项公式的求和方法一、公式法例1 已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数
4、列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。二、累加法例2 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以数列的通项公式为。例3 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以例4 已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故因此，则三、累乘法例5 已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以，则，故所以数列的通项公式为例6 （2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列满足，求的通项公式。解：因为所以用式式得则故所以由，则，又知，则，代入得。所以，的通项公式为四、待定系数法例7 已知数列满足，求数列的通项公式。解：设将代入式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入式得由及式得，
5、则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。例8 已知数列满足，求数列的通项公式。解：设将代入式，得整理得。令，则，代入式得由及式，得，则，故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。例9 已知数列满足，求数列的通项公式。解：设 将代入式，得，则等式两边消去，得，解方程组，则，代入式，得 由及式，得则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。五、对数变换法例10 已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以。在式两边取常用对数得设将式代入式，得，两边消去并整理，得，则，故代入式，得 由及式，得，则，所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此则。六、迭代法例11
6、 已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以又，所以数列的通项公式为。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式两边取常用对数得，即，再由累乘法可推知，从而。七、数学归纳法例12 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由及，得由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当时，所以等式成立。（2）假设当时等式成立，即，则当时，由此可知，当时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。八、换元法例13 已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，则故，代入得即因为，故则，即，可化为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得。九、不动点法（三种情况）
7、例14 已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，得，则是函数的两个不动点。因为。所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。例15 已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，得，则是函数的不动点。因为，所以。第三部分 数列练习题 成绩：一、填空题1 各项都是正数的等比数列an，公比q1,a5,a7,a8成等差数列，则公比q= 2 已知等差数列an，公差d0,a1,a5,a17成等比数列，则= 3 已知数列an满足Sn=1+,则an= 4已知二次函数f(x)=n(n+1)x2-(2n+1)x+1,当n=1,2,，12时，这些函数的图像在x轴上截得的线段长度之和为 5.已知数列an的通项公式为a
8、n=log(n+1)(n+2),则它的前n项之积为 6.数列(-1)n-1n2的前n项之和为 7一种堆垛方式，最高一层2个物品，第二层6个物品，第三层12个物品，第四层20个物品，第五层30个物品，当堆到第n层时的物品的个数为 8已知数列1，1，2，它的各项由一个等比数列与一个首项为0的等差数列的对应项相加而得到，则该数列前10项之和为 9在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为 10已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），
9、（2，4），则第60个数对为 11设等差数列an的前n项和是Sn，若a5=20a16，则S20=_12若an是等比数列，a4 a7= 512，a3+ a8=124，且公比q为整数，则a10等于_13在数列an中，a1=1，当n2时，a1 a2 an=n2恒成立，则a3+ a5=_14设an是首项为1的正项数列，且（n1）naan+1 an=0（n=1，2，3，），则它的通项公式是an=_二.解答题1.已知数列an的通项公式为an=3n+2n+(2n-1),求前n项和。2已知数列an是公差d不为零的等差数列，数列abn是公比为q的等比数列， b1=1,b2=10,b3=46,，求公比q及bn。3
10、已知等差数列an的公差与等比数列bn的公比相等，且都等于d(d0,d1),a1=b1 ，a3=3b3,a5=5b5,求an,bn。4 有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。5.已知等差数列an中，a1a4a7 =15，a2 a4 a6=45，求an的通项公式6.在等差数列an中，a1=13，前n项和为Sn，且S3= S11，求Sn的最大值参考答案一、填空题1. 2. 3. ,相减得an=故an=-4. 5. log2(n+2) 6. (-1)n-1 7. n2+n 8. 978 9. 610.(5,7)规律：（1）两个数之和为n的整数对共有
11、n-1个。（2）在两个数之和为n的n-1个整数对中，排列顺序为，第1个数由1起越来越大，第2个数由n-1起来越来越小。设两个数之和为2的数对方第1组，数对个数为1；两个数之和为3的数对为第二组，数对个数2; ,两个数之和为n+1的数对为第n组，数对个数为 n。1+2+10=55，1+2+11=66第60个数对在第11组之中的第5个数，从而两数之和为12，应为（5，7）11200a 1 a 20= a 5a 16=20，S20=1020=20012512 a 3 a 8=124，又a 3 a 8= a 4a 7=512，故a 3， a 8是方程x2124x512=0的两个根于是，a 3=4，a
12、8=128，或a 3=128，a 8=4由于q为整数，故只有a 3=4，a 8=128因此4 q5=128，q=2所以a10= a 8q2=1284=51213 a 1 a 2a n=n2，a 1 a 2a n1 =（n1）2两式相除，得（n2）所以，a 3 a 5=14所给条件式即（a n1 a n）（n1）a n1n a n=0，由于a n1 a n0，所以（n1）a n1= na n，又a 1=1，故na n=（n1）a n1=（n2）a n2=2a 2= a 1=1，a n=二、解答题1Sn=a1+a2+an=(31+21+1)+(32+22+3)+ +3n+2n+(2n-1)=(31
13、+32+3n)+(21+22+2n)+1+3+(2n-1)=2.a=a1,a=a10=a1+9d,a=a46=a1+45d 由abn为等比数例，得（a1+9d）2=a1(a1+45d)得a1=3d,即ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d.q=4 又由abn是an中的第bna项，及abn=ab14n-1=3d4n-1,a1+(bn-1)d=3d4n-1 bn=34n-1-23. a3=3b3 , a1+2d=3a1d2 , a1(1-3d2)=-2d a5=5b5, a1+4d=5a1d4 , a1(1-5d4)=-4d /,得=2， d2=1或d2=,由题意，d=,a1=-。an=a1
14、+(n-1)d=(n-6) bn=a1dn-1=-()n-14.设这四个数为则 由，得a3=216,a=6 代入，得3aq=36,q=2 这四个数为3，6，12，185、a1a7=2a4，3a4= a1a4a7=15，a4=53分a2 a4 a6=45，a2 a6=94分设an的公差为d，则（a42d）（a42d）9，即（52d）（52d）=9，d= 27分因此，当d= 2时，an= a4（n4）d=2 n3，9分当d= 2时，an= a4（n4）d=2 n13，6、 S3= S11，3 a13分又a1=13，81352d=0解得d= 25分an= a1（n1）7、d = 2 n157分由即，解得n.由于，故n=710分当n=7时，Sn最大，最大值是13分
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