正弦函数和余弦函数图像与性质

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1、.6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质一、复习引入1、复习1函数的概念在某个变化过程中有两个变量、,若对于在某个实数集合内的每一个确定的值,按照某个对应法则,都有唯一确定的实数值与它对应,则就是的函数,记作,。2三角函数线设任意角的顶点在原点,始边与轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点,过作轴的垂线,垂足为；过点作单位圆的切线,设它与角的终边当在第一、四象限角时或其反向延长线当为第二、三象限角时相交于.规定：当与轴同向时为正值,当与轴反向时为负值； 当与轴同向时为正值,当与轴反向时为负值； 当与轴同向时为正值,当与轴反向时为负值；根据上面规定,则,由正弦、余弦、正切三角比的定义有：；这几条与

2、单位圆有关的有向线段叫做角的正弦线、余弦线、正切线。二、讲授新课问题驱动1结合我们刚学过的三角比,就以正弦为例,对于每一个给定的角和它的正弦值之间是否也存在一种函数关系？若存在,请对这种函数关系下一个定义；若不存在,请说明理由1、正弦函数、余弦函数的定义1正弦函数：；2余弦函数：问题驱动2如何作出正弦函数、余弦函数的函数图象？2、正弦函数的图像1的图像方案1几何描点法步骤1：等分、作正弦线将单位圆等分,作三角函数线正弦线得三角函数值；步骤2：描点平移定点,即描点；步骤3：连线用光滑的曲线顺次连结各个点小结：几何描点法作图精确,但过程比较繁。方案2五点法步骤1：列表列出对图象形状起关键作用的五点

3、坐标；步骤2：描点定出五个关键点；步骤3：连线用光滑的曲线顺次连结五个点小结：的五个关键点是、。2的图像由,所以函数在区间上的图像与在区间上的图像形状一样,只是位置不同.于是我们只要将函数的图像向左、右平行移动,就可以得到正弦函数的图像。3、余弦函数的图像1的图像2的图像 图像平移法 由,可知只须将的图像向左平移即可。三、例题举隅例、作出函数的大致图像；设计意图考察利用五点法作正弦函数、余弦函数图像解列表描点在直角坐标系中,描出五个关键点：、 、连线练习、作出函数的大致图像二、性质1定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R或,分别记作：ysinx,xR ycosx,xR2值域因为正弦线、

4、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度,所以sinx1,cosx1,即1sinx1,1cosx1也就是说,正弦函数、余弦函数的值域都是1,1其中正弦函数y=sinx,xR当且仅当x2k,kZ时, 取得最大值1当且仅当x2k,kZ时,取得最小值1而余弦函数ycosx,xR当且仅当x2k,kZ时,取得最大值1当且仅当x,kZ时,取得最小值13周期性由sinsinx,coscosx 知：正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。一般地,对于函数f,如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有ff,那么函数f就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期。由此可知,2,4,

5、2,4,2k都是这两个函数的周期对于一个周期函数f,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f的最小正周期。4奇偶性由sinsinx,coscosx可知：ysinx为奇函数, ycosx为偶函数正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称5单调性结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间2k,2k上都是增函数,其值从1增大到1；在每一个闭区间2k,2k上都是减函数,其值从1减小到1。余弦函数在每一个闭区间,2k上都是增函数,其值从1增加到1；在每一个闭区间2k,上都是减函数,其值从1减小到1y=sinxy= cosx图 象定义域RR值 域-1,1-1,1最 值当且仅当x2

6、k,kZ时,取得最大值1当且仅当x2k,kZ时,取得最小值1当且仅当x2k,kZ时,取得最大值1当且仅当x,kZ时,取得最小值1周期性2p2p奇偶性奇函数偶函数单调性在闭区间2k,2k上单调递增,；在闭区间2k,2k上单调递减在闭区间,2k上单调递增；在每一个闭区间2k,上单调递减典型例题3个,基础的或中等难度例1：求使下列函数取得最大值的自变量x的集合,并说出最大值是什么。1ycosx1,xR； 2ysin2x,xR解：1使函数ycosx1,xR取得最大值的x的集合,就是使函数ycosx,xR取得最大值的x的集合xx2k,kZ。函数ycosx1,xR的最大值是112。2令Z2x,那么xR必须

7、并且只需ZR,且使函数ysinZ,ZR取得最大值的Z的集合是ZZ2k,kZ由2xZ2k,得xk即 使函数ysin2x,xR取得最大值的x的集合是xxk,kZ函数ysin2x,xR的最大值是1。例2：求下列函数的单调区间1ycosx 2y=sin 3y=3sin解：1由ycosx的图象可知：单调增区间为2k,单调减区间为,2k 2当2k-4x-2k+,函数的递增区间是-,+当2k+4x-2k+函数的递减区间是+,+3当2k-2x2k+时,函数单调递减, 函数单调递减区间是k-,k+当2k+-2x2k+时,函数单调递增, 函数单调递减区间是k+,k+例3：求下列三角函数的周期： y=sin y=c

8、os2x y=3sin解：令z= x+而 sin=sinz 即：f=f f+=f周期T=2p.令z=2x f =cos2x=cosz=cos=cos=cos2即：f =f 周期T=p。令z=+则f =3sinz=3sin=3sin=3sin=f 周期T=4p。注：yAsin的周期T=。四课堂练习2个,基础的或中等难度1、求使下列函数y=3-cos取得最大值的自变量x的集合,并说出最大值是什么。解：当cos=-1,即=2kp+p,kZ,x|x=4kp+2p,kZ ,y=3-cos取得最大值。2、求y=的周期。解：y=-cos2x,T=p。3、求函数y=3cos的单调区间。解：当2k2x+2k+p

9、时,函数单调递减, 函数的单调递减区间是k-,k+当2k-p2x+2k时,函数单调递增, 函数的单调递增区间是k-,k-五拓展探究2个1、求下列函数的周期：1y=sin+2cos 2y=|sinx| 3y=2sinxcosx+2cos2x-1解：1y1=sin 最小正周期T1=py2=2cos 最小正周期 T2=T为T1 ,T2的最小公倍数2pT=2p2T=p3 y=sin2x+cos2x=2sinT=p2、求下列函数的最值：1y=sin-1 2y=sin2x-4sinx+5 3y=解：1当3x+=2kp+即 x= 时,ymax=0当3x+=2kp-即x= 时,ymin=-22 y=2+1 当

10、x=2kp- kZ时,ymax=10当x=2kp- kZ时,ymin= 23 y=-1+当x=2kp+p kZ时,ymax=2当x=2kp kZ时, ymin= 作业一、填空题1、函数y=cos的奇偶性是_。2、函数y=-5sinx+1的最大值是_,此时相应的x的值是_。3、函数y=sinxcosx的最小正周期是_。4、函数y=sinxcos+cosxsin的最小正周期是_。5、函数y=3cos的单调递减区间是_。6、函数y=sinx和y=cosx都为减函数的区间是_。7、函数y=sin的单调递增区间是_。8、已知函数y=f是以为周期,且最大值为3,最小值为-1,则这个函数的解读式可以是_。二

11、、选择题1、函数y=sinx,x,的值域是 A-1,1 B,1 C, D,12、下列函数中,周期是的函数是 Ay=sinpx By=cos2x Cy=sin Dy=sin4k3、下列函数是奇函数的是 Ay=sin|x| By=xsin|x| Cy=-|sinx| Dy=sin4*、函数y=sin+cos的最小正周期和最大值分别为 Ap,1 Bp,C2p,1 D2p,三、解答题1、已知函数y=acosx-2b的最小值为-2,最大值为4,求a和b的值。2、求函数y=2+5cosx-1的值域。3、判断下列函数的奇偶性：1y=cos； 2y=xsinx+cos3x4、求函数y=-sinxcosx的单调区间。一、填空题1、 奇函数； 2、 6, x|x=2k-,kZ ； 3、p；4、； 5、k-,k+； 6、2k+,2k+p7、k+,k+； 8、y=2sin6x+1答案不唯一二、1、B； 2、D； 3、B； 4、Ay=sin2x+cos2x+cos2x-sin2x=cos2x三、解答题1、当a0时,当a0时,2、y=2+5cosx-1=-2,cosx-1,1,y-6,43、1奇函数；2偶函数。4、解：y=-sin2x=-=-sin当2k-2x+2k+时,函数单调递减, 函数单调递减区间是k-,k+当2k+2x+2k+时,函数单调递增, 函数单调递减区间是k+,k+.